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专题4.16 《因式分解》全章复习与巩固（基础篇）（专项练
习）
一、单选题
1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若 ，则 （ ）
A．64 B．－64 C．48 D．－48
3．多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ）
A．2ab B．－2ab C．3b2 D．－5b2
6．若二次三项式 可以用完全平方公式因式分解，则 的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．16
7．下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
8．把多项式 分解因式的结果为（ ）A． B． C． D．
9．若 ，则 的值为（ ）
A．13 B．18 C．5 D．1
10．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2 B．4x2﹣9＝（4x＋3）（4x﹣3）
C．x2﹣5x＋6＝（x﹣2）（x﹣3） D．a2﹣2a＋1＝（a＋1）2
11．观察下列分解因式的过程： ，这
种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足
，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正
确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
12．对于算式 ，下列说法不正确的是（ ）
A．能被2022整除 B．能被2021整除
C．不能被2023整除 D．能被2019整除
二、填空题
13．边长为a、b的长方形的周长为16，面积为10，则a2b+ab2=__．
14．因式分解：x2-25=_____________．
15．若 ，则 的值是__________．
16．若 ， ，则 的值为______．
17．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，
他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的长为（ ）米，为了使所换土地的面积与
原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是________米.18．计算： ________．
三、解答题
19．因式分解
（1） （2）
（3） （4）
20．已知 ， ，求下列各式的值.
（1） ； （2） .
21．已知 ， 满足 ，求 的值．
22．已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较代数式P，Q的大小．
23．阅读：已知 、 、 为 的三边长，且满足 ，试判断 的
形状．
【解析】解：因为 ，①
所以 ②
所以 ③所以 是直角三角形④
请据上述解题回答下列问题：
（1）上述解题过程，从第______步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为______；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是______，共应用了_____次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法______次，结
果是______．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是_______．参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，
注意因式分解与整式乘法的区别．
2．C
【解析】
【分析】
已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即
可．
【详解】
解：已知等式整理得：x2−x−m＝（x＋n）（x＋7）＝x2＋（n＋7）x＋7n，
∴n＋7＝−1，7n＝−m，
解得：m＝56，n＝−8，
则原式＝m+n＝56-8＝48，故选：C．
【点拨】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，熟练掌握因式分解和整式乘法的关系是
解本题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案．
【详解】
项式 的公因式是
故选：C．
【点拨】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
4．A
【解析】
【分析】
根据提公因式法将 因式分解，再代入数据计算即可．
【详解】
，
将 ， 代入，得： ．
故选：A．
【点拨】本题考查因式分解，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．
5．D
【解析】
【分析】
利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】
解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是−5b2．
故选：D．
【点拨】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】
解：∵ 可以用完全平方公式进行因式分解，
∴k=±4，
故选：C．
【点拨】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据公式法的特点即可分别求解．
【详解】
① 不能用公式法因式分解；
② ，可以用公式法因式分解；
③ 不能用公式法因式分解；
④ = ，能用公式法因式分解；
⑤ = ，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤
故选C．
【点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．
8．B
【解析】
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
解：9a-a3=a（9-a2）=a（3+a）（3-a），
故选：B．
【点拨】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答
的前提．
9．A
【解析】
【分析】
先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将 代入计算即可．
【详解】
解：
∵
∴原式
故选A
【点拨】本题考查代数式求值，完全平方公式．做此类题，首先必须做到心中牢记公式的
“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号
等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了．
10．C
【解析】
【分析】
根据十字相乘法、公式法逐个求解即可．
【详解】
解：选项A：x2＋3x＋2＝(x+1)(x+2)，故选项A错误；
选项B：4x2﹣9＝(2x+3)(2x-3),故选项B错误；
选项C：x2﹣5x＋6＝(x-3)(x-2)，故选项C正确；
选项D：a2﹣2a＋1＝(a-1)²，故选项D错误；
故选：C．【点拨】此题考查了因式分解的方法：十字相乘法以及运用公式法，熟练掌握因式分解的
方法是解本题的关键．
11．A
【解析】
【分析】
先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之间的关系，根据构成三角
形三边的要求，即可得出．
【详解】
解： ，
，
，
或 ，
∴当 时，围成一个等腰三角形；
当 时，不能围成三角形；
故选： ．
【点拨A】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组
分解因式法是解题关键．
12．D
【解析】
【分析】
将原式分解因式变为 即可得到答案．
【详解】
解：∵ ，
∴ 能被2022和2021整除，不能被2023和2019整除
故选D．
【点拨】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法．
13．80
【解析】【分析】
根据题意，知识 ，将a2b+ab2进行因式分解，代入即可求解．
【详解】
解：由题目，有：
a2b+ab2=
故本题答案为：80．
【点拨】本题考查代数式的因式分解，将已知条件代入求值即可，关键在于因式分解的掌
握和应用．
14．
【解析】
【分析】
根据平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：
=
=
故答案为：
【点拨】本题考查了实数范围内分解因式，掌握 是解题的关键．
15．49
【解析】
【分析】
根据平方差公式把原式进行因式分解，把 整体代入分解后的式子，化简后再次利用
整体代入即可得．
【详解】
，原式 ，
故答案为：49.
【点拨】考查了“整体代换”思想在因式分解中的应用，平方差公式，熟记平方差公式，
通过利用整体代入式解题关键．
16．±1
【解析】
【分析】
先把提取公因式 ，根据 ，求出 的值，再根据 ，求出
的值，即可得出 的值．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
；
故答案为： ．
【点拨】此题考查了因式分解的应用，解决此类问题要整体观察，根据具体情况综合应用
相关公式进行整体代入是解决这类问题的基本思想．
17．
【解析】
【分析】
利用4块土地换成一块土地后的面积与原来4块土地的面积相等，而原来的4块土地的总
面积 ，则换成一块土地后面积也为( )平方米，又因为此地
的长为（ ）米，根据矩形面积的公式得到此地的宽为 ，再把整理变形后再进行除法运算即可得到结论．
【详解】
解：∵原来4块地的总面积 ，
∴将这4块地换成一块地后面积为( )平方米，
而此地的长为（ ）米，
∴此地的长
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了整式的混合运算：多项式除以多项式时，可以把被除式分解后再
进行除法运算．
18．1
【解析】
【分析】
将原式的分母运用完全平方公式变形后求解即可．
【详解】
解：
=
=
=
=1故答案为：1
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练学报完全平方公式的结构特征是解答
本题的关键．
19．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式进行分解因式．
（2）含有公因式2，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
（3）含有公因式2xy，因此先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式．
（4）含有公因式（a-b），因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】
解：（1）
（2） ．
（3）原式
（4）原式=
【点拨】本题主要考查提公因式法与公式法因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20．（1）-30；（2）13.
【解析】
【分析】
（1）把原式因式分解，代入求值即可
（2）直接利用完全平方公式计算得出答案；
【详解】
（1）
（2）
【点拨】此题主要考查了完全平方公式和提公因式法因式分解，正确将原式变形是解题关
键．21．
【解析】
【分析】
先配成完全平方式，再根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入x+y计算即可.
【详解】
，
，即 ，
，
.
【点拨】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键.
22．P>Q
【解析】
【详解】
试题分析：用作差比较法即可比较 的大小.
试题解析：点睛：常见的比较大小的方法：作差比较法.
23．（1）③，忽略了 的情况；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由因式分解及勾股定理逆定理可直接进行求解．
【详解】
解：（1）由题意可得：从第③步开始错误，错的原因为：忽略了 的情况；
故答案为③；忽略了 的情况；
（2）正确的写法为：
当 时， ；当 时， ；
所以 是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
【点拨】本题主要考查勾股定理逆定理及因式分解，熟练掌握勾股定理逆定理及因式分解
是解题的关键．
24．（1）提公因式法；2；（2）2019；（x+1）2020；（3）（x+1）n+1.
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．
【详解】
（1）因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次；
故答案为：提公因式法，2；（2）1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019
=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)2018]
=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x) +…+x(x+1)2017]
….
=(1+x)2020
则需应用上述方法2019次，结果是(1+x)2020；
故答案为2019，(1+x)2020；
(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x) +…+x(x+1)n-2]
….
=(1+x)n+1.
故答案为：(1+x)n+1.
【点拨】本题考查因式分解——提公因式法，解题的关键是正确找出公因式.
