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专题4.15 《因式分解》全章复习与巩固（知识讲解）
【知识点一】因式分解与整式乘法的识别
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
【知识点二】因式分解的方法
ma+mb+mc=m(a+b+c)
（1）提取公因式法：
（2）运用公式法：
a2 −b2 =(a+b)(a−b) a2 ±2ab+b2 =(a±b) 2
平方差公式： ；完全平方公式：
x2 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
（3）十字相乘法：
（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
ax2 +bx+c=0(a≠0) x x
（5）运用求根公式法：若 的两个根是 1、 2，则有：
ax2 +bx+c=a(x−x )(x−x )
1 2
【知识点三】因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；
（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法。
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1．对于① ，② 从左到右的变形，表述
正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是整式的乘法
C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，
也叫分解因式）判断即可．解：①（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
②x-3xy=x（1-3y），从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②是因式分解．
故选：D．
【点拨】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化
为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
举一反三：
【变式1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用因式分解的定义结合整式乘法运算法则进而分析得出答案．
解：A、 ，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
B、 ，从左到右是因式分解，符合题意；
C、 ，从左到右变形是整式的乘法运算，故此选项错误；
D、 ，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键．
【变式2】下列各因式分解的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根
据定义依次判断即可．
解： =a（a+1）（a-1），故A错误；，故B错误；
，故C正确；
不能分解因式，故D错误，
故选：C．
【点拨】此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是
解题的关键．
类型二、因式分解
2．因式分解：（1） ； （2）
【答案】（1） ； （2） ．
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式进行因式分解即可；
解：（1）原式=
=
（2）原式=
=
【点拨】本题考查公因式法和公式法的综合运用，一个多项式有公因式先提取公因
式，然后再用其他的方法进行因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（1）计算： ； （2）因式分解： ．
【答案】（1）6a＋13； （2）2x（3x－2y）
【分析】（1）分别运用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可完成；
（2）用提公因式法即可分解因式．
解：（1）原式＝4－a2＋a2＋6a＋9
＝6a＋13；（2）原式＝2x（3x－2y）．
【点拨】本题考查了运用乘法公式进行整式的乘法及因式分解，熟练掌握两个乘法
公式：平方差公式及完全平方公式、提公因式法是解题的关键．
【变式2】分解因式：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先变形，再提公因式法；（2）先提公因式，再逆用完全平方公式．
(1) x(x-y)+ y(y-x)
=x(x-y)- y(x- y)
=(x－y)(x- y)
= (x- y)2；
(2) 5a2b - 20ab2 + 20b3
= 5b(a2 - 4ab + 4b2)
= 5b(a - 2b)2．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决
本题的关键．
3．因式分解
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据平方差公式分解；
（2）将 看作一个整体，先将括号展开化简，再利用十字相乘法逐步分解．
解：（1）
=
= ；（2）
=
=
=
=
【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式，十字相乘法，解题时
要注意整体思想的运用．
举一反三：
【变式1】把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ； （2） ．
【分析】（1）先提公因式，然后了利用完全平方公式进行因式分解，解题得到答案．
（2）利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．
解：（1）原式= = ；
（2）原式= = ．
【点拨】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法进
行因式分解．
【变式2】（1）分解因式： ． （2）分解因式： ．
【答案】（1） ； （2）
【分析】（1）先利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
解：（1）原式 ；（2）原式 ．
【点拨】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，正确运用公式是解题关键．
运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
类型三、因式分解的应用
3．计算：（1） × × ×…× × ；
（2）
【答案】（1） ；（2）1
【分析】（1）先根据平方差公式分解，算出结果后计算乘法即可得到答案；
（2）利用完全平方公式分解计算．
解：（1） × × ×…× ×
=
=
=
= ；
（2）
=
=
=1．
【点拨】此题考查因式分解进行有理数的混合计算，正确掌握因式分解的方法：平方
差公式和完全平方公式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】用简便方法进行计算．（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5． （2） ．
（3）（ ）× …×（ ）． （4）1952+195×10+52．
【答案】（1）214； （2）2；（ 3） ； （4）40000
【分析】（1）把2.14×27、214×0.5化为21.4×2.7、21.4×5的形式，逆运用乘法的分配
律比较简便；
（2）把分母因式分解后，再约分；
（3）先把每个括号利用平方差公式写成积的形式，再约分；
（4）把195×10写成2×195×5，再利用完全平方公式求解．
解：（1）原式＝21.4×2.3+21.4×2.7+21.4×5，
＝21.4×（2.3+2.7+5），
＝21.4×10，
＝214；
（2）原式＝ ，
＝ ，
＝2；
（3）原式＝（1+ ）×（1﹣ ）×（1+ ）×（1﹣ ）×（1+ ）×（1﹣ ）×...×
（1+ ）×（1﹣ ），
＝ ，
＝ ，
＝ ；
（4）原式＝1952+2×195×5+52，
＝（195+5）2，
＝2002，＝40000．
【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，准确分析计算是解题的关键．
【变式2】用简便方法计算．
（1） （2）
【答案】（1）45.8； （2）-20；
【分析】（1）利用平方差公式进行计算；（2）提出 ，然后进行计算即可.
解：（1）
=（7.29+2.71）（7.29-2.71）
=10×4.58
=45.8；
（2）
=
=
=-20
【点拨】本题考查了利用因式分解进行简便计算，掌握因式分解的方法是关键.
4．求证:对于任意自然数n，(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.
【分析】把所给式子利用平方差公式展开，看因数里有没有24即可．
证明：
=24(n+1)，
∴能被24整除.
举一反三：
【变式1】已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断
△ABC的形状，并证明你的结论．
【答案】△ABC是等边三角形．证明见解析
【分析】直接利用因式分解法将原式变形进而分解因式即可.
解：△ABC是等边三角形，理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0
∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2=0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，
则a=b，b=c，
故a=b=c，
则△ABC是等边三角形．
【点拨】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
【变式2】若关于 的二次三项式 能分解成两个整系数的一次多项式的积，
则 有多少个可能的取值？
【答案】 ， ， 有6个可能的取值.
【分析】借助“十字相乘法”分解：对于二次项系数为1多项式，把常数项-12分成两
个因数的积，再将这两个数相加，恰好等于一次项系数 .
解：
， ， ， ， ，
∴ ， ， 有6个可能的取值.
【点拨】本题考查了因式分解－十字相乘法，关键是把常数项分成两个因数的积，再
将这两个数相加，恰好等于一次项系数.
5．已知 ，求 的值.
【答案】
【分析】将等式左边分组，分解成两个完全平方式的和的形式，然后利用非负数的性
质即可得出关于a、b的方程，求出a、b的值，最后在代入计算即可．
解：因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 .【点拨】本题考查了因式分解的应用，熟记完全平方公式的特点，将原式转化为两个
完全平方式的和等于0的形式是解决此题的关键．
举一反三：
【变式1】研究下列算式：
你发现什么规律，请你将找出的规律用含字母 的代数式表示，且加以说明．
【答案】 ，理由见解析.
【分析】通过观察可发现上述算式存在如下规律：4n（n+1）+1=（2n+1）2．
解：4×1×（1+1）+1=32=（2×1+1）2；
4×2×（2+1）+1=52=（2×2+1）2；
4×3×（3+1）+1=72=（2×3+1）2；
4×4×（4+1）+1=92=（2×4+1）2；
…
观察上述算式可发现如下规律：
4n（n+1）+1=（2n+1）2．
理由是： .
【点拨】本题考查了数字的变化规律，根据所给已知条件发现一般性规律是解决此类
问题的关键．
【变式2】已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】本题根据已知条件求得a-b=1，再把要求的式子变形为 然后把a-b=1
代入即可．
解：∵ ，∴ ，
即 ，
∴
【点拨】本题考查了整式的加减和因式分解的内容，要会对代数式进行变形．
