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专题32 圆锥曲线中的轨迹问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．设 满足： ，则 点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在
2．已知点F（ ，0），F（5，0），动点P满足|PF|－|PF|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是
1 2 1 2
（ ）
A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射
线
3．若动点P到定点 的距离与到直线 的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线
4．已知 ， ， 为坐标原点，动点 满足 ，其中 、 ，且 ，
则动点 的轨迹是（ ）
A．焦距为 的椭圆 B．焦距为 的椭圆
C．焦距为 的双曲线 D．焦距为 的双曲线
5．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若 ，则
动点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
6．已知圆 与圆 ，圆 与圆 均相切，则圆 的圆心 的轨迹中
包含了哪条曲线（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．正方体 中， 是棱 的中点， 是底面 内一动点，且 、 与底面
所成角相等，则动点 的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．直线的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分8．如图，直三棱柱 的所有棱长均相等，P是侧面 内一点，若点P到平面 的距
离 ，则点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知平面直角坐标系中，点 、 ，点 为平面内一动点，且 ，则下
列说法准确的是（ ）
A．当 时，点 的轨迹为一直线
B．当 时，点 的轨迹为一射线
C．当 时，点 的轨迹不存在
D．当 时，点 的轨迹是双曲线
10．关于 、 的方程 表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线
11．以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（ ）
A．设A，B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为双曲线
B．过定圆O上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若 ，则动点P的轨迹为椭
圆
C．过点 作直线，使它与抛物线 有且仅有一个公共点，这样的直线有2条
D．若曲线C： 为双曲线，则 或12．下列命题中正确的是（ ）
A．若平面内两定点 ，则满足 的动点 的轨迹为椭圆
B．双曲线 与直线 有且只有一个公共点
C．若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则
D．过椭圆一焦点 作椭圆的动弦 ，则弦 的中点 的轨迹为椭圆
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点A ，B ，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是 ，则动点P的
轨迹C的方程为 .
14．折纸是很多人喜爱的游戏，通过自己动手折纸，可以激发和培养审美情趣，锻炼双手，开发智力，提
高实践技能．一张圆形纸片的半径为 ，圆心 到定点 的距离为 ，在圆周上任取一点 ，将圆形纸片折
起，使得 与 重合，折痕记为直线 ，直线 与直线 的交点为 ．将此操作多次重复，则 点的轨迹
是 （填“圆”、“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”）
15．已知点 为 上的动点，点 满足 .则点 的轨迹 的方程为 ；
16．已知点 到定点 的距离比它到x轴的距离大 ．则点P的轨迹C的方程为
；
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知动点 到原点 的距离与它到点 的距离之比为 ，记动点M的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 与曲线 交于E，F两点，求 的取值范围（O为坐标原点）
18．如图所示，以原点 为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设 为大圆上任意一点，连接 交
小圆于点 ，设 ，过点 分别作 轴， 轴的垂线，两垂线交于点 ．(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)点 分别是轨迹 上两点，且 ，求 面积的取值范围．
19．在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离比它到 轴的距离多1，记点 的轨迹为 .
(1)求轨迹为 的方程
(2)设斜率为 的直线 过定点 ，求直线 与轨迹 恰好有一个公共点时 的相应取值范围.
20．已知圆 ，动点 在 轴的右侧， 到 轴的距离比它到的圆心 的距离小1．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过圆心 作直线 与轨迹 和圆 交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若 ，
求 及直线 的方程．
21．在平面直角坐标系中，已知两定点 ， ，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且 ．
(1)求动点M的轨迹 ；
(2)设过 的直线交曲线 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为 ， ，
，且满足 ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明
理由．
22．在直角坐标平面内，已知 ， ，动点 满足条件：直线 与直线 斜率之积等于 ，
记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过直线 ： 上任意一点 作直线 与 ，分别交 于 ， 两点，则直线 是否过定点？若
是，求出该点坐标；若不是，说明理由．
