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专题 4.1-3 因式分解
典例体系 （本专题共 7 2 题 2 0 页）
一、知识点
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解
因式）；
2、公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；
3、因式分解的方法：
提公因式法：关键在于找出最大公因式
因式分解：
平方差公式：a² -b² =(a + b)(a - b)
公式法
完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab +b²
(a - b)² = a² + 2ab +b²二、考点点拨与训练
考点1：判定是否是因式分解
典例：（2021·山东烟台市·八年级期末）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
方法或规律点拨
本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·沙坪坝区·重庆八中八年级期末）下列各式，从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．a（a+2b）＝a2+2ab B．x﹣1＝x（1﹣ ）
C．x2+5x+4＝x（x+5）+4 D．4﹣m2＝（2+m）（2﹣m）
2．（2021·北京九年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+ ）
3．（2020·浙江七年级期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·浙江七年级期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·重庆渝中区·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a（a+1）＝a2+a
B．a2+2a﹣1＝a（a+2）﹣1
C．4a2﹣2a＝2a（2a﹣1）
D．a2﹣4+4a＝（a+2）（a﹣2）+4a
6．（2021·广东韶关市·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·山东泰安市·八年级期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A． B．
C． D．
8．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·江苏南通市·八年级期末）对于① ，② ，从
左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．①是因式分解，②是乘法运算
C．都是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
10．（2021·河南开封市·八年级期末）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：求因式中的字母系数
典例：（2021·江西赣州市·八年级期末）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
， ，
解得 ， ，
∴另一个因式为 ，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式 可分解为 ，则 ________；
（2）若二次三项式 可分解为 ，则 ________；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
方法或规律点拨
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相
反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
巩固练习
1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）把多项式 分解因式，得 ，则a，b的值分别
是（ ）A． B． C． D．
2．（2021·四川宜宾市·八年级期末）因式分解 时，甲看错了 的值，分解的结果是
，乙看错了 的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·四川省遂宁市第二中学校八年级月考）多项式 ( )分解因式的结果足
，则下列判断正确的是( )
A． B． C． 且 D． 且
4．（2020·山西临汾市·）把 分解因式得 ，则 的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．1
5．（2020·山东泰安市·东平县江河国际实验学校八年级月考）如果多项式x2﹣mx＋6分解因式的结果是
（x﹣3）（x＋n），那么m，n的值分别是（ ）
A．m＝﹣2，n＝5 B．m＝2，n＝5 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝﹣5，n＝2
6．（2020·福建宁德市·八年级期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是
（ ）
A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10
7．（2020·全国七年级专题练习）若x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为( )
A．1 B． C． D．6
8．（2020·江苏苏州市·七年级期末）若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m的值是
（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．±4
9．（2019·四川成都市·八年级期末）已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣1），则b、c的值为（
）
A．b＝3，c＝﹣2 B．b＝﹣2，c＝3 C．b＝2，c＝﹣3 D．b＝﹣3，c＝﹣2
10．（2021·全国九年级专题练习）若多项式 含有因式 ，则 的值是________．
11．（2020·大庆市万宝学校八年级期末）多项式 因式分解得 ，则
__________．
12．（2021·全国九年级专题练习）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：
，（其中 、 代表两个被污染的系数），则 _______， _______．
13．（2021·社旗县新时代国际学校八年级月考）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了
一次项系数而分解成 ，另一位同学因看错了常数项而分解成 ，求出原多项式．考点3：用提公因式法因数分解
典例：63．（2020·山东中区·初二期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1） ]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是 ．
方法或规律点拨
本题考查因式分解-提公因式法，解题的关键是掌握因式分解-提公因式法.
巩固练习
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确
的是（ ）
A．（a﹣2）（m2﹣m） B．m（a﹣2）（m+1）
C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（2﹣a）（m+1）
2．（2020·重庆月考）一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则 的值为
________．
3．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）分解因式：ab﹣b＝_____．
4．（2019·广东潮州·其他）分解因式：x2y﹣2xy＝_____．
5．（2020·山东东明·期末）若 ，则代数式 的值为_________．
6．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）因式分解： _________.
7．（2020·四川开江·期末）因式分解： ____．
8．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室一模）分解因式： .
9．（2020·山东日照·中考真题）分解因式：mn+4n＝_____．
10．（2021·温州市第二十三中学初三开学考试）因式分解： ________．
11．（2020·陕西城固·初二期末）分解因式；x2﹣16x＝______．
考点4：用平方差公式因式分解
典例：（2020·思南县张家寨初级中学期末）因式分解：
(1) ； (2) ．
方法或规律点拨
本题考查了运用提公因式法和平方差公式法分解因式，难度不大，属于基础题，熟练掌握基本运算公式和
方法是解答的关键．
巩固练习1．（2020·陕西横山·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
2．（2020·湖南邵阳·期末）（______） ．
3．（2020·全国月考）因式分解：a2b﹣25b＝_____．
4．（2020·深圳市福田区南华实验学校其他） 因式分解：（x+2）2﹣9＝_____．
5．（2020·广东高州·期中）在实数范围内分解因式：a4﹣4＝_____．
6．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果 ， ，那么
______.
7．（2019·四川南充·一模）把 分解因式，结果是 _________．
8．（2021·浙江瑞安·开学考试）若 是方程组 的解，则代数式 的值是
_______．
考点5：用完全平方公式因式分解
典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是
（ ）
A．±8 B．4 C．±4 D．8
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式．能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，
就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
巩固练习
1．（2020·湖南期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·重庆月考）下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1
3．（2020·思南县张家寨初级中学期末）已知x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，那么k的值
是（ ）
A．5 B．±5 C．10 D．±10
4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列各式能分解因式的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2020·吉林市舒兰市教育局初三开学考试）分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( )
A．(x－1)(x－2) B．x2
C．(x＋1)2 D．(x－2)26．（2020·银川唐徕回民中学二模）分解因式：2x3-8x2y+8xy2=______．
7．（2020·广东高州·期中）分解因式：x2﹣8x+16＝_____．
8．（2020·江苏徐州·期末）因式分解： __________．
9．（2020·江苏初三一模）分解因式：（a+b）2﹣4ab= ．
10．（2020·湖南期末）因式分解： __________．
11．（2020·思南县张家寨初级中学期末）分解因式：x3y－2x2y2＋xy3＝____．
12．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）把下列各式进行因式分解
（1）
（2）
13．（2020·黑龙江哈尔滨·初三一模）分解因式：
14．（2020·湖南永州·初一期末）因式分解：
(1) ；(2)
15．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）把 分解因式，并求 时
的值．
考点6：综合应用提公因式法和公式法进行因式分解
典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数 ， 满足 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
方法或规律点拨
本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用．
巩固练习
1．（2020·湖南邵阳·期末）把 因式分解．
2．（2020·湖南期末）因式分解：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
3．（2020·江苏梁溪·期末）把下列各式分解因式：
（1） ；
（2） ．
4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）分解因式：
（1）x3﹣x；
（2）2a2﹣4a+2；
（3）m4﹣2m2+1．
5．（2020·江苏盱眙·期末）因式分解：（1）
（2）
6．（2021·浙江长兴·开学考试）已知 ，求
（1） 的值；
（2） 的值．
7．（2020·苏州市吴江区同里中学期末）因式分解：
(1)3m2n-12mn+12n； (2)a2(x-y)+9(y-x)
8．（2020·西藏日喀则·期末）已知 a+b=3，ab = 2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值．
9．（2019·陕西商州·初二期末）先因式分解，再求值： a3b+a2b2+ ab3，其中a＝2，b＝3．
