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专题32 圆锥曲线中的轨迹问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．设 满足： ，则 点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在
【解析】∵ 表示为 到定点 的距离之和为5，即
，∴ 点的轨迹为椭圆.故选：B.
2．已知点F（ ，0），F（5，0），动点P满足|PF|－|PF|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是
1 2 1 2
（ ）
A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射
线
【解析】依题意得 ，
当 时， ，且 ，点P的轨迹为双曲线的右支；
当 时， ，故点P的轨迹为一条射线.故选：D.
3．若动点P到定点 的距离与到直线 的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线
【解析】动点 满足抛物线定义，则其轨迹为抛物线.故选：A.
4．已知 ， ， 为坐标原点，动点 满足 ，其中 、 ，且 ，
则动点 的轨迹是（ ）
A．焦距为 的椭圆 B．焦距为 的椭圆
C．焦距为 的双曲线 D．焦距为 的双曲线【解析】设动点 ，因为点 满足 ，其中 、 ，
且 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ，
即 ，表示焦距为 的双曲线.故选：D
5．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若 ，则
动点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【解析】解：建立以 所在的直线为x轴，以线段 的中垂线为y轴的直角坐标系，
设 ， ， ，设M的坐标为 ，由题意可得 ，
则 ， ， ，
所以 ， ，
由 ，可得 ，
整理可得： ，所以 ， ，故动点M的轨迹是双曲线.
故选：D.
6．已知圆 与圆 ，圆 与圆 均相切，则圆 的圆心 的轨迹中
包含了哪条曲线（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【解析】由圆 可得，圆心 ，半径 ；
由圆 可得，圆心 ，半径 .
又 ，且 ，
所以两圆内含，又 .
设圆 的半径为 .由题意结合图象可得，圆 应与圆 外切，与圆 内切.
则有 ，所以 ，
根据椭圆的定义可得，圆 的圆心 的轨迹为椭圆.故选：B.
7．正方体 中， 是棱 的中点， 是底面 内一动点，且 、 与底面
所成角相等，则动点 的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．直线的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
【解析】正方体如图所示，连接 ， ，
由 底面 ， 底面 ，
可得 、 分别为直线 、 与底面 所成的角，
由 ，可得 ，由 ， ．在平面 内，以 为原点， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方体棱长为 ，则 ， ，设 ，
由 ，则 ，
化简得 ，动点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆位于正方形内的部
分.
故选：A
8．如图，直三棱柱 的所有棱长均相等，P是侧面 内一点，若点P到平面 的距
离 ，则点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【解析】如图，作 ，做 ，连接 .
因几何体为直三棱柱，则 平面 ，又 平面 ，
则 ，又 平面 ， 平面 ，
，则 平面 .又由题可得 平面 ，则 .因 ， ，则 .又 平面EPD， 平面EPD， ，
平面 ， 平面 ， ，
则平面EPD 平面 .因平面 平面EPD ，平面 平面 ，则
.
故 ，结合 平面 ， 平面 ，可得
，则 .又 ，则 .
由题又有 ，结合 ，则 ，即 为点P到直线 距离.故点P到定点 距
离等于点P到直线 距离，则点P轨迹为抛物线的一部分.故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知平面直角坐标系中，点 、 ，点 为平面内一动点，且 ，则下
列说法准确的是（ ）
A．当 时，点 的轨迹为一直线
B．当 时，点 的轨迹为一射线
C．当 时，点 的轨迹不存在
D．当 时，点 的轨迹是双曲线
【解析】对于A选项，当 时， ，则点 的轨迹为线段 的垂直平分线，A对；对于B选项，当 时， ，则点 的轨迹是一条射线，
且射线的端点为 ，方向为 轴的正方向，B对；
对于C选项，当 时， ，则点 的轨迹是一条射线，
且射线的端点为 ，方向为 轴的负方向，C错；
对于D选项，当 时， ，且 ，
所以，点 的轨迹是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，D错.
故选：AB.
10．关于 、 的方程 表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线
【解析】当 时，该方程表示的轨迹是直线 ；
当 时，该方程表示的轨迹是直线 ；
当 且 时，原方程可化为 .
当 或 时， ，该方程表示的轨迹是双曲线；
当 ，又 ，则 ，此时方程为 ，该方程表示圆；
综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC.
11．以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（ ）
A．设A，B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为双曲线
B．过定圆O上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若 ，则动点P的轨迹为椭
圆
C．过点 作直线，使它与抛物线 有且仅有一个公共点，这样的直线有2条
D．若曲线C： 为双曲线，则 或
【解析】对于A，根据双曲线的定义，当 时， ，则动点P的轨迹是双曲线，当或 时轨迹不存在，当 时，P点的轨迹是两条射线，A错误；
对于B，如图：
不妨设圆O的半径为r， ，圆O的方程为 ， ，
显然根据条件P是AB的中点， ，
，
点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，B错误；
对于C，如图：
过点 可以做出三条与抛物线 只有一个交点的直线，其中，MA和MO是过M点的两条切线，
MB是平行与x轴的直线，C错误；
对于D，显然方程 表示双曲线的充分必要条件是 ，即 或 ，D正确；
故选：ABC.
12．下列命题中正确的是（ ）A．若平面内两定点 ，则满足 的动点 的轨迹为椭圆
B．双曲线 与直线 有且只有一个公共点
C．若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则
D．过椭圆一焦点 作椭圆的动弦 ，则弦 的中点 的轨迹为椭圆
【解析】对于A，根据椭圆定义，若平面内两定点 ，则满足 且
的动点 的轨迹为椭圆，故A错误；
对于B，由 得 ，所以双曲线 与直线 有且只有一个公共点，故B
正确；
对于C，若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则 ，方程组无解，故C错误；
对于D，不妨设椭圆方程为 ， ，
则 ，弦 的中点为 ，当直线 与 轴不垂直时，设弦 方程为 ，
与椭圆方程 联立可得 ，
所以动弦 的中点横坐标为 ，中点纵坐标为 ，所以 ，可得 ，代入 可得 ，当直线 与 轴垂
直时，弦 的中点为 在 上，综上弦 的中点 的轨迹为椭圆，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点A ，B ，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是 ，则动点P的
轨迹C的方程为 .
【解析】设 ，由 ，
整理得 ，故动点P的轨迹C的方程为 ，
14．折纸是很多人喜爱的游戏，通过自己动手折纸，可以激发和培养审美情趣，锻炼双手，开发智力，提
高实践技能．一张圆形纸片的半径为 ，圆心 到定点 的距离为 ，在圆周上任取一点 ，将圆形纸片折
起，使得 与 重合，折痕记为直线 ，直线 与直线 的交点为 ．将此操作多次重复，则 点的轨迹
是 （填“圆”、“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”）
【解析】在圆周上任取一点 ，将圆形纸片折起，使得 与 重合，折痕记为直线 ，
直线 与直线 的交点为 ，则 ，
由题意可知，圆 的半径为 ，且 ，所以， ，
所以，点 的轨迹为椭圆.
15．已知点 为 上的动点，点 满足 .则点 的轨迹 的方程为 ；
【解析】设 ，则
又由 有 ，则 ，又 在椭圆 上，
所以， ，所以， ，即点 的轨迹 的方程为
16．已知点 到定点 的距离比它到x轴的距离大 ．则点P的轨迹C的方程为
；
【解析】依题意，得 ，即 ①，
则 ，两边平方得 ，
则 ②，
两边平方得 ，
整理得 ，即 ，可得 或 ，当 时，②转化为 ，所以 ，
此时①转化为 ，所以 ，
所以 点的轨迹 的方程为 或 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知动点 到原点 的距离与它到点 的距离之比为 ，记动点M的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 与曲线 交于E，F两点，求 的取值范围（O为坐标原点）
【解析】（1）由已知 ，化简得 ，化为 ．
所以曲线 的方程为： ；
（2）设 ， ，
联立直线与圆的方程， ，消去 ，得 ，
∴ ， ，由 解得 ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， .
18．如图所示，以原点 为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设 为大圆上任意一点，连接 交小圆于点 ，设 ，过点 分别作 轴， 轴的垂线，两垂线交于点 ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)点 分别是轨迹 上两点，且 ，求 面积的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
设 ，则 （ 是参数），消去 得 ，
即曲线 的方程为 ；
（2） ， ，当直线 或 的斜率不存在时，易得 ，
当直线 和 的斜率都存在时，设 ，则 ，
由 得 ， ，
同理可得，令
故 .
19．在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离比它到 轴的距离多1，记点 的轨迹为 .
(1)求轨迹为 的方程
(2)设斜率为 的直线 过定点 ，求直线 与轨迹 恰好有一个公共点时 的相应取值范围.
【解析】（1）设 是轨迹 上的任意一点，
因为点 到点 的距离比它到 的距离多 ，可得 ，
即 ，整理得 ，
所以点 的轨迹 的方程为 .
（2）在点轨迹 中，记 ，
因为斜率 的直线 过定点 ，不妨设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
当 时， ，此时 ，可得直线 与轨迹 恰好有一个公共点 ；
当 时，可得 ，不妨设直线 与 轴的交点为 ，
令 ，解得 ，
若直线 与轨迹 恰好有一个公共点，则满足 ，解得 或 ，综上，当 时，直线 与轨迹 恰好有一个公共点.
20．已知圆 ，动点 在 轴的右侧， 到 轴的距离比它到的圆心 的距离小1．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过圆心 作直线 与轨迹 和圆 交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若 ，
求 及直线 的方程．
【解析】（1） 化为 ，可得半径 ，圆心 ，
因为动点 在 轴的右侧， 到 轴的距离比它到的圆心 的距离小1，
所以点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等，
由抛物线的定义得 的轨迹 方程为 ；
（2）如图所示：
由圆 的半径为1，可得 ，
又 ， ，
当直线 的斜率为 时，直线 与抛物线只有1个交点，不合题意；
所以直线 的斜率不为 ，可设直线 ，联立 ，
恒成立， ，因为 ，
所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 ．
21．在平面直角坐标系中，已知两定点 ， ，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，
垂足N介于A和B之间，且 ．
(1)求动点M的轨迹 ；
(2)设过 的直线交曲线 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为 ， ，
，且满足 ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明
理由．
【解析】（1）设 ，则 ，由题意知－4＜x＜4．
∵ ，∴ ，即 ，故动点M的轨迹 为 ．
（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．
设 ， ， ，则 ， ， ，由此知 ．
将y＝kx＋1代入 ，得 ，于是
， ．①
条件 即 ，也即 ．
将 ， 代入得
．
显然 不在直线y＝kx＋1上，∴ ，从而得 ，即．
将 ， 代入得 ．将式①代入得
，解得 ．
当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意．
因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．
22．在直角坐标平面内，已知 ， ，动点 满足条件：直线 与直线 斜率之积等于 ，
记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过直线 ： 上任意一点 作直线 与 ，分别交 于 ， 两点，则直线 是否过定点？若
是，求出该点坐标；若不是，说明理由．
【解析】（1）设动点 ，则直线 、 的斜率分别为 ，
于是 ，整理得 ，显然点 不在轨迹 上，
所以 的方程为 （ ）.
（2）设直线 上的点 ，显然 ，
依题意，直线 的斜率 满足 ，
且 ，直线 斜率 ，则 ，有 ，
设 ， ，则 （ 且 ），当直线 不垂直于x轴时，设直线 的方程为 ，
消去y得 ，
则 ， ，
又 ，即 ，
则 ，整理得 ，
解得 或 ，此时方程 中的 ，
当 时，直线 ： 恒过点 ，
当 时，直线 ： ，由于 舍去，
当直线 时，则有 ，即有 ，而 ，解得 ，
直线 ： 过点 ，
所以直线 恒过点 ．
