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专题4.13 《一次函数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象
法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.
2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本
性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加
深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.
【要点梳理】
要点一、函数的相关概念
x y x
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值，
y x y x
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.
y x x a y b b a
是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
y kxb k b k b
一次函数的一般形式为 ，其中 、 是常数， ≠0.特别地，当 ＝0时，
y kxb y kx k
一次函数 即 （ ≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些
点组成的图形，就是这个函数的图象.
特别说明：
y kxb y kx b b
直线 可以看作由直线 平移| |个单位长度而得到（当 ＞0时，向
b y kxb y kx
上平移；当 ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数 与函数 的图象之
间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）特别说明：
k b ykxb
理解 、 对一次函数 的图象和性质的影响：
k y kxb b
（1） 决定直线 从左向右的趋势（及倾斜角 的大小——倾斜程度），
y k b ykxb
决定它与 轴交点的位置， 、 一起决定直线 经过的象限．
l y k xb l y k xb
（2）两条直线 1： 1 1和 2： 2 2的位置关系可由其系数确定：
k k l l
1 2 1与 2相交；
k k b b l l
1 2，且 1 2 1与 2平行；
k k b b l l
1 2，且 1 2 1与 2重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
xa y b
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 、直线 不是一次函数的图象.
【典型例题】
类型一、函数的概念1、图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间
x（min）之间的函数关系图像如图2所示．
（1）根据图2填表：
0 3 6 8 12 …
（2）变量y是x的函数吗？________．
（3）根据图中的信息，可得出摩天轮的直径为________m．
【答案】（1）见详解；（2）是；（3）65
【分析】（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；
（2）利用函数的定义直接判断即可．
（3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径．
解：（1）填表如下：
0 3 6 8 12 …
5 70 5 54 5 …
（2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，
所以y是x的函数，
故答案是：是；
（3）∵最高点为70米，最低点为5米，
∴摩天轮的直径为65米，
故答案是：65．
【点拨】本题考查了函数的图象，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度
不大．举一反三：
【变式1】有一个容积为 L的水池，现用10台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，
已知每台抽水机每小时可抽水 L．
（1）抽水1小时后，池中还有水______L；
（2）在这一变化过程中哪些是变量，哪些是常量？
【答案】（1）250；（2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水
机每小时抽水的体积是常量；抽水时间，水池中的水的体积是变量
【分析】（1）用容积总量减去10台抽水机1小时抽水的量即可；
（2）根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与
常量；
解：（1）抽水1小时后，池中还有水：350-10×10=250L；
故答案为：250；
（2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水
的体积是常量；抽水时间，水池中的水的体积是变量；
【点拨】此题考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每
一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式2】下图中有两个变量，你能将其中一个变量看作另一个变量的函数吗？
【答案】能,理由见解析.
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯
一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．依此即可求解．
解：∵对于x的每一个取值，y有2个确定的值，
∴y不是关于x的函数.
∵对于每个变量y，都有唯一确定的x与之对应，
∴x可以看成关于y的函数.
【点拨】考查了函数的概念，说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变
量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函
数值有且只有一个值与之对应，即单对应．类型二、一次函数的解析式
2、在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的
方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y.(当点P与点A或
D重合时，y＝0)
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图像．
【答案】见解析.
【分析】（1）分以下三种情况：点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD
上运动，分别根据三角形的面积公式可得；
（2）根据（1）中函数关系式即可得,点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x
之间的函数表达式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．
解：①当点P在边AB上运动，即0≤x＜3时，
y＝ ×4x＝2x；
②当点P在边BC上运动，即3≤x＜7时，
y＝ ×4×3＝6；
③当点P在边CD上运动，即7≤x≤10时，
y＝ ×4(10－x)＝－2x＋20.
所以y与x之间的函数表达式为：y＝
（2）函数图象如图所示．【点拨】本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和
数形结合思想.根据点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数表达式不相
同，分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图象．
举一反三：
【变式1】已知一次函数 过点（－2，5），且它的图象与y轴的交点和直线
与y轴的交点关于 轴对称，求这个一次函数的解析式．
【答案】
【解析】先求出 与y轴的交点是（0,3）关于x轴对称点是（0，-3），
函数过两个点，可以求出一次函数解析式.
解：由题意得，一次函数 过点（－2，5），所以5=-2k+b,它的图象与y轴的
交点和直线 与y轴的交点是（0,3），关于 轴对称点是（0，-3）,所以
b=-3，所以k=-4,所以 .
【变式2】判断三点A（1，3）、B（－2，0）、C（2，4）是否在同一条直线上，为
什么？
【答案】在
【分析】根据 、 两点的坐标求得直线 的解析式，然后把 的坐标代入看是否
符合解析式即可判定.
解：设A（1，3）、B（-2，0）两点所在直线解析式为y=kx+b
∴ ，
解得 ，
∴y=x+2，
当x=2时，y=4
∴点C在直线AB上，即点A、B、C三点在同一条直线上．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，以及判定是否是直线上的点.类型三、一次函数的图象和性质
3、已知正比例函数y=(2m+4)x，求：
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上？
【答案】(1) m>-2(2) m<-2(3)
【详解】(1)根据函数图象经过一、三象限，可得2m+4>0，求出m的取值范围即可；
(2)根据y随x的增大而减小，可得2m+4<0，求出m的取值范围即可；
(3)直接把点（1,3）代入正比例函数y=(2m+4)x,求出m的值即可.
解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，
∴2m+4>0，∴m>-2．
(2)∵y随x的增大而减小，
∴2m+4<0，∴m<-2．
(3)依题意得(2m+4)×1=3，解得 ．
举一反三：
【变式1】已知一次函数 .
(1) 满足何条件时，y随x的增大而减小；
(2) 满足何条件时，图像经过第一、二、四象限；
(3) 满足何条件时，它的图像与y轴的交点在x轴的上方.
【答案】（1）k>2；（2）22；
(2)∵该函数的图象经过第一、二、四象限，
∴2−k<0，且−2k+6>0，
解得20且2−k≠0，
∴k<3且k≠2.
【点拨】此题考查一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义，结合函数图象进
行解答.
【变式2】已知，一次函数y=（1-3k）x+2k-1，试回答：
（1）k为何值时，y随x的增大而减小？
（2）k为何值时，图像与y轴交点在x轴上方？
（3） 若一次函数y=（1-3k）x+2k-1经过点（3，4）．请求出一次函数的表达式．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据一次函数的性质可得出1﹣3k＜0，解之即可得出结论；
（2）根据一次函数图象与系数的关系结合一次函数的定义可得出关于k的一元一次不
等式组，解之即可得出结论；
（3）把点（3，4）代入一次函数，解方程即可．
解：（1）∵一次函数y=（1-3k）x+2k-1中y随x的增大而减小，
∴1-3k＜0，
解得： ，
∴当 时，y随x的增大而减小．
（2）∵一次函数y=（1-3k）x+2k-1的图象与y轴交点在x轴上方，∴ ，
解得：k＞ ，
∴当k＞ 时，一次函数图象与y轴交点在x轴上方．
（3）∵一次函数y=(1-3k)x+2k-1经过点（3，4），
∴4=3×(1-3k)+2k-1，∴k=- ，
一次函数的表达式为： ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质、一次函数的定义以及一次函数图象与系
数的关系，解题的关键是：（1）根据一次函数的性质找出1﹣3k＜0；（2）根据一
次函数图象与系数的关系结合一次函数的定义找出关于k的一元一次不等式组．
4、如图，一次函数 的图象与 和 分别交于点 和点 ，与正比例函
数 图象交于点 ．
（1）求 和 的值
（2）求 的面积
（3）在直线 上是否存在异与点 的另一点 ，使得 与 的面积相等？
若存在，请求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ， ；（2）5；（3）存在， .
【解析】
试题分析：（1）把点P的坐标代入正比例函数 中，可求出n的值，即可知P的坐标，再把P的坐标代入一次函数y=-x+m中，可求出m的值；（2） 的面积等于
；（3）根据面积相等，求出点C到OB的距离为2，可得出C
的横坐标的值，再根据点C在一次函数的图象上，即可求出C的纵坐标；
解：（1）将 代入 中，得
将 代入 中，得
，
（2）因为点B是一次函数y=-x+5与y轴的交点，
所以点B的坐标是（0，5）
（3）存在，
因为 与 的面积相等，且 ，
所以 ，
又因为OB＝5，
所以点C到OB的距离为2，
所以点C的横坐标为2或－2，
又因为点P的横坐标为2，
所以点C的横坐标为－2，
又因为点C在一次函数y=1.5x上，
所以点C的纵坐标为－3,
所以点C的坐标为（－2，－3）.
举一反三：
【变式1】如图，正比例函数y=kx的图像经过点A，点A在第四象限．过点A做
AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为4.5．
（1）求该正比例函数的解析式；（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x;(2)见解析.
【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析
式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=4，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．
解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为4.5，∴OH×AH÷2=4.5，
∴3×AH÷2=4.5，∴AH=3，∴点A的纵坐标为-3，点A的坐标为（3，-3）．
∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=-3，解得：k=-1，∴正比例函数的解析式是y=－
x；
（2）设OP=x．
∵△AOP的面积为6，点A的坐标为（3，-3），∴ ，∴OP=4，∴点P
的坐标为（4，0）或（-4，0）．
【点拨】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注
意点P的坐标有两个．
【变式2】如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与直线
交于点 ，点 的横坐标为3.
（1）直接写出 值________；
（2）当 取何值时， ？（3）在 轴上有一点 ，过点 作 轴的垂线，与直线 交于点 ，
与直线 交于点 ，若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时， ；（3） 或 .
【分析】（1）先求出点E的坐标，再把E的坐标代入解析式即可
（2）根据点E的坐标，结合图象即可解答
（3）过 作 轴交直线 于点 、交直线 于 点,根据题意求出 的坐标为
，再令 ，得出 的坐标为 ，根据OE,AB的解析式得出点 的坐标为
，点 的坐标为 ，即可解答
解：（1）∵直线 与直线 交于点 ，点 的横坐标为3
∴点 的坐标为 ，代入 中
∴
（2）∵点 的坐标为 ，有图像可知，当 时， .
（3）过 作 轴交直线 于点 、交直线 于 点
∵
∴∴点 的坐标为
∴
令 ，∴
∴点 的坐标为
∵点 ，
直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为
∴
∴
∴
∴ 或
∴ 或
【点拨】此题考查一次函数中的直线位置关系，解题关键在于作辅助线
类型四、一次函数的应用
5、文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4
倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10
本.
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2
元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）
【答案】（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进
货533本，乙种图书进货667本时利润最大.
【分析】（1）乙种图书售价每本 元，则甲种图书售价为每本 元，根据“用1680
元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程
求解即可；
（2）设甲种图书进货 本，总利润 元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式
求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案．
解：（1）设乙种图书售价每本 元，则甲种图书售价为每本 元．由题意得：
，
解得： ．
经检验， 是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本 元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
（2）设甲种图书进货 本，总利润 元，则
．
又∵ ，
解得： ．
∵ 随 的增大而增大，
∴当 最大时 最大，
∴当 本时 最大，
此时，乙种图书进货本数为 （本）．
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．【点拨】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应
用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
举一反三：
【变式1】某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球
多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，
且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的 ，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种
羽毛球每筒的进价为40元．
①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量
m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①进货方案有3种，具体见解析；②当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【详解】
【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，由条
件可列方程组，则可求得答案；
（2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可
得到关于m的不等式组，则可求得m的取值范围，且m为整数，则可求得m的
值，即可求得进货方案；
②用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质可求
得答案．
【详解】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，
根据题意可得 ，解得 ，
答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，根据题意可得 ，解得75＜m≤78，
∵m为整数，
∴m的值为76、77、78，
∴进货方案有3种，分别为：
方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，
方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，
方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；
②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，
∵5＞0，
∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78，
∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，
答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一
次函数的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、
找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键.
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上，AB
＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y轴于M，
（1）求点C的坐标；
（2）连接AM，求△AMB的面积；
（3）在x轴上有一动点P，当PB+PM的值最小时，求此时P的坐标．【答案】（1）C的坐标是（﹣1，1）；（2） ；（3）点P的坐标为（1，0）．
【分析】（1）作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，证明 ≌ ，根据全等三角形
的性质得到CD＝AE，AD＝BE，求出点C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，得到OM的长，根据梯形的面积公式、
三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）根据轴对称的最短路径问题作出点P，求出直线B 的解析式，根据x轴上点的
坐标特征求出点P的坐标．
解：（1）如图，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ACD，
在 和 中，
，
∴ ≌ （AAS），
∴CD＝AE，AD＝BE，
∵A（2，0）、B（3，3），
∴OA＝2，OE＝BE＝3，
∴CD＝AE＝1，OD＝AD﹣OA＝1，
∴C的坐标是（﹣1，1）；（2）如图，作BE⊥x轴于E，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B点的坐标为（3，3），C点的坐标是（﹣1，1），
∴ ，
解得， ，
∴直线BC的解析式为y＝ x+ ，
当x＝0时，y＝ ，
∴OM＝ ，
∴ 的面积＝梯形MOEB的面积﹣ 的面积﹣ 的面积
＝ ×（ +3）×3﹣ ×2× ﹣ ×1×3
＝ ；
（3）如图，作M关于x轴的对称点 （0，﹣ ），连接B ，交x轴于点P，此
时PB+PM=PB+P =B 的值最小，设直线B 的解析式为y＝mx+n，
则 ，
解得， ，
∴直线B 的解析式为y＝ x﹣ ，
点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，
∴点P的坐标为（1，0）．
【点拨】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求一次函
数解析式和求两线段和的最小值，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、
利用待定系数法求一次函数解析式和轴对称的最短路径问题是解决此题的关键．
类型五、一次函数的综合
6、如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为（﹣
8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出△OPA的
面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
27
（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为 ，并说明理由．
83 9
【答案】（1）k= ；（2）△OPA的面积S= x+18 （﹣8＜x＜0）；（3）点P坐标
4 4
13 9 19 9 27
为（− ， ）或（− ，− ）时，三角形OPA的面积为 ．
2 8 2 8 8
【分析】（1）将点E坐标（﹣8，0）代入直线y=kx+6就可以求出k值，从而求出直
线的解析式；
（2）由点A的坐标为（﹣6，0）可以求出OA=6，求△OPA的面积时，可看作以OA
为底边，高是P点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式就可以表示出△OPA．从
而求出其关系式；根据P点的移动范围就可以求出x的取值范围．
（3）分点P在x轴上方与下方两种情况分别求解即可得.
解：（1）∵直线y=kx+6过点E（﹣8，0），
∴0=﹣8k+6，
3
k= ；
4
（2）∵点A的坐标为（﹣6，0），
∴OA=6，
∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，
1 3 9
∴△OPA的面积S= ×6×（ x+6）= x+18 （﹣8＜x＜0）；
2 4 4
1
（3）设点P的坐标为（m，n），则有S = OA·|n|，
△AOP 2
6 27
即 |n|= ，
2 8
9
解得：n=± ，
8
9 9 3 13
当n= 时， = x+6，解得x=− ，
8 8 4 213 9
此时点P在x轴上方，其坐标为（− ， ）；
2 8
9 9 3 19
当n=- 时，- = x+6，解得x=− ，
8 8 4 2
19 9
此时点P在x轴下方，其坐标为（− ，− ），
2 8
13 9 19 9
综上，点P坐标为：（− ， ）或（− ，− ）.
2 8 2 8
【点拨】本题考查了待定系数法、三角形的面积、点坐标的求法，熟练掌握待定系数
法、正确找出各量间的关系列出函数解析式，分情况进行讨论是解题的关键.
举一反三：
【变式1】学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2
个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 ．
请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22
个，花费最少
【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组
，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为 个，购买奖品的花费为W元，根据
题意得到由题意可知， ， ，根据一次函数的性
质，即可求解；
解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，，
A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为 个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知， ，
，
，
当 时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程
组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
【变式2】．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点， 于点
，点 为直线 上不与点 重合的一个动点.
(1)求线段 的长；
(2)当 的面积是6时，求点 的坐标；
(3)在 轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 全等，若存在，
请直接写出所有符合条件的点 的坐标，否则，说明理由.
【答案】(1) ； (2) (-4，6)； (3) ( ， )或( ， )或( ， )或( ， )
【分析】(1)先求得点A、B的坐标，可求得OA、OB、AB的长，利用面积法即可求得OM的长；
(2)先画图，确定△BOP面积可以BO为底，P到y轴距离为高求得P到y轴距离，再
分类讨论求得答案；
(3)分△OMP≌△PQO与△OMP≌△OQP两种情况讨论，结合图象分析即可求解．
【详解】
(1)对于直线 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
点A、B的坐标分别是(4，0)，(0，3)，
∴OA=4，OB=3，AB= ，
∵ ，
∴ ；
(2)过P作PC⊥y轴于C，如图1，
∴ OB•PC=6，
∴PC=4，
∴点P的横坐标为4或-4，
∵点P为直线 上的一个动点且不与A、B重合，
∴横坐标为4时，与A重合，不合题意，
∴横坐标为-4时，纵坐标为： ，
∴当点P坐标为(-4，6)时，△BOP的面积是6；
(3)存在，理由如下：
①当△OMP≌△PQO时，如图2和图3，由(1)得 ，
∴PQ=OM= ，即P点横坐标为 或 ，
纵坐标为： 或 ，
此时点P的坐标为( ， )，( ， )；
②当△OMP≌△OQP时，如图4和图5，
∴OQ=OM= ，即即点P、点Q纵坐标为 或 ，
由 ，解得： ；
由 ，解得： ；
此时点P的坐标为( ， )，( ， )；
