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专题4.15 一次函数存在性问题（拓展篇）（专项练习）
一、解答题
1．如图，将直线 向上平移后经过点 ，分别交x轴y轴于点B、C．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）点P为直线 上一动点，连接 ．问：线段 的长是否存在最小值？若存在，求
出线段 的最小值，若不存在，请说明理由．
2．如图，直线 ： 与 轴交于点D，直线 与 轴交于点A，且过点B ，两
直线交于点C ．
（1）求直线 的解析式；
（2）在 轴上是否存在一点E，使EB+ED最小？若存在，求出点E的坐标；若不存在，
请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于 ，B两点，点D在y轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，则点B恰好落在x轴正半轴上的点C
处．
（1）求 的长；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
4．如图，直线l 的解析式为y＝ x+1，且l 与x轴交于点D，直线l 经过定点A、B，直
1 1 2
线l 与l 交于点C．
1 2
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不
存在，请说明理由．
5．综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ．
点 是线段 上的一个动点（不与 ， 重合），连接 ．设点 的横坐标为 ．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）求 的面积 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择___________题．
A.当 的面积 时．
①判断此时线段 与 的数量关系并说明理由；
②第一象限内存在一点 ，使 是以 为直角边的等腰直角三角形，直接写出点 的
坐标．
B.当 的面积 时．
①判断此时线段 与 的位置关系并说明理由；
②在坐标平面内存在一点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形，直接写出点
的坐标．
6．如图，直线AB：y= x+m与x轴，y轴分别交于点A，B，直线CD：y=-2x+8与x轴，
1 2
y轴分别交于点C，D，直线AB，CD相交于点E，OD=2OA．
（1）写出点A的坐标和m的值；
（2）求S ；
四边形OBEC
（3）在坐标轴上是否存在点P，使得 ？若存在，写出所有满足条件的点P
的坐标：若不存在，说明理由．7．已知直线a： 分别与x、y轴交于点A，C．将直线a竖直向下平移7个单位后
得到直线b，直线b交直线 于点E．已知点M是第一象限直线a上的任意一
点，过点M作直线 轴，交直线b于点N，H为直线 上任意一点，是否存在点M，
使得 成为等腰直角三角形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图1，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l 与y轴交于点
2
，与直线l 交于点D（2，t）．
1
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）如图2，若点P在直线l 上，过点P作 轴交l 于点Q，交x轴于点G，使
1 2
，求此时P点的坐标；
（3）将直线 向左平移10个单位得到直线l 交x轴于点E，点F是点C关于原
3点的对称点，过点F作直线 轴．在直线l 上是否存在动点M，使得 为等腰三角
4
形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，直线 与坐标轴交于点A，B，该直线上的点P到x轴，y轴的距离分别
为 ， ．
（1）若点P为 的中点，求 的值
（2）点P在射线 上，若 ，求点P横坐标x的范围．
（3）若在线段 上存在无数个P点，使 为常数，求m的值．
10．如图，已知点A位于第一象限，且在直线 上，过点A做 轴垂足为点
B， 轴垂足为点C， ．
（1）求点A坐标；（2）如果点E位于第四象限，且在直线 上，点D在y轴上，坐标平面内是否存
在点F，使得四边形 是正方形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说
明理由．
11．已知一次函数的解析式为y=2x+5，其图象过点A（-2，a），B（b，-1）．
（1）求a，b的值，并画出此一次函数的图象；
（2）在y轴上是否存在点C，使得AC+BC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存
在，说明理由．
12．如图1，已知一次函数 ，经过点 ，交 轴与点 ，过点 作
轴于 ．
（1）求一次函数解析式及 的值．
（2）如图2，已知 点的坐标为 ，在 轴上是否存在点 ，使得 和 的面积相等？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在 轴正半轴上是否存在点 ，使得 的面积是 的2倍？若存在，求出 点
的坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图1，已知直线l：y＝kx＋b与直线l：y＝ x交于点M，直线l 与坐标轴分别交
1 2 1
于A，C两点，且点A坐标为（0，7），点C坐标为（7，0）．
（1）求直线l 的函数表达式；
1
（2）在直线l 上是否存在点D，使△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，若存在，请求
2
出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是线段OM上的一动点（不与端点重合），过点P作PB∥x轴交CM于点B，
设点P的纵坐标为m，以点P为直角顶点作等腰直角△PBF（点F在直线PB下方），设
△PBF与△MOC重叠部分的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出相应m的取值
范围．
14．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（6，0）为坐标轴上的点，点C为线段
AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D，点E为y轴负半轴上一点，连结CE交x轴于
点F，且CF＝FE．
（1）直接写出E点的坐标；
（2）过点B作BG∥CE，交y轴于点G，交直线CD于点H，求四边形ECBG的面积；（3）直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，
请说明理由．
15．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交
于 ， 两点，以 为边在第二象限内作正方形 ．
（1）求正方形 的面积；
（2）求点 ， 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
16．如图1，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于A、B两点，
其中 ，点C在x轴的正半轴上，且 ．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移 个单位长度得到直线 ，直线 与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线 ，若点P为y轴上一个动点，Q为直线 上一个动点，求
的周长的最小值；
（3）如图2，直线BC上有一点 ，将直线BC绕点F顺时针旋转90°得到直线 ，
与x轴交于点H，直线 上有一点 ，点M是直线 上一动点，是否存在点M使得
为直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
17．如图1，在平面直角坐标系中有一点 ，将点 向左平移3个单位再向下平移6
个单位得到点 ，直线 过点 、 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ， 是直线 上的一个
动点，通过研究发现直线 上所有点的横坐标 与纵坐标 都是二元一次方程 的
解．
（1）直接写出点 ， ， 的坐标； ___________， ___________， ___________；
（2）①求三角形 的面积；
②当 时，求点 的坐标；
（3）如图2，将 点向左平移 个单位（ ）到 ，连接 ． 平分 交于点 ，已知点 为 轴正半轴上一动点（不与 点重合），射线 交直线 交于点
，交直线 于点 ，试探究 点在运动过程中 、 、 之间是否有
某种确定的数量关系，若存在，请写出对应关系式并证明；若不存在，请说明理由．
18．如图1，已知直线y＝﹣2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第
一象限内作等腰Rt△ABC．
（1）A（ ）；B（ ）；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）如图2，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E，使AE＝AC，AE与x轴相交
于点F．
①求证：BD＝ED；
②在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，直接写出
点P的坐标；若不存在，说明理由．19．如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，将
正比例函数 的图象沿 轴向下平移 个单位长度得到直线 ，直线 分别交 轴、 轴
于点 、 ，交直线 于点 ．
（1）直接写出直线 对应的函数表达式；
（2）在直线 上存在点 （不与点 重合），使 ，求点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请
说明理由
20．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
与函数y＝ x＋b的图象交于点C（－2，m）．
（1）求m和b的值；
（2）函数y＝－x＋b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA向，以每秒2个单位
长度匀速运动到点M（到A停止运动），设点E的运动时间为t秒．
①当ΔACE的面积为12时，求t的值；②在点E运动过程中，是否存在t的值，使ΔACE为直角三角形？若存在，请求出t的值；
若不存在，请说明理由．
21．已知一次函数的图象经过 ， 两点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）在 轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形？如果存在，请求出点 的坐标；
如果不存在，请说明理由．参考答案
1．（1） ；（2）存在，线段 的最小值为4.8．
【分析】
（1）设平移后的直线 的解析式为 ，代入A点坐标即可求解；
（2）根据OP⊥BC时，线段 最小，再根据等面积法即可求解．
解：（1）设平移后的直线 的解析式为 ，
代入 得
解得
∴直线 的解析式为 ；
（2）存在，理由如下：
令x=0，得y=6，∴C（0，6），故OC=6
令y=0，得x=8，∴B（8，0）故OB=8
∴BC=
∵OP⊥BC时，线段 最小，
∵S = =
△ABC
∴ =
即线段 的最小值为4.8．
【点拨】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质、
三角形的面积公式．
2．（1） ；（2）在 轴上是否存在一点E，使EB+ED最小，点E的坐标为(0，
)．
【分析】
（1）将点C(n，2)代入 求得 ，再利用待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）求得D关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与y轴的交点就是E．
解：（1）将点C(n，2)代入 得 ，
∴C(2，2)，
设直线 的解析式为： ，又过B（-1，5）、C(2，2)，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）令 的 ，
则 ，
∴
∴D关于y轴的对称点 ，
由轴对称性可知 ，
∴ ，
当B、E、 三点共线时EB+ED最小，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∴E(0， )，
∴在 轴上是否存在一点E，使EB+ED最小，点E的坐标为(0， )．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及轴对称的性质，正确确定E的
位置是本题的关键．
3．（1） ；（2）C（16，0），D（0，-12）；（3）存在，P点的坐标为（0，16）或
（0，0）．
【分析】
（1）将A（6，0）代入 求得 的值，求得点B的坐标，即可求解；
（2）依据折叠的性质即可得到C（16，0），在Rt△ODC中，依据勾股定理可得
m2+162=(m+8)2，即可得到D（0，-12）；
（3）先求得S 的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐
△PAB
标．
解：（1）∵直线 经过点A（6，0），
∴ ，
∴ ，
∴直线的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点B的坐标为（0，8），
∵A（6，0），B（0，8），
∴AO=6，BO=8，
∴AB= ；
（2）∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，∴AB=AC=10，DC=BD，
∴OC=6+10=16，即C（16，0）；
∵A（6，0），B（0，8），C（16，0），
∴OB=8，OC=16，
设OD=m，
∴BD=8+m，
∴DC=BD=8+m，
在Rt△ODC中，m2+162=(m+8)2，
解得m=12，
∴D（0，-12）；
（3）存在，
∵ ，
∴ ，
∵点P在y轴上， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴P点的坐标为（0，16）或（0，0）．
【点拨】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股
定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是
解题的关键．
4．（1）y＝﹣x+4；（2）6；（3）存在，E的坐标是（ ，0）．
【分析】
（1）利用待定系数法即可直接求得 的函数解析式；
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式
即可求解；
（3）求得C关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的
交点就是E．解：（1）设 的解析式是y＝kx+b，
根据题意得： ，解得 ，
则函数的解析式是：y＝﹣x+4；
（2）在y＝ x+1中令y＝0，
即y＝ x+1＝0，解得：x＝﹣2，
则D的坐标是（﹣2，0），
解方程组 ，解得 ，
则C的坐标是（2，2），
则 ；
（3）存在，理由：
设C（2，2）关于x轴的对称点 （2，﹣2），
连接 交x轴于点E，则点E为所求点，
△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+ ＝BC+ 为最小，
设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则 ，解得： ，
则直线的解析式是y＝﹣ x+ ，令y＝0，则 ，解得：x＝ ，
则E的坐标是（ ，0）．
【点拨】本题主要考查一次函数与几何综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．（1） 点坐标为（10，0）， 点坐标为（0，5）；（2） ，
；（3）A：① ，见解析；② ， ；B：①OF为AB的五等分线；
②Q点坐标为（4，-2）或（8，6）．
【分析】
（1）分别令x=0和y=0代入解析式求解；从而得到A点和B点坐标；
（2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；
（3）A.①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得OF与AB的长，
从而求解；
②根据全等三角形的判定和性质求解；
B.①根据三角形面积关系确定同底三角形中，OF与AB的位置关系；
②由题意点Q在AF的垂直平分线上，然后结合等腰直角三角形的性质和线段中点坐标公
式以及勾股定理列方程组求解
解：（1）当x=0时，
当y=0时， ，解得：
∴ 点坐标为（10，0）， 点坐标为（0，5）
（2）点 是线段 上的一个动点（不与 ， 重合），设点 的横坐标为
过点F作FE⊥x轴∴F点坐标为
∴ 的面积 ，
（3）A．①当 的面积 时
，解得：
∴F点坐标为
在Rt△OEF中，
在Rt△AOB中，
∴
②过点F作NG⊥x轴，过点P 作PN⊥NE，过点P 作PM⊥x轴
1 1 2 2
∵ 是等腰直角三角形
∴ ，
∴
∴
在 和 中
∴ ≌
∴ ，∴ ，
∴ ，即
同理， ，
∴ ，
∴ ，
综上，符合题意的坐标为 ，
B．①当 的面积 时
∴F点为AB的五等分点且
∴OF为AB的五等分线
②当 的面积 时
，解得：
∴F点坐标为
作AF的垂直平分线NG交AF于点M
∴M点坐标为 ，即在Rt△AEF中，
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形
∴ ，
设Q 的坐标为（a，b），由题意可得
1
，解得： ，
∴Q点坐标为（4，-2）或（8，6）．
【点拨】本题考查一次函数的应用以及勾股定理，综合性较强，掌握相关性质定理正确推
理计算是解题关键．
6．（1）(-4，0)，2；（2） ；（3）存在，P（0，5）或（0，-1）或（2，0）或（-10，
0）
【分析】
（1）先求出点D坐标，进而可求点A坐标，代入解析式可求m的值；
（2）联立方程组可求点E坐标，由面积和差关系可求解；
（3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
解：（1）∵直线CD：y=-2x+8与x轴，y轴分别交于点C，D，
2
∴点C（4，0），点D（0，8），
∴OD=8，
∵OD=2OA，
∴OA=4，∴点A（-4，0），
∵点A在直线AB上，
∴0= ×（-4）+m，
∴m=2；
（2）∵m=2，
∴y= x+2，
1
联立方程组可得： ，解得： ，
∴点E坐标为（ ， ），
∵S =S -S ，
四边形OBEC △AEC △ABO
∴S = ×8× - ×4×2= ；
四边形OBEC
（3）∵S = ×（8-2）× = ，
△BDE
∴S = S =6，
△ABP △BDE
当点P在y轴时，设点P（0，p），
∴ ×4×|p-2|=6，
∴p=5或-1，
∴点P（0，5）或（0，-1）；
当点P在x轴时，设点P（a，0），
∴ ×2×|a+4|=6，
∴a=-10或2，
∴点P（2，0）或（-10，0）；
综上所述：点P（0，5）或（0，-1）或（2，0）或（-10，0）．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二元一次方程组的应用，
三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．7．（12，14）或（ ， ）
【分析】
当点N与E（5，7）重合时，作MH∥x轴交直线y＝x＋2于H，此时△MNH是等腰直角三
角形，取EH的中点H′，连接MH′，此时△MNH′也是等腰直角三角形，进而即可求解．
解：存在．理由如下：
∵直线y＝2x＋4竖直向下平移7个单位后得到直线b，
∴直线b的解析式为y＝2x−3，
由 ，解得： ，
∴E（5，7），
当点N与E（5，7）重合时，作MH∥x轴交直线y＝x＋2于H，此时△MNH是等腰直角三
角形，取EH的中点H′，连接MH′，此时△MNH′也是等腰直角三角形，
此时，M（5，14），MH∥x轴，
∴H（12，14），
∵E（5，7），EH′＝HH′，
∴H′（ ， ）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（12，14）或（ ， ）．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的性质，解题的关键是，，
属于中考常考题型．
8．（1） ，（2） ；（3） 或 ， 或【分析】
（1）把点D坐标代入直线 求出t的值，运用待定系数法求出l 即可；
2
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）设 则 ，分
， ， 三种情况列式求解即可．
解：（1）∵D（2，t）在直线
∴ ，
∴D（2，3）
设直线 的解析式为 ，
将点C，D代入得，
解得，
所以，线 的解析式为
（2）设
∵PQ//x轴，
∴G(a,0)，Q(a，2a-1)
∵ ， 且
∴
∴
解得， ， （舍去）
∴
（3）存在，理由如下：
对于直线
当 时， ；当 时，∴ ,
∴
如图，
∵
∴
又∵
∴
∴ 的解析式为:
设 则
当 为等腰三角形，有：
① 时，
解得， ，即
② 时，
解得： 或
即 ，③ 时，
解得， 或 （舍去）
即
综上，点M的坐标为： 或 ， 或 ．
【点拨】本题为一次函数综合运用题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、
等腰三角形的性质等知识，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
9．（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）分别求出点A和点B的坐标，再根据点P是AB的中点，求出点P的纵、横坐标即可
得到结论；
（2）设点P的坐标为（a， ），再分 和 两种情况表示出 ，再代
入 ，求出a的取值范围即可；
（3）设点P的坐标为（b， ），方法同（2）求出 ，进一步求出m的值即可．
解：（1）∵直线 与坐标轴交于点A，B，
∴把x=0、y=0分别代入 得，
y=-4，x=3
∴A（3，0），B（0，-4）
过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，如图，
∵P是AB的中点，∴
∴
（2）设点P的坐标为（a， ）
∵点P在射线AB上，
∴
∴
当 时，
∴ ，解得，
∴ ；
当 时，
∴ ，解得，
∴
∴
∴点P的横坐标x的取值范围是： ；
（3）若P在线段AB上，则设点P的坐标为（b， ）
∴ ， ，
∴
若 为常数时，则
当 时，∴ ．
【点拨】此题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟悉一
次函数的性质是解答此题的关键．
10．（1）（2，1）；（2）存在，（ ， ）
【分析】
（1）要求A的坐标，且A在直线y=2x-3上，可设A的坐标为（a，2a-3），再在Rt△OBC
中用勾股定理且A在第一象限求出a即可；
（2）根据E在第四象限，且在直线y=2x-3上，设E（m，2m-3），D在y轴上，结合正方
形ADEF，画出图形，得出AD=DE，AD⊥DE．再由全等三角形模型的三垂直模型作出辅助
线，证明△ADH≌△DEG，求出a即可．
解：（1）设点A的坐标为（a，2a-3），
∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，
∴OB=a，OC=2a-3，
∵BC= ，∠BOC=90°，
∴5=a2+（2a-3）2，
∴a=2或a= ，
∴点A的坐标为（2，1）或（ ， ），
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（2，1）；
（2）如图，分别过点A、点E作AH⊥y轴于H、EG⊥y轴于G，∵∠HAD+∠ADH=90°，
∠EDG+∠ADH=90°，
∴∠HAD=∠EDG，
在△HAD与EDG中，
，
∴△HAD≌GDE（AAS），
∴AH=DG=2，DH=GE，
根据E在第四象限且在直线y=2x-3上，
设E（m，2m-3），
则GE=DH=m，OG=3-2m，
∴OG+OH=DH+DG=3-2m+1=2+m，
∴m= ，
∴E的坐标为（ ， ）．
【点拨】本题考查了一次函数设点求坐标及勾股定理的应用，比较基础；第（2）问重在考
查数形结合思想和三角形全等模型，首先画出图形是关键，其次熟悉三垂直模型，才能顺
利解决此问，属于中档压轴题．
11．（1）a=1，b=-3；图象见解析；（2）存在，C（0， ）．
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法即可求出a，b的值，利用描点法画出一次函数的图象即可；
（2）存在．作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，点C即为所求．求出直
线BA′的解析式即可解决问题.
解：（1）∵直线y=2x+5图象过点A（-2，a），B（b，-1），
∴a=1，b=-3．
一次函数如图所示：
（2）存在．作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，点C即为所求．
∵A′（2，1），B（-3，-1），
∴直线BA′的解析式为y= x+ ，
∴C（0， ）．
【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识.
12．（1） ，2；（2）存在， 或 ；（3）存在， ．
【分析】
（1）用待定系数法可求出一次函数的解析式，由此即可得出答案；
（2）△AMN和△ABC的面积相等，即 AB•BC＝ ，即可求解；
（3）过点B作直线m∥AC，交y轴于点M，设直线AC交y轴于点N（0，1），而△ACP的面积是△ABC的2倍，在点N上方2MN处作直线n∥AC，n与y轴的交点即为点P，即
可求解．
解：（1）将点 的坐标代入 得： ，解得 ，
故一次函数的表达式为 ，
将点 的坐标代入上式并解得： ，
故点 的坐标为 ；
（2）存在，理由：
设点 ，
由点 的坐标知， ， ，
和 的面积相等，即 ，
则 ，解得 或 ，
故点 的坐标为 或 ；
（3）存在，理由：
由点 的坐标知，点 ，
过点 作直线 ，交 轴于点 ，设直线 交 轴于点 ，
，则设直线 的表达式为 ，
将点 的坐标代入上式得： ，解得 ，故点 ，
则 ，的面积是 的2倍，在点 上方 处作直线 ， 与 轴的交点即为点
，
则 ，故点 ．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、面积的计算等，有一定
的综合性，难度适中．
13．（1）y＝﹣x＋7；（2）存在，D（9，12）或（﹣3，﹣4）；（3）当0＜m＜ 时，
；当 ≤m＜4时，
【分析】
（1）将点A，C坐标代入直线y＝kx＋b中，求解，即可得出结论；
（2）先求出点M的坐标，再分点D在射线OM和射线MO上，利用面积的关系求出
OD，即可得出结论；
（3）先表示出PF＝PB＝7﹣ m，再分两种情况，利用面积公式，即可得出结论．
解：（1）∵直线l：y＝kx＋b与坐标轴分别交于A（0，7），C（7，0），
1
∴ ，解得 ，
∴直线l 的函数表达式为：y＝﹣x＋7；
1
（2）联立方程组 ，解得， ，
∴M（3，4），
如图1，过点M作ME⊥x轴于E，
∴OE＝3，ME＝4，根据勾股定理得，OM＝5，
设D（3n，4n），
①当点D在射线OM上时，△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，
∴DM＝2OM＝10，
∴OD＝15，
∴（3n）2＋（4n）2＝152，
∴n＝3或n＝﹣3，由于点D在第一象限内，
∴n＝3，
∴D（9，12）；
②当点D在射线MO上时，△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，
∴DM＝2OM，
∴OM＝OD＝5，
∴（3n）2＋（4n）2＝52，
∴n＝1或n＝﹣1，
由于点D在第三象限内，
∴n＝﹣1，
∴D（﹣3，﹣4），
即点D（9，12）或（﹣3，﹣4）；
（3）∵点P的纵坐标为m，
∴P（ m，m），
∵PB∥x轴，
∴B（7﹣m，m），
∴PB＝7﹣m﹣ m＝7﹣ m，
∵以点P为直角顶点作等腰直角△PBF，
∴PF＝PB＝7﹣ m，
当7﹣ m＝m时，m＝ ；
①当0＜m＜ 时，如图2，记PF与x轴相交于G，BF与x轴相交于H，
∴PG＝m，
FG＝PF﹣PG＝7﹣ m﹣m＝7﹣ m，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴∠F＝∠PBF＝45°，
∵PB∥x轴，
∴∠GHF＝45°＝∠F，∴FG＝HG，
∴S＝S ﹣S ＝ PB2﹣ FG2
△PBF △FGH
＝ [（7﹣ m）2﹣（7﹣ m）2]
＝﹣ m2＋7m；
②当 ≤m＜4时，如图3，
S＝S ＝ PB2＝ （7﹣ m）2＝ m2﹣ m＋
△PBF
【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰直角
三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
14．（1）E（0，﹣2）；（2）27；（3）存在，点Q的坐标为（3，15）或（3，﹣ ）．
【分析】
（1）证明△CDF≌△EOF（AAS），由全等三角形的性质得出CD＝OE，由中位线定理求出
CD＝2，则可得出答案；
（2）过出直线CE的解析式，可求出直线BG的解析式，则求出AG＝12，由S ＝
四边形ECBG
S ﹣S 可求出答案；
△ABG △ACE
（3）分点Q在x轴的上方或点Q在x轴下方两种情况画出图形，由等腰直角三角形的性质
和全等三角形的性质可求出答案．
解：（1）∵CD⊥x轴，
∴∠CDF＝90°＝∠EOF，又∵∠CFD＝∠EFO，CF＝EF，
∴△CDF≌△EOF（AAS），
∴CD＝OE，
又∵A（0，4），B（6，0），
∴OA＝4，OB＝6，
∵点C为AB的中点，CD∥y轴，
∴CD OA＝2，
∴OE＝2，
∴E（0，﹣2）；
（2）设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∵C为AB的中点，A（0，4），B（6，0），
∴C（3，2），
∴ ，
解得 ，
∴直线CE的解析式为y x﹣2，
∵BG∥CE，
∴设直线BG的解析式为y x+m，
∴ 6+m＝0，
∴m＝﹣8，
∴G点的坐标为（0，﹣8），
∴AG＝12，
∴S ＝S ﹣S
四边形ECBG △ABG △ACE
AE×OD
6×3＝27．
（3）直线CD上存在点Q使得∠ABQ＝45°，分两种情况：
如图1，当点Q在x轴的上方时，∠ABQ＝45°，
过点A作AM⊥AB，交BQ于点M，过点M作MH⊥y轴于点H，
则△ABM为等腰直角三角形，
∴AM＝AB，
∵∠HAM+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠HAM＝∠ABO，
∵∠AHM＝∠AOB＝90°，
∴△AMH≌△BAO（AAS），
∴MH＝AO＝4，AH＝BO＝6，
∴OH＝AH+OA＝6+4＝10，
∴M（4，10），
∵B（6，0），
∴直线BM的解析式为y＝﹣5x+30，
∵C（3，2），CD∥y轴，
∴C点的横坐标为3，
∴y＝﹣5×3+30＝15，
∴Q（3，15）．
如图2，当点Q在x轴下方时，∠ABQ＝45°，过点A作AN⊥AB，交BQ于点N，过点N作NG⊥y轴于点G，
同理可得△ANG≌△BAO，
∴NG＝AO＝4，AG＝OB＝6，
∴N（﹣4，﹣2），
∴直线BN的解析式为y x ，
∴Q（3， ）．
综上所述，点Q的坐标为（3，15）或（3， ）．
【点拨】本题是综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
一次函数解析式的求法，四边形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定
与性质是解题的关键．
15．（1）5；（2） ， ；（3）存在，
【分析】
（1）在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）过C作y轴垂线，过D作x轴垂线，分别交于点E，F，可得三角形CBE与三角形
ADF与三角形AOB全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C与D坐标即可；
（3）作出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，连接BD，BM，此时
△MDB周长最小，求出此时M的坐标即可．
解：（1）对于直线 ，令 ，得到 ；令 ，得到 ，∴ ， ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ；
所以正方形 面积为5.
（2）作 轴， 轴，可得 ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
（3）找出 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，此时 周长最小，
∵ ，
∴
设直线 的解析式为 ，
把 与 坐标代入得： ，解得： ，即直线 的解析式为 ，
令 ，得到 ，即 ．
【点拨】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，正
方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，熟练掌握
定理及性质是解本题的关键．
16．（1） ，（2） ，（3） ，
， ， ．
【分析】
（1）求出OB长，再求OA长，得到A点坐标代入解析式即可；
（2）根据平移得到直线 解析式，求出D点坐标，作 关于直线 对称点 ， 关于 轴
对称点 ，连接 ， ， ．求出 即可；
（3）求出F、G、H点坐标，设 点坐标为 ，根据直角不同分类讨论，勾股定
理列方程即可．
解：（1）直线 ： 分别与 轴、 轴交于 ， 两点，
∴ 点坐标为 ，则 ，
，∴A点坐标为（-3,0），代入 得，
解得， ，
故直线 的解析式为： ．
（2）将直线 ： 下平移 个单位长度得到直线 ： ，与 轴交于点
，与直线 交于点 ，过点 作 轴的垂线 ，
∴ 点坐标为 ，直线 ： ，
∵ ，
∴ 点坐标为 ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ 点坐标为 ，
如图所示，作 关于直线 对称点 ， 关于 轴对称点 ，连接 ， ， ．∴ 坐标为 ， 坐标为 ，
由对称性可知 ， ，
周长
，
当点 ， ， ， 四点共线时， 周长取得最小值为 ，
又 ，
周长最小值为 ．
（3）点 为直线 ： 上一点
∴ ，即 ，
将直线 绕点 顺时针旋转90°得到直线 ，
∴设直线 解析式为 ，
将 代入 中得 ，
∴直线 ： ，
又直线 与 轴交点为 ，
∴ 点坐标为 ，
点 为直线 上有一点，
∴ ，则 ，
∴ 点坐标为 ，又点 为直线 上一动点
∴设 点坐标为 ，
∴ ，
，
，
若 为直角三角形，由勾股定理可知：
或 或
① 时，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
②当 时，
，
，
∴ ，
∴ ；
③当 时，，
∴ ， ，
∴ ，
综上所述：当 为直角三角形时，
点 的坐标为： ， ， ，
．
【点拨】本题考查了一次函数的综合问题，解题关键是树立数形结合思想、分类讨论思想，
设坐标表示线段长，根据勾股定理列方程．
17．（1） ； ； ；（2）①3；② 或 ；（3）存在，
或 ；理由见解析
【分析】
(1)根据平移和一次函数与坐标轴交点，可求坐标；
(2) ①根据 ，分别求出三个三角形的面积相加即可；②根据
可判断 为 的中点或 是 三等分点，且靠近 ，列方程即可求解；
(3) 根据点 在 上和点 在 延长线上分类讨论，利用平行线的性质和三角形内角和
求出它们的关系即可．
解：（1）根据平移可得，B点坐标为 即 ；
∵直线 上所有点的横坐标 与纵坐标 都是二元一次方程 的解，可知直线 解析
式为 ，
当 时， ，∴ ；
当 时， ，解得 ，∴ ；故答案为： ； ； ；
（2）
①
∵ ，
，
，
∴ ，
②当 在 点的下方，
∵ ，
∴ 为 的中点，
∴ ，即 ，
解得， ，∴
当 在 ， 之间时，∵
∴ 是 三等分点，且靠近
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，
综上 或 ，
（3） 平分 ，
∴设 ，
由题 ∥x轴，则 ，
①当点 在 上， ，
在 中， ，即
，代入上式得 ；
②当点 在 延长一上时，
由 ，则 ，
，
， ，代入上式得，
．【点拨】本题考查了一次函数的综合和平行线的性质，解题关键是熟练运用一次函数性质
和平行线性质进行推理证明和计算．
18．（1）（0，2），（1，0）；（2）y＝ x﹣ ；（3）①见解析；②存在，点P的坐标
为（﹣ ， ）或（ ， ）．
【分析】
（1）y=-2x+2中，当x=0时y=2，则A（0，2），当y=0时，-2x+2=0，解得x=1，即可求解；
（2）证明△ABO≌△BCD（AAS），则BD=OA=2，CD=OB=1，求出点C（3，1），即可求
解；
（3）①证明△BCG≌△BEM（AAS）、△BDO≌△EDN（AAS），即可求解；②当点P在点A
的下方时，由△ABP的面积=S -S = ×BF×（y -y ）= （1+ ）×（2-3m-2）= ，即
△ABF △BFP A P
可求解；当点P′在点A的上方时，则点A是点P′、P的中点，即可求解．
解：（1）y＝﹣2x+2中，当x＝0时y＝2，
∴A（0，2），
当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴B（1，0）；
故答案为：0，2；1，0；
（2）如图①，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠OAB＝∠DBC，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1，
则点C（3，1），
设直线所在直线解析式为
把点B、C的坐标代入得
解得，
∴直线BC所在直线解析式为 ；
（3）①过点C作CG⊥x轴于点G，作EM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，则∠BGC＝∠BME＝∠END＝∠BOD＝90°，
∵∠ABC＝90°，且AE＝AC，
∴AB是CE的中垂线，
∴BC＝BE，
∵∠CBG＝∠EBM，
∴△BCG≌△BEM（AAS），
∴BM＝BG＝2，EM＝CG＝1，
∵BO＝1，
∴OM＝EN＝OB＝1，
∵∠BDO＝∠EDN，
∴△BDO≌△EDN（AAS），
∴BD＝ED；
②如图③，
由 知D（0，﹣ ），即OD＝ ，
则AD＝OA+OD＝ ，∴S ＝ AD•OB＝ × ×1＝ ，
△ABD
由①知E（﹣1，﹣1），
根据A（0，2）、E（﹣1，﹣1）得直线AE解析式为y＝3x+2，
当y＝0时，3x+2＝0，解得x＝﹣ ，
∴F（﹣ ，0），
设点P的坐标为（m，3m+2），
当点P在点A的下方时，
则△ABP的面积＝S ﹣S ＝ ×BF×（yA﹣yP）＝ （1+ ）×（2﹣3m﹣2）＝ ，
△ABF △BFP
解得m＝﹣ ，
故点P的坐标为（﹣ ， ）；
当点P′在点A的上方时，
则点A是点P′、P的中点，
由中点坐标公式得：点P的坐标为（ ， ），
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
【点拨】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握掌握待定系数法求函数解析式、
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及割补法求三角形的面积等知识点．
19．（1）y＝2x−3；（2）F（−4，11）；（3）P（4，0）或（−4，0）
【分析】
（1）由平移的性质可得直线l的解析式；
（2）作EM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N，由“AAS”可证△EBM≌△FBN，可得FN＝EM，即可
求解；
（3）在y轴正半轴上取一点Q，使OQ＝OD＝3，由等腰三角形的性质和角的数量关系可
求∠PBO＝∠BPQ，可求PQ＝5，由勾股定理可求解．
解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，
∴直线l的解析式为y＝2x−3；
（2）如图1，作EM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N，联立方程组得： ，解得： ，
∴点E（4，5），
∴EM＝4，∠EMB＝∠FNB＝90°，
∵BE＝BF，∠EBM＝∠FBN，
∴△EBM≌△FBN（AAS），
∴FN＝EM＝4，
在 中，当x＝−4时，y＝11，
∴F（−4，11）；
（3）∵直线 交y轴于点B，
∴B（0，8），
∵直线y＝2x−3与y轴交于点D，
∵D（0，−3），
∴OB＝8，OD＝3．
如图2，在y轴正半轴上取一点Q，使OQ＝OD＝3，∵∠POB＝90°，OQ＝OD，
∴PQ＝PD，
∴∠PDO＝∠PQO＝∠PBO＋∠BPQ，
∵∠PDO＝2∠PBO，
∴∠PBO＝∠BPQ，
∴PQ＝BQ＝BO−OQ＝5，
∴OP= ，
∴P（4，0）或（−4，0）．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，
一次函数的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．（1）m=4，b= ；（2）①t=5；②t＝4或t＝6
【分析】
（1）根据点C（−2，m）在直线y＝−x＋2上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐
标，再根据点C在函数y＝ x＋b的图象上，可以得到b的值；
（2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式
表示出AE的长度，然后根据△ACE的面积为12，即可得到t的值；②先写出使得△ACE
为直角三角形时t的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当∠ACE＝90°和∠CEA＝90°对
应的t的值即可解答本题．
解：（1）∵点C（−2，m）在直线y＝−x＋2上，
∴m＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，
∴点C（−2，4），∵函数y＝ x＋b的图象过点C（−2，4），
∴4＝ ×（−2）＋b，得b= ，
即m的值是4，b的值是 ；
（2）①∵函数y＝−x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（2，0），点B（0，2），
∵函数y＝ x＋ 的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（−14，0），
∴AD＝16，
∵△ACE的面积为12，
∴(16−2t)×4÷2＝12，
解得，t＝5．
即当△ACE的面积为12时，t的值是5；
②当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形，
理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，
∵点A（2，0），点B（0，2），点C（−2，4），点D（−14，0），
∴OA＝OB，AC＝4 ，
∴∠BAO＝45°，
∴∠CAE＝45°，
∴∠CEA＝45°，
∴CA＝CE＝4 ，
∴AE＝8，
∵AE＝16−2t，
∴8＝16−2t，
解得，t＝4；
当∠CEA＝90°时，
∵AC＝4 ，∠CAE＝45°，
∴AE＝4，∵AE＝16−2t，
∴4＝16−2t，
解得，t＝6；
由上可得，当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形．
【点拨】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三
角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性
质和分类讨论的数学思想解答．
21．（1）直线AB的表达式为y＝2x+4；（2）存在，P（2 ，0），或（﹣2 ，0）
或（17，0）或（4，0）．
【分析】
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质，分三种情况讨论，根据勾股定理列出方程，计算即可得出结
论．
解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
把A（2，8）,B（0，4）代入表达式得：
解得：
∴直线AB的表达式为y＝2x+4；
（2）存在，
设点P（m，0），
∵A（2，8），O（0，0），
∴OP2＝m2，OA2＝68，AP2＝（m﹣2）2+64，
∵△AOP是等腰三角形，
∴①当OP＝OA时，m2＝68，
∴m＝±2 ，
∴P（2 ，0），或（﹣2 ，0）②当OP＝AP时，m2＝（m﹣2）2+64，
∴m＝17，
