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专题4.12 分组分解法（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．已知实数m，n，p，q满足 ， ，则
（ ）
A．48 B．36 C．96 D．无法计算
2．已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则三角形ABC
的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．把 分解因式的结果是（ ）．
A． B．
C． D．
4．用分组分解 的因式，分组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若a、b为有理数，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，则a＋3b＝（ ）
A．8 B．4 C．－4－ D．－8
6．把 x y 2 y 1分解因式结果正确的是（ ）
A．x y 1x y 1 B．x y 1x y 1
C．x y 1x y 1 D．x y 1x y 1
7．下列运算不正确的是（ ）
A．
B．C．
D．
8．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（ ）
A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）
C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）
9．设a，b，c是 的三条边，且 ，则这个三角形是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10．将多项式x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1分解因式，正确的是（ ）
A．（x+y）2 B．（x+y﹣1）2
C．（x+y+1）2 D．（x﹣y﹣1）2
11．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）．
A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
二、填空题
12．若 ，则 _________．
13．把 分解因式正确的结果是_____________．
14．分解因式 _______________．
15．分解因式： ________________．
16．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，则代数式a2+b2+c2﹣ab
﹣bc﹣ca的值是___________．
17．已知a﹣b=3，b+c=﹣5，代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为__．
18．若 ，则 ______．
19．已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣
ac的值为_____．20．已知 ， ，则代数式 的值是________．
21．已知 ， ， 是正整数， ，且 ，则 _________
22．对于任意正整数 ，整式 的值一定是__________的倍数（填最
大的正整数）
23．因式分解到 时，还未完毕，再分解下去，得______.
24．若代数式 有最小值，则最小值是_______．
25．因式分解： _______．
三、解答题
26．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式
只用上述方法无法分解，如： ，细心观察这个式子，会发现前两项符合平
方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公
因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法
解决下面的问题：
（1）分解因式： ；
（2） 的三边 ， ， 满足 ，判断 的形状．
27．阅读材料：若 ，求 、 的值．
解：∵ ，∴
∴ ，
∴
∴ ．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知△ABC的三边长 、 、 都是正整数，且满足 ，求
△ABC边 的最大值．
28．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只
用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符
合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提
取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为： ；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2） 三边a，b，c满足 ，判断 的形状.参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子
进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条
件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．
2．D
【解析】
【分析】
将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，再利用非负数的
性质求解即可．
【详解】
∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
故选D．
【点拨】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形
的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
3．B
【解析】
【分析】
此题可用分组分解法进行分解，分别将一、三项和二、四项分为一组，然后再用提取公因
式法进行因式分解．
【详解】解：a2+2a-b2-2b，
=（a2-b2）+（2a-2b），
=（a+b）（a-b）+2（a-b），
=（a-b）（a+b+2）．
故选：B．
【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．应针对各
式的特点选用合适的分组方法．
4．D
【解析】
【分析】
分组后应用公式法、提公因式法分解，看是否有公因式可提出或者公式法分解，对各选项
分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A. ，不能分解，本选项不合题意；
B. ，不能分解，本选项不合题意；
C. ，不能分解，本选项不合题意；
D. ，本选项符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了因式分解－分组分解法、公式法、提公因式法，合理分组后能继续分
解是解题关键．
5．D
【解析】
【分析】
根据已知，将其a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0变形为 ，利用非负数的性质，求出a
和b，最后代入即可.
【详解】
解： a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝a2－2ab＋b2＋b2＋4b＋4＝a-b=0 b+2=0
a+3b= 故选择D
【点拨】本题考查了利用公式进行变形，其次是平分的非负性，利用这个性质求得a,b的
值是关键.
6．A
【解析】
【分析】
由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
【详解】
解：原式=
=
=
故选A．
【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题
后三项可以构成完全平方式，首要考虑的就是三一分组．
7．B
【解析】
【详解】
根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
，A正确，不符合题意；
，B错误，符合题意；
，C正确，不符合题意；
，D正确，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解
题的关键．
8．D【解析】
【分析】
先把x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3转化为（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4），因为前三项、后三项符合完
全平方公式，然后根据平方差公式进一步分解．
【详解】
解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3
=（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）
=（x﹣1）2﹣（y+2）2
=[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]
=（x+y+1）（x﹣y﹣3）．
故选D．
【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，本题的关键是将原式转化为完全平方的形式，
然后分组分解．解题时要求同学们要有构造意识和想象力．
9．D
【解析】
【分析】
把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，
求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】
解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，
∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，
a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故选D.
【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0
的形式是解题的关键.
10．B
【解析】【分析】
此式是6项式，所以采用分组分解法．
【详解】
解：x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1=（x2+2xy+y2）﹣（2x+2y）+1=（x+y）2﹣2（x+y）+1=（x+y﹣
1）2．
故选：B
11．A
【解析】
【分析】
由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
【详解】
解：原式=x2-（y2+2y+1），
=x2-（y+1）2，
=（x+y+1）（x-y-1）．
故选A．
12．2022
【解析】
【分析】
根据 ，得 ，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代
入求解即可．
【详解】
∵
∴
∴故填“2022”．
【点拨】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体
代入的思想是解决本题的关键．
13．
【解析】
【分析】
由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
【详解】
解：
．
故答案为 ．
【点拨】本题考查分组分解法后再用公式因式分解的方法，掌握因式分解的方法，特别是
超过三项以上要进行分组考虑是解题关键．
14．
【解析】
【分析】
把前面三项作为一组，正好是完全平方公式，再用平方差公式分解即可．
【详解】
，
，
，
．
故答案为：(x-y+1)(x-y-1)【点拨】本题考查了因式分解中的分组分解法和公式法，关键是正确分组，注意分组时要
保证下一步能够进行，分组的方法可以是两项一组，也可以是三项一组．
15．
【解析】
【分析】
首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．
【详解】
解：
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式
的因式分解，分组目的是分组后能出现公因式或能应用公式．
16．3
【解析】
【分析】
根据a=-226x+2017，b=-226x+2018，c=-226x+2019，可以求得a-b、b-c、a-c的值，然后将
所求式子变形再因式分解即可解答本题．
【详解】
解： ， ， ，
， ， ，故答案为：3．
【点拨】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用完全平
方公式因式分解，求出所求式子的值．
17．-6
【解析】
【分析】
先利用已知条件计算出a＋c＝−2，然后利用分组分解的方法把ac−bc＋a2−ab因式分解，再
利用整体代入的方法计算．
【详解】
∵ac−bc＋a2−ab＝c（a−b）＋a（a−b）＝（a−b）（c＋a），
∵a−b＝3，b＋c＝−5，
∴a＋c＝−2，
∴ac−bc＋a2−ab＝3×（−2）＝−6．
故答案为：−6．
【点拨】本题考查了因式分解的应用：用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明
问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．
18．-1
【解析】
【分析】
先分组，再化为完全平方公式，进而求出x、y的值即可.
【详解】
由x2−4x+y2+6y=−13 ，得x2−4x+y2+6y+13=0，
故x2−4x+4+y2+6y+9=0，
(x-2)2+(y+3)2=0，
所以x-2=0，y+3=0，
所以x=2，y=-3，
所以x+y=2-3=-1.
故答案为：-1
【点拨】此题考查了分组法分解因式，掌握完全平方公式是解答此题的关键.
19．3
【解析】【分析】
根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后
利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【详解】
解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac
=
=
=
=3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解
答．
20．-3
【解析】
【分析】
先根据 ， ，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【详解】
∵ ， ，
∴a-c=-1，
∴
=
=
==-3，
故答案为：-3.
【点拨】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公
因式法是解题的关键.
21．1或11
【解析】
【分析】
根据因式分解的分组分解法即可求解．
【详解】
a2﹣ab﹣ac+bc=11
(a2﹣ab)﹣(ac﹣bc)=11
a(a﹣b)﹣c(a﹣b)=11
(a﹣b)(a﹣c)=11
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，又∵a，b，c是正整数，
∴a﹣b=1或11，a﹣c=11或1．
故答案为：1或11．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
22．6
【解析】
【分析】
原式用分组分解法按一三、二四分组，进行化简，然后判定结果同时被2和3整除，即能
被6整除，即可解答本题．
【详解】
=
=
==
= ．
∵n和n+1有一个是偶数，
∴n(n+1)(2n+1)能被2整除，
若n能被3整除，则n(n+1)(2n+1)，能被3整除，
若n除3余数是2，则n+1除3余数是3，即能被3整除，
若n除3余数是1，设n=3k+1，则2n+1=6k+2+1=6k+3，能被3整除，
∴n(n+1)(2n+1)能被3整除．
∵2和3互质，2×3=6，
∴n(n+1)(2n+1)能被6整除，
则整式 的值一定是6的倍数．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，正确用分组分解法分解因式是解答本题的关键．
23．
【解析】
【分析】
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题x3-x2分为一组，另两项
分为一组．
【详解】
解：原式=（x2+1）[x2（x-1）+（x-1）]
=（x2+1）2（x-1）．
故答案为（x2+1）2（x-1）．
【点拨】本题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本
题可以两两分组．
24．-10
【解析】
【分析】
将原式变形为 ，然后分组进行变形进一步即可得出答案.【详解】
=
= .
∴当 ， 时原代数式有最小值，并且最小值为 .
所以答案为 .
【点拨】本题主要考查了完全平方式的实际运用，熟练掌握相关公式是解题关键.
25．
【解析】
【分析】
将原式进行拆解变形为 后，先将前面几项利用十字相乘
法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.
【详解】
=
= +
=
= .
所以答案为 .
【点拨】本题主要考查了十字相乘法与提公因式法进行因式分解，熟练掌握相关方法并且
合适地进行分组分解是解题关键.
26．（1） ；（2）等腰三角形，见解析【解析】
【分析】
（1）应用分组分解法，把 分解因式即可．
（2）先因式分解，再求a，b，c的关系，判断三角形的形状．
【详解】
解：（1） ；
（2）由 ，可得 ，
即 ，
∵在 中， ， ，
， ，
∴ 是等腰三角形．
【点拨】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键．
27．（1）-4；（2）8
【解析】
【分析】
（1）通过阅读材料，学会用按公式分组，利用公式化为两个非负数的和，利用非负数的性
质来解即可，
（2）用按公式分组，利用公式化为两个非负数的和，利用非负数的性质来求出 的值，
利用三边关系求满足条件的最大整数即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是 的三边，
∴ ，
∴ 又∵ 为正整数，
∴ 的最大值为8．
【点拨】本题考查阅读理解与应用解题问题，关键是从阅读中学会分组的方法，会用公式
边非负数的和，会解非负数和的方程，会用三角形三边关系取值．
28．（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【解析】
【分析】
（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出
即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关
系，判断三角形形状即可．
【详解】
解：（1）9x2-6xy+y2-16
=（3x-y）2-42
=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点拨】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出
是解题关键．
