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第 30 练 圆锥曲线的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知抛物线 上一点 到 轴的距离是2，则点 到焦点 的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．已知椭圆C： 的左右焦点分别为F、F，过左焦点F，作直线交椭圆C于
1 2 1
A、B两点，则三角形ABF 的周长为（ ）
2
A．10 B．15 C．20 D．25
3．已知双曲线C： 的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．3
4．若方程 表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
5．已知抛物线 的焦点为F，准线为 ，过 的直线与抛物线交于
A，B两点，与准线 交于C点，若 ，且 ，则 （ ）
A．4 B．12 C．4或16 D．4或12
6．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽
以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的
现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运
动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举
办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲
的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥
运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为
26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为 ，若双曲线C以
为焦点、以直线 为一条渐近线，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
7．已知 是椭圆 的两个焦点， 为 上一点，且 ，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．9
9．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的
交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 ：
的蒙日圆方程为 ， ， 分别为椭圆 的左、右焦点.
离心率为 ， 为蒙日圆上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆分别交于
P，Q两点，若 面积的最大值为36，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆与
双曲线C有一个交点P，设 的面积为S，若 ，则双曲线C的离
心率为（ ）
A．2 B． C． D．2
二、多选题
11．已知曲线 ： ，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线 表示双曲线，则
B．若曲线 表示椭圆，则 且
C．若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线且离心率为 ，则D．若曲线 与椭圆 有公共焦点，则
12．在三棱锥 中， ， ， ，二面角 的大小为 ，
点M为侧面△PAB上的动点，点M到直线PA的距离为 ，点M到平面ABC的距离为 ，
若 ，则（ ）
A． B．点M到直线AB的距离等于
C．点M的轨迹为一段圆弧 D．点M的轨迹长度为
三、解答题
13．已知椭圆C： 的左右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，
点 在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2) 为椭圆上不与 重合的任意一点，直线 分别与直线 相交于点 ，
求证： .
14．已知点 与点 的距离比它到直线 的距离小 ，若记点 的轨迹为曲线
．
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 与曲线 相交于 两点，且 ．求证直线 过定点，并求出该定点的坐
标．15．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为A，且 ，
到C的渐近线的距离为1，过点 的直线 与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线
AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为 ， ，判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，
请说明理由.
