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专题4.16 一次函数动点问题（拓展篇）（专项练习）
一、解答题
1．已知一次函数 的图象经过点（4，0）．
（1）求k的值；
（2）画出该函数的图象；
（3）点P是该函数图象上一个动点，连接OP，则OP的最小值是 ．
2．已知一次函数与 轴、 轴分别交于 、 两点， 点的坐标为（-4，0）， 点的坐标
为（0，2）， 是 轴上的一动点，坐标为 ， 的面积为 ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求 与 的函数关系式；
（3）当 时，求点 的坐标．
3．如图，正比例函数y= x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，3），一次函数y=kx+b图象与x轴负半轴交于点B．
（1）根据图象回答问题：不等式kx+b＞ x的解为______；
（2）若AB=5，求一次函数的表达式；
（3）在第（2）问的条件下，若点P是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为
______．
4．如图，已知一次函数 的图像分别与 轴、 轴交于点 、点 ，点 与点
关于 轴对称．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）若点 是 轴上的动点，且 ，求符合条件的点 的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点A、B两
1
点，与正比例函数y＝kx交于点D（2，2）
2
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
（2）若点P（m，m）为直线y＝kx上的一个动点（点P不与点D重合），点Q在一次函
2数y＝kx+6的图象上，PQ∥y轴，当PQ＝ OA时，求m的值．
1
6．如图，一次函数 与坐标轴分别交于 、 两点，点 是线段 上一个动点
（不包括 、 两点）， 是线段 上一点， ，若 是等腰三角形，求点
的坐标．
7．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB为边在
第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出点C的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标．8．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与 轴、 轴分别交于点 、
两点，与正比例函数 交于点 ．
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
（2）若点 为直线 上的一个动点（点 不与点 重合），点 在一次函数
的图象上， 轴，当 时，求点 的坐标．
9．已知一次函数图象经过点 和点 两点，
（1）求此一次函数的解析式；
（2）若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．
（3）若此一次函数的图象与x轴交点C，点 是图象上一个动点（不与点C重合），
设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．10．已知一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4).
（1）求此函数的解析式；
（2）若点P为此一次函数图象上一动点，且△POA的面积为2，求点P的坐标.
11．如图，一次函数 的图像过点 和点 ，以线段 为边在第一象限
内作等腰直角△ABC，使
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出点 的坐标
（3）点 是 轴上一动点，当 最小时，求点 的坐标.12．已知一次函数的图象经过点 .
（1）求此函数的解析式；
（2）若点 为此一次函数图象上一动点，且△ 的面积为2，求点 的坐标.
13．已知：一次函数图象如图，
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S ＝
△OAP
2，求点P的坐标．
14．如图，一次函数y=－ x＋3 的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点．动点P从A
点开始沿折线AO－OB－BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1， ，2
(长度单位/秒)；动点E从O点开始以 (长度单位/秒)的速度沿线段OB运动．设P、E两
点同时出发，运动时间为t (秒)，当点P沿折线AO－OB－BA运动一周时，动点E和P同
时停止运动．过点E作EF∥OA，交AB于点F．
（1）求线段AB的长；
（2）求证：∠ABO=30°；
（3）当t为何值时，点P与点E重合?
（4）当t = 时，PE=PF ．1
y=− x+b
2
15．如图，已知一次函数 的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，
连接OA．
（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x轴的交点C的坐标；
1
y=− x+b
2
（2）设点P为直线 在第一象限内的图像上的一动点，求△OBP的面积S与x
之间的函数关系式，并写出自变量x的范围；
S =24
（3）设点M为坐标轴上一点，且 ΔMAC ，直接写出所有满足条件的点M的坐标．
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB为边在
第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出点C的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点 与点 ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若点M为此一次函数图象上一点，且△MOB的面积为12，求点M的坐标；
（3）点P为x轴上一动点，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 关于 轴的对称点为 ．
（1）点 的坐标为________；
（2）已知一次函数的图象经过点 与 ，求这个一次函数的解析式；
（3）点 是 轴上的一个动点，当 ________时， 的周长最小；
（4）点 ， 是 轴上的两个动点，当 ________时，四边形 的周长
最小；
（5）点 ，点 分别是 轴和 轴上的动点，当四边形 的周长最小时，
________，此时四边形 的面积为________．参考答案
1．(1) k= ;(2)详见解析;(3) .
【分析】
(1)将点(4,0)代入一次函数解出k值即可.
(2)根据一次函数图像的性质画出即可.
(3)根据点到直线的距离垂线段最短,再通过面积公式求出结果.
【详解】
(1)将(4,0)代入y=kx+3,解得k= .
(2)如图所示:
(3)过点O作OC⊥AB,OC则为所求最短距离.
根据勾股定理:AB2=BO2+AO2,AB= ;
根据三角形面积公式:OC=
【点拨】本题考查一次函数的图象的性质,关键在于熟记一次函数的基本性质定义.
2．（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【详解】
（1）设一次函数解析式为 ，
将 、 代入解析式得： ；
（2） ；
（3）因为 ，
所以 ，
即 或 ，
解得 或 ，
所以 的坐标为 或 ．
3．（1）x＜2；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入正比例函数解析式中，求出m，即可 得出结论；
（2）设出点B坐标，利用AB=5，求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入一次函数表达
式中，即可求出k，b，即可得出结论；
（3）点判断出OP⊥AB时，OP最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点A（m，3）在正比例函数y= x上，
∴3= m，
∴m=2，
∴A（2，3），∴不等式kx+b＞ x的解为x＜2，
故答案为：x＜2；
（2）由（1）知，A（2，3），
∵点B在x轴负半轴上，
∴设B（n，0）（n＜0），
∵AB=5，
∴（n-2）2+9=25，
∴n=6（舍）或n=-2，
∴B（-2，0），
将点A（2，3），B（-2，0）代入y=kx+b中得，
∴
∴一次函数的表达式为 .
（3）如图
由（2）知，直线AB的解析式为 .
∴当OP⊥AB时，OP最小，
由（1）知，A（2，3），
由（2）知，B（-2，0），AB=5，
∴S = OB•|y |= AB•OP ，
△AOC C 最小
∴ ×2×3= ×5OP ，
最小∴OP = ，
最小
故答案为： ．
【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的 面积公式，两点间距
离公式，求出直线AB的解析式是解本题的关键．
4．（1） ；（2） 或
【分析】
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点 、 的坐标，由点 与点 关于 轴对
称可得出点 的坐标，待定系数法求得直线 的函数解析式；
（2）设点 的坐标为 ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ．
点 与点 关于 轴对称，
点 的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，
，
，
直线 的函数解析式为 ；
（2）设点 的坐标为 ，
，，
，
点 的坐标为 ， ．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、关于 轴、 轴对称的点的坐标以及
三角形的面积，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点 、 的坐
标是解题的关键．
5．（1）一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；（2）m＝﹣1或m＝
1
【分析】
（1）把（2，2）分别代入y＝kx+6与y＝kx，解方程即可得到结论；
1 2
（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，求得OA＝3，根据点P（m，m），得到Q（m，
﹣2m+6），根据PQ＝ OA列方程即可得到结论．
【详解】
（1）把（2，2）分别代入y＝kx+6与y＝kx得，
1 2
k＝﹣2，k＝1，
1 2
∴一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；
（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，
∴A（3，0），
∴OA＝3，
∵点P（m，m），
∴Q（m，﹣2m+6），
当PQ＝ OA时，PQ＝m﹣（﹣2m+6）＝ ×3，或PQ＝﹣2m+6﹣m＝ ×3，
解得：m＝﹣1或m＝1．
【点拨】本题考查了两条直线相交于平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解
题意是解题的关键．
6．(2，2)或
【分析】
分三种情况讨论：当 时，如图1，易得△ 与△BPO都是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质解答即可；当 时，如图2，过 作 于点 ，则
是等腰直角三角形，根据AAS可证 ，进而可得 ，进一
步即可求出点P坐标；当OP=OC时，易得P、A两点重合，此种情况不合题意，综上可得
答案．
【详解】
解：分三种情况讨论：
当 时，如图1， ，
∴ ，即 轴．
又∵一次函数 与坐标轴分别交于 、 两点，
∴ 中，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴ ，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中点，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图2，过 作 于点 ，则 是等腰直角三角形，∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ．
当OP=OC时， ，则∠POC=90°，此时P、A两点重合，不合题意；
综上所述，若 是等腰三角形，点 的坐标为（2，2）或 ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、等腰三角
形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌
握上述知识是解题的关键．
7．（1）y＝﹣ x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；
（2）作CD⊥y轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形
的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标；
（3）求得B点关于y轴的对称点B′的坐标，连接B′C与y轴的交点即为所求的P点，由B′、C坐标可求得直线B′C的解析式，则可求得P点坐标．
【详解】
（1）设AB直线的解析式为：y=kx+b，
把（0，4）（3，0）代入可得： ，
解得： ，
（2）如图，作CD⊥y轴于点D．
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAD＝90°，
又∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO．
在△ABO与△CAD中，
∵ ，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．
则C的坐标是（4，7）．
（3）如图2中，作点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B（3，0），C（4，7）
∴B′（﹣3，0），
把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n中，
可得： ，
解得： ，
∴直线CB′的解析式为y＝x+3，
令x＝0，得到y＝3，
∴P（0，3）．
【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三
角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
8．（1）一次函数解析式为 ，正比例函数的解析式为： ；（2）点P的坐
标为： 或
【分析】
（1）点D（2，2）代入 和 中，求出解析式即可；
（2）通过一次函数解析式求出点A的坐标，设P点坐标为（m，m），则Q点坐标为
（m，-2m+6），再根据 ，解出m的值，即可求出点P的坐标.【详解】
（1）把点D（2，2）代入 中得： ，
解得： ，
∴一次函数解析式为 ，
把点D（2，2）代入 中得： ，
解得： ，
∴正比例函数的解析式为： ；
（2）把y=0代入 得： ，
∴A点坐标为（3，0），OA=3，
设P点坐标为（m，m），则Q点坐标为（m，-2m+6），
，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点P的坐标为： 或 .
【点拨】本题是对一次函数的综合考查，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及一次函
数知识是解决本题的关键.
9．（1） ；（2） ；（3） （ ）或 （ ）
【分析】
（1）利用A、B两点坐标用待定系数法求得此一次函数解析式；
（2）将点（a，2）代入解析式计算即可；
（3）根据一次函数解析式求得C点坐标为 ，利用三角形的面积公式得到，再分两种情况求解即可.
【详解】
（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，
将点 和点 的坐标代入，得
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为： ；
（2）∵点（a，2）在该函数的图象上，
∴2a-1=2，
解得 ；
（3）当y=0时，得到2x-1=0，解得x= ，
∴C点坐标为 ，
∵P点在直线上，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， .
【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，利用解析式求出点的坐标，一次函数图象
与坐标轴的交点问题，一次函数图象与几何图形.
10．（1）一次函数的解析式为y=-2x+4；（2）P（1，2）或P（3，-2）.
【解析】
（1）根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B两点代入可求出k，b，进
而可求出函数表达式；（2）设点P的坐标为（a，-2a+4），结合A点的坐标可得OA的长，继而根据△POA的面
积为2可得到|a|的值，据此可得到点P的坐标.
解：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）
∵一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4)，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y=-2x+4
（2）∵
∴
∴
当 时， 即P（1，2），
当 时， 即P（3，-2），
∴P（1，2）或P（3，-2）.
11．（1） ；（2） 的坐标是 ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；
（2）作CD⊥y轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△ CAD，由全等三角形
的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标；
（3）求得B点关于y轴的对称点B′的坐标，连接B′C与y轴的交点即为所求的P点，由
B′、C坐标可求得直线B′C的解析式，则可求得P点坐标．
【详解】
解：
设直线 的解析式为： ，
把 代入可得： ，解得：
所以一次函数的解析式为： ；
如图，作 轴于点
，
在 与 中
，
，
，
则 的坐标是 ；
如图 中，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，此时 的值最小，
，
，
把 代入 中，可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得到 ，
.
【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三
角形的判定与性质，以及轴对称-最短距离，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解
答此题的关键．
12．（1）一次函数的解析式为
（2）
【解析】试题分析：（1），根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B两
点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；
对于（2），设点P的坐标为（a，-2a+4），结合A点的坐标可得OA的长，继而根据
△POA的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P的坐标.
试题解析：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）
∵一次函数的图象经过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为（2）∵
当 时，
当 时，
13．（1）y＝﹣x+1；（2）P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．
【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A点坐标，设P（t，-t+1），根据三角
形面积公式得到 ×1×|-t+1|=2，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．
【详解】
（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得 ，解得 ，
所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；
（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），
设P（t，﹣t+1），
因为S ＝2，
△OAP
所以 ×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，
所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函
数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析
式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出
函数解析式．
14．（1）6；（2）详见解析；（3） ；（4）
【分析】
（1）令y=0，求出x，得出A的坐标及OA的长，令x=0，得出B的坐标及OB的长，利用勾股定理即可求出AB的长；
（2）取AB的中点C，连接OC．证明△OAC是等边三角形，得到∠OAB=60°．根据三角
形内角和定理即可得出结论；
（3）由于P在OB上与E重合，则E的路程为OE，E所用的时间为t秒，P的路程为
OA+OE，P在OA上所用的时间为3秒，在OE上所用的时间为（t-3）秒，根据P在OB上
的路程与E的路程相同列方程，求解即可；
（4）先求出点P沿折线AO－OB－BA运动一周时所花的时间为9秒．然后分三种情况讨
论：①当P在线段AO上时；②当P在线段OB上时；③当P在线段BA上时．
【详解】
（1）令y=0，得：y=－ x＋3 =0，解得：x=3，∴A（3，0），∴OA=3．
令x=0，得：y=3 ，∴B（0， ），∴OB= ．
∵∠AOB=90°，∴AB= =6；
（2）取AB的中点C，连接OC．
∵∠AOB=90°，C为AB的中点，∴OC=BC=CA=3．
∵OA=3，∴OC=CA=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAB=60°．
∵∠AOB=90°，∴∠ABO=30°；
（3）由题意得： ，解得： ，所以当 时，点P与点E重合．
（4）P从A到O的时间为t=3÷1=3（秒），P从O到B的时间为 ÷ =3（秒），P从B到A的时间为：6÷2=3（秒），故点P沿折线AO－OB－BA运动一周时所花的时间为
3+3+3=9（秒）．分三种情况讨论：
①当P在线段AO上时，即0＜t＜3时，由题意知：P（3-t，0），E（0， ）．设F
（a，b）．
∵EF∥OA，∴b= ．
∵F在直线AB上，∴ ，解得：a= ．∴F（ ， ）．
∵PE=PF，∴P在EF的垂直平分线上，∴2（3-t）= ，解得：t= ；
②当P在线段OB上时，即3≤t＜6时，由题意知：P（0， ），E（0， ），F
（ ， ）．
∵PE=PF，∴| － |= ，∴ =0，解得：t=9
（舍去）；
③当P在线段BA上时，即6≤t＜9时，由题意知：E（0， ），F（ ， ），
BP= ．设P（m，n），则m= BP= ．
∵PE=PF，∴P在EF的垂直平分线上，∴2（t-6）= ，解得：t= ．
综上所述：t= 或 ．
【点拨】本题是一次函数综合题．考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，
利用了分类讨论的思想．分类讨论是解答本题第（4）问的关键．1
y=− x+4
2
15．（1） C（8，0）;
1
y=− x+4
（2）
2
（
0
