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专题 4.1-3 因式分解
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·湖北武汉市·八年级期末）下列等式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：A、 ，原选项变形错误，故不符合题意；
B、 ，原选项变形错误，故不符合题意；
C、 ，原选项变形正确，故符合题意；
D、 ，原选项变形错误，故不符合题意；
故选：C．
2．（2021·全国九年级专题练习）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c中，
系数的最大公约数是6，
相同字母的最低指数次幂是ab2，
因此公因式是6ab2，
故选择：C.
3．（2020·浙江杭州市·九年级期中）分解下列因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：A、原式=（a-2）（a+2），故本选项不符合题意．
B、a2+4不能进行因式分解，故本选项不符合题意．
C、原式不能进行因式分解，故本选项不符合题意．
D、原式=2（a2-4）=2（a+2）（a-2），故本选项符合题意．故选：D．
4．（2020·贵州铜仁市·七年级期末）多项式 可因式分解为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵ = =x2-5x+6，
∴m=-5
故选D
5．（2020·四川成都市·成都实外八年级月考）下列多项式：① ；② ；③
；④ 中，能用公式法分解因式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】
解：① ，是提取公因式法分解因式
② ，不能用公式法分解因式；
③ ，符合题意；
④ ，符合题意．
故选：B．
6．（2020·浙江杭州市·七年级期中）把多项式 分解因式，提公因式 后，另一
个因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：
= ，
∴另一个因式为 ，
故选A．
7．（2021·全国九年级专题练习）长为 ，宽为 的长方形，它的周长为10，面积为5．则 的值
为（ ）A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】A
【详解】
解：∵长为 ，宽为 的长方形，它的周长为10，面积为5．
∴ ， ，
则 ，
则 ．
故选：A．
8．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知 可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（
）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
【答案】B
【详解】
解：利用平方式公式进行分解该数字：496-1=（448+1）（448-1）=（448+1）（424+1）（424-1）=（448+1）
（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43-1）
=（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63
则这两个整数为63和65，
故选：B．
9．（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知 ， ，则M与N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：N-M=（m2-3m）-（m-4）
=m2-3m-m+4
=m2-4m+4
=（m-2）2≥0，
∴N-M≥0，即M≤N，
故选：B．
10．（2021·全国九年级专题练习）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c
均为整数，求a+b+c之值为何？（ ）
A．8 B．10 C．12 D．22
【答案】C
【详解】
解：将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．
∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．
故选C．
11．（2020·浙江七年级期末）已知一个长为 ，宽为 的矩形 ，将它的长增加8、宽增加 得
到一个新矩形 ，且矩形 的周长是 周长的3倍（如图）．同时，矩形 的面积和另一个一边长为
的矩形 的面积相等，则 的值（ ）
A． 或 B． C． D．不能确定
【答案】A
【详解】
解：∵矩形B的周长是A周长的3倍，
∴2×（x+2+x-2）×3=2×（x+10+x-2+a）
∴a=4x-8，
所以矩形B的面积为：（x+2+8）（x-2+4x-8）=5x2+40x-100，
∵矩形C的面积与B的面积相等，5x2+40x-100=5（x+10）（x-2），
故①当m=-10，矩形C的另一边为5x-10．
②当m=2，矩形C的另一边为5x+50，
故选A．
12．（2020·浙江七年级期末）若代数式 ，则 的值（ ）
A． B． C．1 D．无法确定
【答案】B
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x+1=0，y-2=0，
∴x=-1，y=2，
∴ = = ，
故选B．13．（2020·浙江七年级期末）已知a、b、m、n满足 ，则 的
值为（ ）
A．6 B．9 C．13 D．25
【答案】C
【详解】解：∵am+bn=2，an-bm=3，
∴（am+bn）2=4，即a2m2+2abmn+b2n2=4 ①，
（an-bm）2=9，即a2n2-2abmn+b2m2=9②，
∴①+②，得：a2m2+b2n2+a2n2+b2m2=13，
∴a2（m2+n2）+b2（m2+n2）=13，
∴（a2+b2）（m2+n2）=13，
故选：C．
14．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知 ， 满足 ，则下面关于 ， 描
述正确地是（ ）
A．满足条件的整数 ， 有2对 B．满足条件的整数 ， 有4对
C．满足条件的整数 ， 有8对 D．满足条件的整数 ， 有无数对
【答案】C
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
令A=x-2y，B=y+1，
∵x，y均为整数，
∴ （舍去）， ， （舍去）， （舍去）， ， （舍去），
∴ 或 ，
解得： 或 或 或 或 或 或 或 共8对，
故选C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·河南信阳市·观庙初级中学八年级月考）观察下列从左到右的变形：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ；
其中是因式分解的有______（填序号）．
【答案】（3）
【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解）
（1） 不是因式分解，不符合题意；
（2） 不是因式分解，不符合题意；
（3） 是因式分解，符合题意；
（4） 是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：（3）.
16．（2020·浙江杭州市·七年级期末）若 ，则 分解因式为____________．
【答案】（x+5y）（x-5y）
【详解】
解：由|m-1|+（n-25）2=0得：
m-1=0，n-25=0，
∴m=1，n=25，
所以mx2-ny2=x2-25y2=（x+5y）（x-5y），
故答案为：（x+5y）（x-5y）．
17．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码
的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式： 因式分解的结果是
，当取 时，各个因式的值是： ， ，于是就可
以把“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式 ，当取 时，
得到密码596769，则 ______， ________．
【答案】
【详解】
∵当 时，密码为596769，且 的系数是1
∴
∴
即18．（2020·四川成都市·成都实外八年级月考）若多项式 分解因式后，有一个因式是 ，
则 的值为______．
【答案】5
【详解】
解：设另一个因式为x+a，则（x+a）（x-3）=x2+（-3+a）x-3a，
∴-m=-3+a，6=-3a，
∴a=-2，m=5，
故答案为：5．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·首都师范大学附属育新学校八年级月考）因式分解：（1） ；（2）
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】
解：（1）原式=
=
（2）原式=
=
20．（2020·北京海淀区·人大附中八年级月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）
=0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【答案】△ABC是等边三角形．证明见解析
【详解】
ABC是等边三角形，
理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0
△
∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2=0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，
则a=b，b=c，
故a=b=c，
则△ABC是等边三角形．
21．（2020·全国八年级课时练习）如图，长和宽分别为 的长方形的周长为10，面积为6，求
的值．【答案】30
【详解】
解：长和宽分别为 的长方形的周长为10，面积为6，
．
22．（2020·濮阳市油田第十二中学九年级期末）（阅读学习）
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，
如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1） ；
（2） ．
（学以致用）
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1） ；
（2） ．
（拓展应用）
已知： ， ．求： 的值．
【答案】（1） ；（2） ；
【拓展应用】 ．
【详解】
（1）
（2）
【拓展应用】
∵ ， ，
代入得：原式= ．
23．（2020·全国八年级课时练习）观察等式，回答问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
（2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，则需应用上述方法 次，结果是 ；（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n．
【答案】（1）提取公因式法，3；（2）2016，（1+x）2016；（3）（1+x）n+1．
【详解】
解：（1）1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3，
上述分解因式的方法是提取公因式法，共应用了3次；
故答案为：提取公因式法，3；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，
=（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014]
=（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2013]
……
=（1+x）2016
则需应用上述方法2016次，结果是（1+x）2016；
故答案为：2016，（1+x）2016；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n
=(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]
=(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]
=(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]
……
=(1＋x)n(1＋x)
=(1＋x)n＋1．
24．（2021·全国九年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，
其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：
．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写
在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．
这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为 与
例如：
分析：解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③ ________．
（2）已知： 、 、 为 的三条边， ，求 的周长．
【答案】（1）① ，② ，③ ；（2）7
【详解】
解：（1）①
；
②
；
③ ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ．
∴ 的周长为7．
25．（2020·陕西西安市·）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中 ，将原长方形的长和宽各增加3
厘米，得到的新长方形的面积为 ；将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形的面积为 ．（1）若a，b为正整数，请说明 与 的差一定是5的倍数；
（2）若 ，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）50
【详解】
解：（1） ，
，
所以 ，所以 与 的差一定是5
的倍数；
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
因为将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积为
（平方厘米）.
26．（2021·全国九年级专题练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问
题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B
类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2a2+3ab+b2＝（2a+b）
（a+b）．
（1）若解释因式分解3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要
取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（2）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为
5a2+mab+b2，则m的值为 ，将此多项式分解因式为 ．
（3）有3张A类，4张B类，5张C类卡片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些
纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）6，（5a+b）（a+b）；（3）a+2b
【详解】
解：（1）如图所示；（2）由题意可得，m＝6，
∴5a2+6ab+b2＝（5a+b）（a+b）；
（3）3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，
4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，
5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，
∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），
故答案为：a+2b.
