文档内容
专题 04 解三角形（中线问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
方法一：向量化(三角形中线向量化）................................1
方法二：角互补...................................................4
三、专项训练........................................................7
一、必备秘籍
1、向量化(三角形中线问题）
如图在 中， 为 的中点， (此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）
2、角互补
二、典型题型
方法一：向量化(三角形中线向量化）
1．（2023·四川泸州·校考三模）在 中，角 所对的边分别为 ， ，．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 边上中线 的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得： ，
，
， ， ，又 ，
，解得： .
（2） ， ，
由余弦定理得： ，
， ， ，即 边上中线 的
长为 .
2．（2023·四川宜宾·统考模拟预测） 的内角 所对边分别为 ， ， ，已知
， .
(1)若 ，求 的周长；
(2)若 边的中点为 ，求中线 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵ ，由正弦定理可得： ，则 ，
若 ，则 ，解得 ，
故 的周长 .
（2）∵ ，
∴
，由（1）可得： ，即 ，
∵ ，当且仅当 时，等号成立，
∴ ，则 ，
故 ，则 ，
所以 的最大值为 .
3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)求 的单调递增区间；
(2)记 分别为 内角 的对边，且 ， 的中线 ，求 面积的最大
值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由 ，
解得 ，
的单调递增区间为 ；
（2）因为 ，可得 ，
因为 ，所以 即 ，
由 及 可得，，
所以
所以
即 ，当且仅当 时取到等号，
所以 ，
故 面积的最大值为 .
方法二：角互补
1．（2023·全国·高三专题练习）在① ；② ；③
，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在 中，角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 的中线 长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）选择条件①：由 及正弦定理，得： ，
即 ，由余弦定理，得 ,
因为 ，所以 ；
选择条件②：由 及正弦定理，
得： ，
即 .
即 .
在 中， ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ,
因为 ，所以 ；选择条件③：由 及正弦定理，
得： ，
因为 , ，所以 .
在 中， ，则 ，
故 .
因为 ，所以 ，则 ，
故 ；
（2）因为 ，所以 ，
整理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 .
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
即 长度的最小值为 .
2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A；
(2)若AD为BC边上中线， ，求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得 ，∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ , ∴ ,
（2）由已知得 ， ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
又∵ ,
∴ ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
以上两式消去 得 , 解得 或 （舍去），
则 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ，若 为 上一点，且满足
____________，求 的面积 .
请从① ；② 为 的中线，且 ；③ 为 的角平分线，且 .
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【详解】（1） ，由 ，得 ， ，
∴函数 的单调递增区间为 ， ；
（2）由 ，得 ，
又 中 ， ，可知 ；
若选① ：
由 ，可知 ，可化为 ，
又 ，则 ，
又 中 ，故 ，所以 ，
则 ，故 ；
若选②： 为 的中线，且
在 中， ， ，则有 ，
在 中， ，
在 中， ，
又 ，
则
则 ，又知 ，故 ；
故 ；
若选③： 为 的角平分线，且 .
由题意知， ，
即 ，整理得又在 中， ， ，则有 ，
故
解之得， ，故 .
三、专项训练
1．（2023·全国·高三专题练习）在等腰 中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则 的面
积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【详解】设 ， ，
由于 ，
在 和 中应用余弦定理可得：
，整理可得： ，
结合勾股定理可得 的面积：
，
当且仅当 时等号成立．
则 面积的最大值为6．
故选：A.
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
．
(1)求A；(2)若 ，求 边中线 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得 ，
由余弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ．
（2）因为M为 的中点，所以 ，
则 ，
即 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，
所以 ．
3．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，
．
(1)若BC边上的高等于 ，求 ；
(2)若 ，求AB边上的中线CD长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过 作 ，垂足为 ，则 ，，
，
在三角形 中，由余弦定理得 .
（2） ，
，两边平方得
，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
4．（2023·浙江杭州·统考一模）已知 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足
， ．
(1)求角A；
(2)若 ， 边上中线 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，
所以由正弦定理得 ，
，，即 ，
， ，
， ；
（2） ，
则 ， 即 ，
而 ， 边上中线 ，
故 ，解得 ，
．
5．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得： ,
即 ，
,
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ,所以 .
（2）由（1）得 ，则 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
因为点D是边BC中点，
所以 ,
两边平方可得： ,
则 ，
所以 ，
中线AD长的最大值为 .
6．（2023·四川内江·校考模拟预测）在 ABC中，D是边BC上的点， ， ，AD平分
∠BAC， ABD的面积是 ACD的面积的△两倍．
△ △
(1)求 ACD的面积；
(2)求 ABC的边BC上的中线AE的长．
△
△
【答案】(1)
(2) ．
【详解】（1）由已知及正弦定理可得： ，
化简得： ．
又因为：
，所以 ， 所以
，
所以 ACD的面积为 ．
△
（2）由（1）可知 ，因为AE是 ABC的边BC上的中线，
△所以 ，
所以 ，
所以 ABC的边BC上的中线AE的长为 ．
△
7．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 边上的中线 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意有
，又 ，
，又 ，
解得 ， ，
；
（2）因为
所以 ，
当且仅当 时成立，
故 面积的最大值为 .
8．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在 中，角 所对的边分别为
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的中线 的最小值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为
所以 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，因为 ，
则 ；
（2）由题意 ，
则
，
则 ，即 的中线 的最小值为 （当且仅当 取最小值）；
综上， 的最小值为 .
9．（2023·安徽淮南·统考一模）已知 内角 所对的边分别为 ，面积为 ，再从条件
①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：
(1)求角 的大小；
(2)求 边中线 长的最小值.
条件①： ;
条件②： .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选条件①： ,
因为 中 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，
即 ， ，
又 ,所以 .
选条件②：由余弦定理可得 即 ，
由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ,所以 .
（2）由（1）知， 的面积为 ，所以 ，解得 ，
由平面向量可知 ，
所以
，
当且仅当 时取等号，
故 边中线 的最小值为 .
10．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.
(1)求B；
(2)若AC边上的中线 ，且 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵ ，
由余弦定理可得 ，∴ ，
∴ ，由 ，
∴ .
（2）如图，
由（1）得 ， ，①
由余弦定理知 ，即 ，②
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ③
由①②③，得 ，
所以 ，
所以 的周长 ．
11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在 中，角 ， ， 对边分别为 ， ， ，且
， .
(1)求 ；
(2)若 ， 边上中线 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理有 ，
因为 ，有 ，因为 ，故 ， ；
（2）法一：在 和 中， ，
因为 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
法二：因为 ，所以 ，
有 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
法三：如图，作 交 于 ，则 是 的中点，
所以 ， ， ，
即 ，解得 ，
所以 .
12．（2023·全国·高三专题练习）在 中， .
(1)求 ；(2)求 边上的中线.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ， ，故 ，
所以 ，解得 ，
故 ，故 .
（2）如图所示， 是 中点，连接 ，
， ， ，
故 ，解得 ，即 边上的中线为 .
13．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
的面积 .
(1)求 ；
(2)若 ，边 的中线 ，求 ， .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 的面积 ，
由题意 ， ，
由正弦定理得 ，
， ， 为三角形内角， ， ， ，
，又因为 为锐角， .
（2）由题意知 ， ，
在 中 ，即 ，
在 中， ，即 .
. ， .
由（1）知 ， ， .
由 ，解得 .
14．（2023·全国·高三专题练习）在 中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线 ，且 ，求 的周长
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由已知 ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理得： ，
在 中，因为 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ①，
由（1）知 ，即 ②，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，因为 ，所以 ③，
由①②③，得 ，
所以 ，
所以 的周长 .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ， ，若 为 上一点，满足 为
的中线，且 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ；
令 ，解得： ，
的单调递增区间为 .
（2）由（1）知： ，即 ，
又 ， ， ，解得： ；
在 中，由余弦定理得： ；在 中，由余弦定理得： ；
， ，即 ，
；
在 中，由余弦定理得：
，解得： ；
， ，
的周长为 .
