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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.1因式分解
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共20题，选择10道、填空10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔
将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021秋•南岸区期末）某网店销售一款市场上畅销的护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销
售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决
定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣2x+100 B．y＝﹣2x+40 C．y＝﹣2x+220 D．y＝﹣2x+60
【分析】依据每涨价1元，每星期少卖出2个列出星期销售量为y个与销售单价为x元的函数关系式．
【解析】由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，
∴y＝﹣2x+220．
故选：C．
2．（2021春•郑州期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．m （a+b）＝ma+mb B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
1
C．x2+x＝x2（1+ ） D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
x
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解析】A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2021春•深圳期末）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
1
B．x2﹣1＝x（x− ）
x
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．
【解析】A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是多项式乘法，故此选项错误；
B、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
C、x2﹣4+3x＝（x+4）（x﹣1），故此选项错误；
D、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故此选项正确．
故选：D．
4．（2021秋•黔西南州期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．18a3bc＝3a2b⋅6ac
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把
这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【解析】A．右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
B．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
D．左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．（2020秋•临沭县期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2 B．a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2
1 1
C．x2+x+ =（x+ ）2 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
4 2
【分析】利用因式分解的定义判断即可．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个
多项式因式分解，也叫做分解因式．
【解析】A、（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
B、a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题
意；
1 1
C、x2+x+ =（x+ ）2，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；
4 2
D、（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．（2021春•罗湖区校级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A．2x（x﹣1）＝2x2﹣2x B．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2 D．﹣x2+2x＝﹣x（x﹣2）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解析】A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
7．（2021秋•勃利县期末）若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是
（ ）
A．a＝1，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6
【分析】根据x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），可得公因式是a，常数项的积是b．
【解析】∵x2+ax+b＝a（x﹣2）（x+3），
∴a＝1，b＝﹣2×3＝﹣6，
故选：A．
8．（2019春•覃塘区期中）已知多项式x2﹣kx+6因式分解后有一个因式为x﹣3，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【分析】利用十字相乘法判断即可．
【解析】∵多项式x2﹣kx+6因式分解后有一个因式为x﹣3，
∴另一个因式是（x﹣2），即x2﹣kx+6＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，
则k的值为5，
故选：B．
9．（2019春•望城区期中）若x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6
【分析】根据多项式乘以多项式法则求出（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，求出m、n的值，再求出mn即可．
【解析】（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，
∵x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，
∴m＝1，n＝﹣6，
∴mn＝1×（﹣6）＝﹣6，
故选：C．
10．（2019春•句容市期中）下列变形，属于因式分解的有（ ）①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）②x2+3x﹣16＝x（x+3）﹣16
③（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 ④x2+x＝x（x+1）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据因式分解的意义即可求出答案．
【解析】由因式分解的意义可知：
①④是因式分解，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）请把答案直接填写在横线上
11．（1）a2 −b2 =（a+b）（a﹣b），这种从左到右的变形是 分解因式 ；
❑ ❑
（2）（a+b）（2a﹣b）＝2a2 +ab−b2，这种从左到右的变形是 整式乘法 ．
❑ ❑
【分析】（1）根据分解因式的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多
项式因式分解，也叫做分解因式；进行作答即可；
（2）因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
【解析】（1）a2 −b2 =（a+b）（a﹣b），这种从左到右的变形是分解因式；
❑ ❑
（2）（a+b）（2a﹣b）＝2a2 +ab−b2，这种从左到右的变形是整式乘法．
❑ ❑
故答案为：分解因式；整式乘法．
12．依据因式分解的意义，因为 （ x + 2 y ）（ x ﹣ 2 y ） =x2 −4y2，所以x2 −4y2因式分解的结果是
❑ ❑ ❑ ❑
（ x + 2 y ）（ x ﹣ 2 y ） ．
【分析】根据平方差公式以及因式分解与整式的乘法之间的关系即可得出答案．
【解析】依据因式分解的意义，
（x+2y）（x﹣2y）=x2 −4y2，
❑ ❑
x2 −4y2因式分解的结果是（x+2y）（x﹣2y）；
❑ ❑
故答案为；（x+2y）（x﹣2y），（x+2y）（x﹣2y）．
13．（2018春•锦江区校级期中）已知x2+nx+m有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m＝ 2 ，n＝ ﹣ 3 ．
【分析】根据x2+nx+m有因式（x﹣1）和（x﹣2），即x2+nx+m＝（x﹣1）和（x﹣2），再把右边展开
合并，然后比较系数得到关于m、n的值即可．
【解析】∵（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，
又知x2+nx+m有因式（x﹣1）和（x﹣2），
∴x2+nx+m＝x2﹣3x+2，
∴n＝﹣3，m＝2，
故答案为：2，﹣3．14．（2021•杭州模拟）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 2 ．
【分析】设另一个因式是 x+a，根据已知得出（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，再进行化简，即可求出
a、m值．
【解析】∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，
∴设另一个因式是x+a，
则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，
∵（x2﹣x+2）（x+a）
＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a
＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，
∴a﹣1＝0，2a＝m，
解得：a＝1，m＝2，
故答案为：2．
15．（2021春•崂山区期末）若x2+ax+b＝（x+3）（x﹣4），则a＝ ﹣ 1 ，b＝ ﹣ 1 2 ．
【分析】将右式展开，与左式对应项相等，即可求得啊a、b的值．
【解析】∵（x+3）（x﹣4），
＝x2﹣x﹣12，
＝x2+ax+b，
∴a＝﹣1，b＝﹣12．
16．（2021春•西湖区校级期中）已知关于x的多项式2x2﹣5x+k的一个因式是x+3，则k的值是 ﹣ 33
．
【分析】设另一个因式为（2x﹣n），根据多项式乘以多项式法则展开得出2x2﹣5x+k＝2x2+（6﹣n）x﹣
3n，得出方程组，求出方程组的解即可．
【解析】设另一个因式为（2x﹣n），
则（2x﹣n）（x+3）＝2x2+（6﹣n）x﹣3n，
即2x2﹣5x+k＝2x2+（6﹣n）x﹣3n，
{6−n=−5
∴ ，
k=−3n
{ n=11
解得 ，
k=−33
故答案为：﹣33．
17．（2018春•鄞州区期末）若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为 9 ．
【分析】设另一个因式为x+a，（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，根据题意得出﹣m＝﹣3+a，n
＝﹣3a，求出m、n后代入即可．
【解析】设另一个因式为x+a，
则（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，
∴﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a，
∴m＝3﹣a
∴3m﹣n＝3（3﹣a）﹣（﹣3a）＝9﹣3a+3a＝9，
故答案为：9．
18．（2020秋•沂源县期末）如果多项式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2，则k＝ 1 ．
【分析】由于原二次三项式有一个一次二项式的因式，进而得出另为一个因式也是一次式，用原二次三
项式的二次项除以已知的一次项，得出另一个因数的一次项，常数除以已知因式的常数，得出另一个因
式的常数，即可得出结论．
【解析】∵多项式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2，
6x2 −2
∵ =2x， =1，
3x −2
∴另一个因式是（2x+1），即6x2﹣kx﹣2＝（3x﹣2）（2x+1）＝6x2﹣x﹣2，
则k的值为1，
故答案为：1．
19．（2021春•永嘉县校级期末）若关于x的多项式x2﹣ax﹣6含有因式x﹣1，则实数a＝ ﹣ 5 ．
【分析】掌握多项式乘法的基本性质，x﹣1中﹣1与6相乘可得到﹣6，则可知：x2﹣ax﹣6含有因式x
﹣1和x+6．
【解析】（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6＝x2﹣ax﹣6，
所以a的数值是﹣5．
故答案为：﹣5．
20．（2021春•雁塔区校级期中）如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是 ﹣ 1 ．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，计算对比得出答案．
【解析】∵a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，
∴a2+ma﹣6＝（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
