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专题4.13 因式分解中考真题专练（专项练习）
一、单选题
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（
）
A． B．
C． D．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）因式分解： （ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·广西河池·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·广西贺州·中考真题）多项式 因式分解为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广西玉林·中考真题）观察下列树枝分叉的规律图，若第 个图树枝数用 表示，
则 （ ）A． B． C． D．
6．（2021·浙江杭州·中考真题）因式分解： （ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·广西贺州·中考真题）多项式 因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·广西柳州·中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是
（ ）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
9．（2020·广西·中考真题）因式分解a2﹣4的结果是（ ）
A．（a+2）（a﹣2） B．（a﹣2）2 C．（a+2）2 D．a（a﹣2）
10．（2020·西藏·中考真题）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2
11．（2020·四川眉山·中考真题）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．13．（2020·河北·中考真题）对于① ，② ，从左
到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
14．（2020·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2021·江苏南通·中考真题）分解因式： ________．
16．（2021·黑龙江绥化·中考真题）在实数范围内分解因式： _________．
17．（2021·四川泸州·中考真题）分解因式： ___________．
18．（2021·江苏盐城·中考真题）分解因式：a2+2a+1＝_____．
19．（2021·辽宁丹东·中考真题）分解因式： ＝________．
20．（2021·辽宁朝阳·中考真题）因式分解：﹣3am2＋12an2＝____________．
21．（2021·山东淄博·中考真题）分解因式： ________．
22．（2021·云南·中考真题）分解因式： =______．
23．（2021·四川内江·中考真题）若实数 满足 ，则 __．
24．（2021·内蒙古·中考真题）因式分解： _______．
25．（2021·广东·中考真题）若 且 ，则 _____．
26．（2021·湖北十堰·中考真题）已知 ，则
_________．
三、解答题27．（2021·黑龙江大庆·中考真题）先因式分解，再计算求值： ，其中 ．
28．（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：
（m，n是正整数，且 ），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的
绝对值最小，我们就称 是x的最佳分解．并规定： ．
例如：18可以分解成 ， 或 ，因为 ，所以 是18的最佳
分解，所以 ．
（1）填空： ； ；
（2）一个两位正整数t（ ， ，a，b为正整数），交换其个位上的数
字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求
的最大值；
（3）填空：
① ；
② ；
③ ；
④ ．29．（2020·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 区就会自动加上 ，
同时 区就会自动减去 ，且均显示化简后的结果．已知 ， 两区初始显示的分别是25
和－16，如图．
如，第一次按键后， ， 两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求 ， 两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算 ， 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明
理由．
30．（2020·浙江嘉兴·中考真题）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 2x；
②当x＝0时，x2+1 2x；
③当x＝﹣2时，x2+1 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．31．（2017·湖南湘潭·中考真题）由多项式乘法： ，将
该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：
示例：分解因式：
（1）尝试：分解因式： ___ ___)；
（2）应用：请用上述方法解方程： .
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义解答．
【详解】
解： 中 不是整式，故A选项不符合题意；
是整式乘法计算，故B选项不符合题意；是因式分解，故C选项符合题意；
不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式
分解因式，熟记定义是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
先提公因式 ，进而根据平方差公式因式分解即可．
【详解】
故选C．
【点拨】本题考查了综合运用提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的
关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据因式分解的方法，逐项分解即可．
【详解】
A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. 故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．A
【解析】【分析】
先提取公因式 ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可
【详解】
解：
故答案选：A．
【点拨】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的
关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化
规律，进而得到规律 ，代入规律求解即可．
【详解】
解：由图可得到：
则： ，
∴ ，
故答案选：B．
【点拨】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．A
【解析】
【分析】
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解： ，
故选：A．
【点拨】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识
是解题关键．
7．C
【解析】
【分析】
确定公因式，然后用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】
解： ，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了用提取公因式法进行因式分解，解题关键是准确确定公因式，正确提
取公因式．
8．A
【解析】
【分析】
根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除
法求解．
【详解】
解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：A．
【点拨】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关
键．平方差公式： ．
9．A
【解析】【分析】
利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：原式＝（a+2）（a﹣2），
故选：A．
【点拨】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的
关键．
10．A
【解析】
【分析】
各式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B、原式＝2x（y+2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
11．A
【解析】
【分析】
根据 ，变形可得： ，因
此可求出 ， ，把 和 代入 即可求解．
【详解】
∵
∴即 ，
∴求得： ，
∴把 和 代入 得：
故选：A
【点拨】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条
件进行配方是解题的关键．
12．C
【解析】
【分析】
利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
【详解】
A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项正确；
D、 ，故此选项错误．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，
一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
13．C
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义进行判断即可；
【详解】
①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．14．C
【解析】
【分析】
根据平方差公式的特点分析即可．
【详解】
解：A、 不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、 不能运用平方差公式分解，故此选项错误：
C、 能运用平方差公式分解，故此选项正确：
D、 不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故答案为C．
【点拨】本题考查了平方差公式和因式分解，运用平方差公式分解因式的多项式必须是二
项式、两项都能写成平方的形式且符号相反．
15．
【解析】
【分析】
利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式=
故答案为：
【点拨】本题考查了用公式法中的平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特征是关键．
16． ．
【解析】
【分析】
利用平方差公式 分解因式得出即可．
【详解】
解：=
=
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了利用平方差公式 分解因式，熟练应用平方差
公式是解题关键．
17． ．
【解析】
【分析】
先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
18．（a+1）2
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式分解.
【详解】
a2+2a+1＝（a+1）2．
故答案为 .
【点拨】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
19．
【解析】
【分析】【详解】
解： .
故答案为：
20．﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）
【解析】
【分析】
直接提取公因式﹣3a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
解：原式＝﹣3a（m2﹣4n2）
＝﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）．
故答案为：﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式
是解题关键．
21．
【解析】
【分析】
根据因式分解的方法可直接进行求解．
【详解】
解： ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
22．x（x+2）（x﹣2）．
【解析】
【详解】
解： = =x（x+2）（x﹣2）．
故答案为x（x+2）（x﹣2）．
23．2020【解析】
【分析】
由等式性质可得 ， ，再整体代入计算可求解．
【详解】
解： ，
， ，
．
故答案为：2020．
【点拨】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为 ， 是解题的关键．
24．
【解析】
【分析】
首先将公因式a提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】
，
故填： ．
【点拨】本题考查提公因式因式分解，公式法因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：
提公因式因式分解和公式法因式分解．
25．
【解析】
【分析】
根据 ，利用完全平方公式可得 ，根据x的取值范围可得 的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ = ，
∴ = = ，
故答案为：
【点拨】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
26．36
【解析】
【分析】
先把多项式因式分解，再代入求值，即可．
【详解】
∵ ，
∴原式= ，
故答案是：36．
【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
27． ，30
【解析】
【分析】
先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x的值即可．
【详解】
解： ，当 时，原式 ．
【点拨】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
28．（1） ；1；（2）t为39，28，17； 的最大值 ；（3）
【解析】
【分析】
（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求 ＝ ；9=1×9=3×3，由已知可求 =1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得
到b−a＝6，可求t的值，故可得到 的最大值；
（3）根据 的定义即可依次求解．
【详解】
（1）6＝1×6＝2×3，
∵6−1＞3−2，
∴ ＝ ；
9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，
∴ =1，
故答案为： ；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，
∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴ ＝ ；
28＝1×28＝2×14＝4×7，∴ ＝ ；
17＝1×17，
∴ ；
∴ 的最大值 ．
（3）①∵ =20×21
∴ ；
② =28×30
∴ ；
③∵ =40×42
∴ ；
④∵ =56×60
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，
再由数的特点求解是解题的关键．
29．（1） ； ；（2） ；和不能为负数，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的 区就会自动加上 ， 区就会自动减去 ，可
直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．
（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区
显示的代数式的和，判断能否为负数即可．【详解】
解：（1）A区显示结果为： ，
B区显示结果为： ；
（2）初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵ 恒成立，
∴和不能为负数．
【点拨】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题
意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．
30．（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】
解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；
②当x＝0时，x2+1＞2x；
③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．
故答案为：＝；＞；＞．
（2）x2+1≥2x．
证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x．
【点拨】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式
法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．31．(1)2,4；（2） .
【解析】
【详解】
试题分析：(1)把8分解成2 4，且2+4=6，类比例题即可求解；(2)把-4分解成1 （-4），
且1+（-4）=-3，类比例题分解因式，利用因式分解法解方程即可.
试题解析：
（1） _2_ _4_)；
（2）
考点：“十字相乘法”因式分解，解一元二次方程
