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专题 33 【提升专题 02】 直线与圆锥曲线综合问题
（核心考点精讲精练）
类型一、直线与椭圆的位置关系
类型二、直线与双曲线的位置关系
类型三、直线与抛物线的位置关系
类型四、弦长问题
类型五、圆锥曲线中的对称问题
类型六、圆锥曲线中的范围最值问题
类型七、圆锥曲线在新情景中应用
直线与圆锥曲线的综合问题常常涉及到一些重要的数学思想和解题方法，比如方程思想、转
化思想、数形结合思想等。以下是一些常见的问题：
1、直线与圆锥曲线的位置关系：包括直线与圆锥曲线的相交、相切、相离等位置关系，可以
通过联立方程组，利用判别式、韦达定理等方法求解。
2、弦长问题：包括弦长最值、弦长的定值、弦长之间的关系等问题，可以通过联立方程组，
利用根与系数的关系等方法求解。
3、圆锥曲线中的对称问题：圆锥曲线中的一些对称问题也常常作为综合问题出现，比如圆锥
曲线中的点对称、线对称、旋转对称等问题，可以通过对称的性质进行求解。
4、圆锥曲线中的范围最值问题：圆锥曲线中的范围最值问题也是常见的综合问题之一，可以
通过联立方程组，利用函数思想等方法进行求解。
以上只是直线与圆锥曲线的综合问题中的一部分，这些问题的解决需要掌握一定的数学思想
和解题方法，同时需要具备灵活的思维和敏锐的观察能力
类型一、直线与椭圆的位置关系
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．2．已知椭圆方程为 ，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若
AB的中点坐标为 ，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若椭圆 的弦 被点 平分，则 所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023年内蒙古模拟理科数学试题）已知椭圆 ，直线 依次交 轴、椭圆
轴于点 四点．若 ，且直线 斜率 ．则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024届安徽省联考数学试题）已知椭圆C： （ ）的左焦点为 ，过左焦点
作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（A卷））平面直角坐标系 中，已知圆 与 轴、
轴均相切，圆心在椭圆 内，且 与 有唯一的公共点 .则 的焦距为
.7．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，
且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
8．（2023年江苏省模拟数学试题）已知椭圆C： 的焦距为 ，且椭圆经过点
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为 ，求l的斜率.类型二、直线与双曲线的位置关系
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023届河南省仿真测试三模理科数学试题）已知直线 与双曲线
的两条渐近线分别交于点 ， （不重合）， 的垂直平分线过点 ，则双
曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023届四川省诊断性检测理科数学试题）双曲线C： 的离心率为 ，直线
与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点 满足 ，则 （ ）
A． 或0 B．－2 C． 或0 D．3
4．（2023年黑龙江省模拟数学试题）双曲线 与直线 的公共点的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2
5．（2023年浙江省名校联盟五科联赛数学试题）已知双曲线 的左顶点为 ，过
的直线 与 的右支交于点 ，若线段 的中点在圆 上，且 ，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．（2024届陕西省一模文科数学试题）设 ， 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
中点的是（ ）
A． B．C． D．
7．已知双曲线 ，过点 作直线 交双曲线于 ， ，若线段 的中点在直线 上，
求直线 的斜率．
8．（2023届四川省二诊模拟理科数学试题）双曲线C： 的左右焦点分别为 ， ，
离心率为2，过 斜率为 的直线交双曲线于A，B，则 .
9．（2023届河北省联考数学试题）如图，已知过原点的直线 与双曲线 相交于
两点，双曲线 的右支上一点 满足 ，若直线 的斜率为-3，则双曲线 的离心率为
.10．（2023届河北省模拟数学试题）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，其一渐近
线的倾斜角为 ，过双曲线 右焦点的直线 与 交于 、 两点．
(1)求双曲线 的方程．
(2)已知点 ，点 ，直线 、 与 轴分别交于点 、 ，若四边形 存在外接圆，
求直线 的方程．类型三、直线与抛物线的位置关系
1．（2023-2024学年四川省模拟文科数学试题）已知抛物线 的焦点为F，过点P（2，0）的直线交
抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023届河北省二模数学试题）已知抛物线 ，直线 与C的一
个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024届广东省次联考数学试题）过 向抛物线 引两条切线 ，切点分别为 ,
又点 在直线 上的射影为 ，则焦点 与 连线的斜率取值范围是 .
4．（2023年山西省模拟数学试题）已知抛物线 ，过 的直线 交抛物线 于 两点，且
，则直线 的方程为 .5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
6．（2023-2024学年河南省一模数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，点 ，过 的直线 垂
直于 ，且 交抛物线于 两点，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0类型四、弦长问题
1．（2023年四川省模拟数学（理）试题）已知抛物线的方程为 ，过其焦点 的直线交抛物线于
两点，若 ， （ ）
A． B．3 C． D．2
2．过点 作两条直线与抛物线 相切于点A，B，则弦长 等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，
y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
4．（2024届福建省质量监测（一）数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线
与 交于不同的两点 ， .若 ，则 .
5．（2024届内蒙古质量监测理科数学试题）已知双曲线C： ，若双曲线C的一条弦的中点为
，则这条弦所在直线的斜率为（ ）A． B． C．1 D．
6．（2023届四川省名校高全真模拟考试（二）理科数学试题）已知直线 与双曲线
相交于A，B两点，点 在第一象限，经过点 且与直线 垂直的直线与双曲线 的
另外一个交点为 ，点 在 轴上， ，点 为坐标原点，且 ，则双曲线 的渐
近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023届重庆市适应性月考（六）数学试题）已知双曲线 的左、右焦点分别为
， ，过 作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若
，则双曲线的离心率为 ．
8．（2024届安徽省联考数学试题）过抛物线 的焦点 的直线 与 交于 、 两点，且
， 为坐标原点，则 的面积为 .
9．（2023届湖北省压轴卷数学试题（二））已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ．
倾斜角为 的直线与 交于 两点，并且满足 ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
10．（2023年湖南省模拟数学试题）直线 与椭圆 相交于不同的两点 ,若 的中
点的横坐标为 ,则弦长 的值.
11．已知直线 与椭圆 交于M、N两点，且 .求直线 的方程．类型五、圆锥曲线中的对称问题
1．双曲线C： 的左、右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，点P关于原点的对称点为
Q，则 .
2．（2023年陕西省模拟理科数学试题）已知抛物线 ： 与圆 ： 在第一象限交于
， 两点，设 关于 轴的对称点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023届上海市模拟数学试题）不与 轴重合的直线 经过点 ，双曲线 ：
上存在两点A，B关于 对称，AB中点M的横坐标为 ，若 ，则 的值为
.
4．（2023-2024学年四川省“零诊”考试数学试题（文科））抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛
物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必
过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线
上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 ．5．（2023届贵州省统一考试数学（理）试题）已知抛物线 上两点A，B关于点 对称，则直
线AB的斜率为 .
6．已知 是抛物线 上的两个点，O为坐标原点，若 且 的垂心恰是抛物
线的焦点，则直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023-2024学年四川省模拟考试文科数学试题）已知A、B是椭圆 与双曲线
的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N．若MN过椭圆的焦点
F，且 ，则双曲线的离心率为 ．类型六、圆锥曲线中的范围最值问题
1．（2023年内蒙古模拟理科数学试题）在椭圆 上求一点 ，使点 到直线 的距
离最大时，点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023-2024学年江苏省学情检测数学试题）经过椭圆 的右焦点作倾斜角为 的直线 ，
交椭圆于 两点，则 ．
3．（2023年高三数学（理科）押题卷四试题）已知双曲线 的实轴长为4，离心
率为 ，直线 与 交于 两点， 是线段 的中点， 为坐标原点．若点 的横坐标为 ，则
的取值范围为 ．
4．（2023-2024学年湖南省模拟数学试题）已知直线 ： 与抛物线 ： 交于 ， 两个不
同的点， 为 的中点， 为 的焦点，直线 与 轴交于点 ，则 的取值范围是
.5．（2023届江西省模拟文科数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，倾斜角为 的直线
过点 ，且与抛物线 交于 两点， ，设直线 的斜率分别为 ，则
．
6．（2023-2024学年江苏省诊断测试数学试题）过点 能作双曲线 的两条切线，则该双曲线
离心率 的取值范围为 .
7．（2023届江苏省八校联盟适应性检测（三模）数学试题）已知双曲线 ，过其右焦
点 的直线 与双曲线 交于 、 两点，已知 ，若这样的直线 有 条，则实数 的取值范围是
.
类型七、圆锥曲线在新情景中应用1．（2023届贵州省数学（理科）样卷（二）试题）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，
他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，
这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的蒙日圆方程为
C．若 为正方形，则 的边长为 D．长方形 的面积的最大值为18
2．（2023年湖南省模拟数学试题）若椭圆上存在点 ，使得 到椭圆两个焦点的距离之比为 ，则称该
椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年福建省四校联盟联考数学试题）椭圆 中，点 为椭圆的右焦点，点A为
椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若 ，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年四川省模拟考试数学（文科）试题）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄
金分割数 ，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双
曲线 是黄金双曲线，则a=（ ）
A． B． C． D．
5．（2023届四川省三模拟理科数学试题）已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线 的左焦
点 的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足 ．设M为AB的中点，则直线OM斜率
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023届云南省高考备考诊断性联考（三）数学试题）在3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作
《数学汇编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是
常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 是地，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨
迹为双曲线.现有方程 表示的曲线是双曲线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023届江西省模拟理科数学试题）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”
得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 已知椭圆 的右焦
点为 ，过 作直线 交椭圆于 两点，若弦 中点坐标为 ，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
