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专题4.17 《因式分解》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练
习）
一、单选题
1．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列从左到右的运算，哪一个是正确的分解因式（ ）
A． B．
C． D．
3．设 ， ，则 ， 的大小
关系是（ ）.
A． B． C． D．无法确定
4．计算 所得的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
5．四个长宽分别为 ， 的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、
宽分别为 、 的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．计算 所得的结果是（ ）
A． B．－ C．－2 D．27．下列多项式：① ；② ；③ ；④ 中，能用公
式法分解因式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．因式分解 ，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，
分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为（ ）．
A． B．
C． D．
9．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
10．关于 的多项式 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．若 ，则 的值不可能为（ ）
A．14 B．16 C．2 D．-14
12．已知 ，则 的值为（ ）
A．45 B．5 C．66 D．17
二、填空题
13．单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．
14．已知 ，则 的值为_____________．
15．利用因式分解计算： ______.
16． 为三角形三边长， ，则该三角形形状为______.
17．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所
示)，从而可得到因式分解的公式________．18．若 ，则 ______， ______．
19．已知 ，那么 ______.
20．已知 ，则
的值为__．
三、解答题
21．分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
22．计算：（1） × × ×…× × ；
（2）
23．求证:对于任意自然数n，(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.24．已知实数a，b满足a(a+1)-(a2+2b)=1，求a2-4ab+4b2-2a+4b的值．
25．阅读理解题：把一个多项式变形为两数和（差）的平方的形式叫配方法.可以用来分解
因式.如：
.
仿照上述方法分解因式：
（1） ；（2） .
26．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：
， ， ，因此4,12,20这三个数都是“巧数”.
（1）400和2020这两个数是“巧数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为 和 （其中 取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧
数”是4的倍数吗？为什么？
（3）求介于50到101之间所有“巧数”之和.参考答案
1．B
【解析】
【分析】
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是
否为分解因式，只需根据定义来确定．
【详解】
A. ，结果不是整式积的形式，故错误；
B. ，正确；
C. ，是多项式乘法，不是因式分解，错误；
D. ，左边是单项式，不是因式分解，错误；
故选：B
【点拨】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．
2．C
【解析】
【分析】
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义利用排除法求解．
【详解】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、不是化为几个整式的积的形式，错误；
C、是因式分解，正确；
D、 ，错误；
故选C．
【点拨】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
3．B
【解析】
【分析】
本题主要是比较大小，将a，b的分子和分母展开，将带平方和立方的项分为一组提取公因
式，其余两项构造为平方差的形式a=
= =1
【详解】
a= = =1，
同理b=1，∴a=b.
【点拨】掌握因式分解提公因式法和平方差公式解题.
4．D
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方的意义可知 表示100个（-2）的乘积，所以，
，再乘法对加法的分配律的逆运算计算即可．
【详解】
解：故选：D．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，在运算中应注意各种运算法则和运算顺序．
5．B
【解析】
【分析】
根据阴影部分的面积为大长方形去掉四个小长方形，再根据图形找到m=a+2b进行代换即
可判断．
【详解】
阴影部分的面积是：大长方形去掉四个小长方形为： ，故A正确；
由图可知：m=a+2b，所以 ，故B错误；
由图可知：m=a+2b，所以 ，故C正确；
由图可知：m=a+2b，所以 ，故D
正确．
故选：B
【点拨】本题考查的是列代数式表示阴影部分的面积，从图形中找到m=a+2b并进行等量
代换是关键．
6．B
【解析】
【分析】
观察可知本题可用提公因式法进行计算，本题公因式为2100．由此即可解答．
【详解】
2100+（－2）101
=2100+（－2）100×（－2）=2100+2100×（－2）
=2100×（1－2）
=2100×（－1）
=－2100．
故选B．
【点拨】本题考查了用提公因式法因式分解的应用，正确的确定公因式是解决本题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．
【详解】
解：① ，是提取公因式法分解因式
② ，不能用公式法分解因式；
③ ，符合题意；
④ ，符合题意．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了公式法以及提取公因式分解因式，正确掌握乘法公式是解题关键．
8．B
【解析】
【分析】
根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以
求出a的值，再因式分解即可得到答案．
【详解】
解：∵甲看错了a的值
∴b是正确的
∵ =
∴b=-6∵乙看错了b的值
∴a是正确的
∵ =
∴a=-1
∴ =
故选：B．
【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，
另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.
【详解】
A. 只有两项，不符合完全平方公式；
B. 其中 、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C. ，其中 与 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
D. 符合完全平方公式定义，
故选：D.
【点拨】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.
10．A
【解析】
【分析】
利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可．
【详解】
解：原式＝∵ ， ，
∴原式≥－1，
∴原式的最小值为－1，
故选A．
【点拨】本题考查完全平方公式的变形，以及平方的非负性，灵活运用公式是关键．
11．B
【解析】
【分析】
根据 ，分类讨论 的取值，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
根据 ， 的值可以是：-1，15；1，-15；-3，5；3，-5四种，
；
；
；
所以不可能是16，
故选：B
【点拨】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
12．A
【解析】
【分析】
将原式变形为 ，然后用整体代入的思想求值.
【详解】
解：
=
=∵
∴原式=
故选：A.
【点拨】本题考查整式的化简求值，利用提公因式的方法进行因式分解，将原式变形，然
后整体代入的思想的运用是本题的解题关键.
13．4x10y3
【解析】
【详解】
运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，可得公因
式为4x10y3．
故答案为4x10y3.
点睛：此题主要考查了找公因式的方法，系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，
即可求解.
14．-2018
【解析】
【分析】
根据 ，得出 ，进一步分解整理代数式即可解答.
【详解】
∵
∴ ，
∴ =
=
=
=1-2019
=-2018.
故答案为：-2018.
【点拨】此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则.
15．29.4
【解析】【分析】
根据提取公因式法，提取公因数14.7，进行简便计算，即可.
【详解】
原式=
=
=29.4
故答案为：29.4.
【点拨】本题主要考查提取公因式法分解因式，提取公因数14.7，进行简便计算，是解题
的关键.
16．等腰三角形
【解析】
【分析】
把等式左边的多项式因式分解，可知 ，进而，可得到答案.
【详解】
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵
∴ ，即a=b，
∴该三角形是等腰三角形.
故答案是：等腰三角形.
【点拨】本题主要考查利用因式分解，判断三角形的形状，把等式左边的多项式利用分组
分解法分解因式，是解题的关键.
17．a2+2ab+b2=（a+b）2
【解析】
【详解】
试题分析：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的
边长为a＋b，面积为(a＋b)2，
所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面
积关系．18． 2 4
【解析】
【分析】
将原式变形为 ，然后利用绝对值和完全平方式的非负性求解.
【详解】
解：∵ 且
∴m-2=0;n-4=0
∴m=2;n=4
故答案为：2；4.
【点拨】本题考查完全平方公式的因式分解和绝对值及完全平方式的非负性，熟练掌握相
关计算方法和性质是本题的解题关键.
19．
【解析】
【分析】
先把 分解因式，在把 ，代入计算，即可.
【详解】
∵ = ，
∴当 时，原式= = .
【点拨】本题主要考查因式分解和代数式的值，把多项式分解因式后，再整体代入求值，
是解题的关键.
20．
【解析】
【分析】
只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可．
【详解】
当 时，当 时，
【点拨】此题考查因式分解的应用，掌握运算法则是解题关键
21．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】
（1）直接根据 进行因式分解即可；
（2）把a+b看作一个整体，根据 进行因式分解即可；
（3）直接根据 进行因式分解即可；
（4）先提取公因式 ，再根据 进行因式分解即可.
【详解】
（1）
=
= ；
（2）
=
= ；（3）
=
= ；
（4）
=
= .
【点拨】此题主要考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，熟练运用乘法公式是解题的
关键.
22．（1） ；（2）1
【解析】
【分析】
（1）先根据平方差公式分解，算出结果后计算乘法即可得到答案；
（2）利用完全平方公式分解计算．
【详解】
（1） × × ×…× ×
=
=
=
= ；
（2）
==
=1．
【点拨】此题考查因式分解进行有理数的混合计算，正确掌握因式分解的方法：平方差公
式和完全平方公式是解题的关键．
23．证明见解析
【解析】
【分析】
把所给式子利用平方差公式展开，看因数里有没有24即可．
【详解】
解：
=24(n+1)，
∴能被24整除.
24．-1.
【解析】
【分析】
先将已知化简得：a－2b＝1，再把所求的式子进行因式分解，最后代入计算．
【详解】
a(a＋1)−(a2＋2b)＝1，
a2＋a−a2−2b−1＝0，
a−2b＝1，
a2－4ab＋4b2－2a＋4b＝(a−2b)2−2(a−2b)＝12−2×1＝－1.
【点拨】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.
25．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）按题干例子，可将式子化为 即可得；
（2）同样地， 即可得.【详解】
（1）
；
（2）
【点拨】本题考查了利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，理解题意，掌握这两
个公式是关键.
26．（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”，理由见解析；（2）是，理由见解析；
（3）532．
【解析】
【分析】
（1）根据“巧数”的定义进行判断即可；
（2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可；
（3）介于50到100之间的所有“巧数”中，最小的为：142-122=52，最大的为：262-
242=100，将它们全部列出不难求出他们的和．
【详解】
解：（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”．原因如下：
因为 ，故400不是“巧数”，
因为2020=5062-5042，故2020是“巧数”；
（2）
∵n为正整数，
∴2n－1一定为正整数，
∴4(2n－1)一定能被4整除，
即由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数；
（3）介于50到100之间的所有“巧数”之和，
S=（142－122）+（162－142）+（182－162）+…+（262－242）=262－122=532．
故答案是：532．
【点拨】本题考查了因式分解的应用．能根据“巧数”的定义进行计算是解决此题的关键．
（2）中能利用因式分解把所求的代数式进行变形是解题关键；（3）中不要先计算50到100之间的每一个巧数，根据题意先把它们的和列出来，会发现可以抵消部分，然后计算
简单．
