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专题4.17 一次函数平移、旋转、折叠问题（拓展篇）（专项练
习）
类型一：折叠
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知一次函数y=﹣ x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C
（0，n）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴上，则点C的坐
标是（ ）
A．（0，3） B．（0， ） C．（0， ） D．（0， ）
2．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣ x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C
（0，n）是线段BO上一点，将△AOB沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴负半轴上，则点
C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0， ） C．（0， ） D．（0， ）
二、解答题
3．如图， 一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，
得△ACB．若点C ，求该一次函数的表达式．4．如图，一次函数y＝﹣ x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动
点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__．
5．如图，一次函数y=- x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D
（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与△ACD全
等，请直接写出点P的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 与x轴交于点A，与y轴交于
点B．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点O落在AB边上的点D处，折痕交x轴于点E．（1）求直线BE的解析式；
（2）求点D的坐标；
类型二：旋转
7．已知：一次函数 的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，以B为旋转中
心，将△BOA逆时针旋转，得△BCD（其中O与C、A与D是对应的顶点）.
（1）求AB的长；
（2）当∠BAD=45°时，求D点的坐标；
（3）当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式.
8．如图，一次函数y=(m+1)x+4的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，
且△OAB的面积为4.
（1）则 = 及点 的坐标为（ ）;
（2）过点B作直线BP与 轴的正半轴相交于点P,且OP=4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数 的图像绕点B顺时针旋转 ， 求旋转后的对应的函数表
达式.
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2，-1)、B(-1，1)、
C(0，-2)．
(1)点B关于坐标原点O对称的点的坐标为 ( )；
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB C；
1 1
(3)求过点B、B 的一次函数的解析式．
1
10．在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交 、 轴于点A、B，将直线
AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）若将直线AB绕点B逆时针方向旋转45°，请直接写出此时直线BC的函数表达式．
11．如图，一个正比例函数y=kx的图象与一个一次函数y=kx+b的图象相交于点A（3，
1 1 2 2
4），且一次函数y 的图像与y轴相交于点B（0，—5），与x轴交于点C．
2（1）判断△AOB的形状并说明理由；
（2）若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式；
（3）在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
12．如图，一次函数 的图像经过点 ，且与 轴， 轴分别交于 两点．
（1）填空： ；
（2）将该直线绕点 顺时针旋转 至直线 ，过点 作 交直线 于点 ，求点
的坐标及直线 的函数表达式．
13．已知一次函数y＝x＋b的图象与x轴，y轴交于点A、B．
（1）若将此函数图象沿x轴向右平移2个单位后经过原点，则b= ；
（2）若函数y＝x＋b图象与一次函数y＝kx＋4的图象关于y轴对称，求k、b的值；
1 2
（3）当b>0时，函数y＝x＋b图象绕点B逆时针旋转n°（0°＜n°＜180°）后，对应的函数
1
关系式为y＝－√3x＋b，求n的值．14．如图，一次函数y＝－ x＋m(m＞0)的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在线
段OA上，点C的横坐标为n，点D在线段AB上，且AD＝2BD，将△ACD绕点D旋转
180°后得到△AC D．
1 1
（1）若点C 恰好落在y轴上，试求 的值；
1
（2）当n＝4时，若△AC D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，求该一次函数的
1 1
解析式．
15．如图1，点P(m，n)在一次函数y＝﹣x的图象上，将点P绕点A(﹣ ，﹣ )逆时针
旋转45°，旋转后的对应点为P′．
（1）当m＝0时，求点P′的坐标；
（2）试说明：不论m为何值，点P′的纵坐标始终不变；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交直线AP′于点B，若直线PB与二次函数y＝﹣x2﹣x+2
的图象交于点Q，当m＞0时，试判断点B是否一定在点Q的上方，请说明理由．
16．如图，一个正比例函数y=kx的图象与一个一次函数y=kx+b的图象相交于点A（3，
1 1 2 2
4），且一次函数y 的图像与y轴相交于点B（0，—5），与x轴交于点C．
2（1）判断△AOB的形状并说明理由；
（2）请写出当y>y 时x的取值范围；
1 2
（3）若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式；
（4）在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
类型三：平移
17．已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，以线段 为直角边
在第二象限内作等腰直角三角形 ， ，如图①所示：
（1）填空： ________， ________；
（2）将 绕点 逆时针旋转，①当 与 轴平行时，则点 的坐标是________；
②当旋转角为 时，得到 ，如图②所示，求过 、 两点直线的函数关系式；
③在②的条件，旋转过程中 扫过的图形的面积是多少？
（3）将 向右平移到 的位置，点 为直线 上的一点，请直接写出 扫
过的图形的面积．18．如图，直线 是一次函数 的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向下平移3个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的
图像与 轴的交点坐标
19．已知一次函数y＝kx+b的图象过A(1，1)和B(2，﹣1)
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为
，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为 ．
20．已知一次函数 ．
（1）m为何值时，图象经过原点？
（2）将该一次函数向下平移3个单位长度后得到的函数图象经过点 ，求平移后的函
数解析式．
21．已知 是 的一次函数，且当 ， ；当 时， ．（1）求这个一次函数的表达式：
（2）将该函数图象向下平移3个单位，求平移后图象的函数表达式．
22．已知一次函数 ， 随 增大而增大，它的图象经过点 且与 轴的夹角为
，
确定这个一次函数的解析式；
假设已知中的一次函数的图象沿 轴平移两个单位，求平移以后的直线及直线与 轴的
交点坐标．
23．已知一次函数y=kx﹣4，当x=2时，y=﹣2．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x轴的交点的坐标．
24．已知一次函数 （ 是常数，且 ）的图象过 与 两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点 在该一次函数图象上，求 的值；
（3）把 的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图
象，并直接写出新函数图象对应的解析式．
25．人教版八年级下册第19章《一次函数》中“思考”：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同，函数y=−6x的图象经过原点，函数y=−6x+5的图象经与y轴交于
点（0，5），即它可以看作直线y=−6x向上平移5个单位长度而得到。比较一次函数解
析式y=kx+b(k≠0)与正比例函数解析式y=kx(k≠0)，容易得出：一次函数
y=kx+b(k≠0)的图象可由直线y=kx通过向上（或向下）平移|b|个单位得到（当b>0时，
向上平移，当b<0时，向下平移）。
（结论应用）一次函数y=x−3的图象可以看作正比例函数 的图象向 平移
个单位长度得到；
（类比思考）如果将直线y=−6x的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数
解析式是怎样的呢？我们可以这样思考：在直线y=−6x上任意取两点A（0，0）和B
（1，−6），将点A（0，0）和B（1，−6）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D
（6，−6），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设
直线CD的解析式为:y=kx+b(k≠0)，将C（5，0）和D（6，−6）代入得到：¿解得¿，
所以直线CD的解析式为：y=−6x+30；①将直线y=−6x向左平移5个单位长度，则平
移后得到的直线解析式为 .②若先将直线y=−6x向左平移4个单位长度后，再向上平
移5个单位长度，得到直线l，则直线l的解析式为: .
（拓展应用）已知直线l：y=2x+3与直线关于x轴对称，求直线的解析式.
26．课本P152有段文字：把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，
就得到函数y=2x+3或y=2x﹣3的图象．
（阅读理解）
小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何
求平移后的函数表达式？
老师给了以下提示：如图1，在函数y=﹣2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3
个单位长度，得到A′、B′，直线A′B′就是函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度
后得到的图象.
请你帮助小尧解决他的困难．
（1）将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为
．
A．y=﹣2x+3；B．y=﹣2x﹣3；C．y=﹣2x+6；D．y=﹣2x﹣6（解决问题）
（2）已知一次函数的图象与直线y=﹣2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．
（拓展探究）
（3）一次函数y=﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数
表达式为 ．（直接写结果）
27．某学校数学兴趣小组在探究一次函数性质时得到下面正确结论：对于两个一次函数y
＝kx+b 和y＝kx+b，若两个一次函数的图象平行，则k＝k 且b≠b；若两个一次函数的
1 1 2 2 1 2 1 2
图象垂直，则k•k＝﹣1．请你直接利用以上知识解答下面问题：如图，在平面直角坐标系
1 2
中，已知点A（0，8），B（6，0），P（6，4）．
（1）把直线AB向右平移使它经过点P，如果平移后的直线交y轴于点A′，交x轴于点
B′，求直线A′B′的解析式；
（2）过点P作直线PD⊥AB，垂足为点D，按要求画出直线PD并求出点D的坐标；参考答案
1．C
【详解】
分析：过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），得到
AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=8，则
DB=10-8=2，BC=6-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
详解：过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y=− x+6，
当x=0，得y=6；当y=0，x=8，
∴A(8,0),B(0,6)，即OA=8，OB=6，
∴AB=10，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=6−n，
∴DA=OA=8，
∴DB=10−8=2，
在Rt△BCD中,DC2+BD2=BC2，
∴n2+22=(6−n)2,解得n= ，
∴点C的坐标为(0, ).
故选C.
点睛：本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求出对应的y
或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理.2．D
【解析】
【分析】
过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），得到AB的
长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=8，则DB=10-
8=2，BC=6-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
【详解】
过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y=- x+6，
当x=0，得y=6；当y=0，x=8，
∴A（8，0），B（0，6），即OA=8，OB=6，
∴AB=10，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=6-n，
∴DA=OA=8，
∴DB=10-8=2，
在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，
∴n2+22=（6-n）2，解得n= ，
∴点C的坐标为（0， ）．
故选D．
【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y
或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
3．y＝－ x＋
【详解】试题分析：求一次函数表达式，需要列两个方程.由C点坐标，利用勾股定理可以得到AC
的长，AC=OA,也就得到了，A点坐标，得到第一个方程，同时，可以得到
∠ACM=30°，所以，∠ABO=30°易得B点坐标，得到第二个方程，也就可以求出一次函数
的表达式.
如图，过点C作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N.
∵点C ，∴OM＝NC＝ ，ON＝MC＝ .
∵将△AOB沿直线AB翻折得到△ACB，∴OA＝CA，OB＝CB.
在Rt△CAM中，由勾股定理，得AC2＝AM2＋MC2，即OA2＝(OM－OA)2＋MC2，
∴OA2＝ ＋ ，解得OA＝1.
∴点A(1，0)．∴∠ACM=30°,∴∠ABO=30°,AB=2，∴OB= ，点B(0， )．
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b.
把点A，B的坐标代入，得 ，解得
∴直线AB的函数表达式为y＝－ x＋ .
点睛：求一次函数解析式需要列两个方程，联立求解，可以得到k, 值.
4．（﹣6，0）或（ ，0）．
【分析】
根据一次函数求出点A、B的坐标，根据勾股定理即可求出AB，然后根据点A落在y轴的
位置分类讨论：当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），根据折叠的性
质求出A′O和A′C，根据勾股定理列方程即可求出m；当点A落在y轴的负半轴上时，原理
同上．
【详解】解：∵一次函数y＝﹣ x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
根据勾股定理可得AB＝ =5，
如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝3+5＝8，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
∴m＝﹣6；
如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝5﹣3＝2，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，∴（4﹣m）2＝m2+22，
∴m＝ ；
综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为（﹣6，0）或（ ，0），
故答案为：（﹣6，0）或（ ，0）．
【点拨】此题考查的是一次函数与图形综合题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、折
叠的性质、勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
5．（1）一次函数解析式为 y=- x+4.（2）C（ ，0）；（3）P （ ，4）；P （
1 2
，-2）；P（ ，2）．
3
【解析】
试题分析：（1）根据线段中点的性质，可得B点，A点坐标，根据待定系数法，可得函数
解析式；
（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
（3）当△ACD≌△AP D时，根据C、P点关于D点对称，可得P点坐标，当△ACD≌△DP A
1 2
时，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；当△ACD≌△DP A时，根据线段中点的性
3
质，可得答案．
试题解析：（1）设A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
由线段AB的中点为D（3，2），得
=3， =2，
解得a=6，b=4．
即A（6，0），B（0，4）
故一次函数解析式为y=- x+4.
（2）如图1：连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB2+OC2=CB2，
42+x2=（6-x）2，
解得x= ，
即C（ ，0）；
（3）①当△ACD≌△APD时，设P（c，d），
1
由D是PC的中点，得
， =2，
解得c= ，d=4，
即P（ ，4）；
1
如图2：
，
②当△ACD≌△DP A时，
2
做DE⊥AC与E，PF⊥AC与F点，DE=2，CE= ，
2
由△CDE≌△AP F，
2AF=CE= ，PF=DE=2，
2
OF=6- = ，
∴P（ ，-2）；
2
③当△ACD≌△DP A时，设P（e，f）
3 3
A是线段PP 的中点，得
2 3
， ，
解得e= ，f=2，
即P（ ，2），
3
综上所述：P（ ，4）；P（ ，-2）；P（ ，2）．
1 2 3
考点：一次函数综合题．
6．(1)直线BE的解析式为y= x+2 ；(2)D(-3， ).
【解析】
【分析】
(1)先求出点A、B的坐标，继而根据勾股定理求出AB的长，根据折叠可得BD=BO，
DE=OE，从而可得AD的长，设DE=OE=m，则AE=OA-m，在直角三角形AED中利用勾
股定理求出m，从而得点E坐标，继而利用待定系数法进行求解即可；
(2)过点D作DM⊥AO，垂足为M，根据三角形的面积可求得DM的长，继而可求得点D的
坐标.
【详解】
(1) ，令x=0，则y=2 ，
令y=0，则 ，解得：x=-6，∴A(-6，0)，B(0，2 )，
∴OA=6，OB=2 ，
∴AB= =4 ，
∵折叠，
∴∠BDE=∠BOA=90°，DE=EO，BD=BO=2 ，
∴∠ADE=90°，AD=AB-BD=2 ，
设DE=EO=m，则AE=AO-OE=6-m，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
即(6-m)2=m2+(2 )2，
解得：m=2，
∴OE=2，
∴E(-2，0)，
设直线BE的解析式为：y=kx+b，
把B、E坐标分别代入得： ，
解得： ，
∴直线BE的解析式为y= x+2 ；
(2)过点D作DM⊥AO，垂足为M，
由(1)DE=2，AE=AO-OE=4，
∵S = ，
△ADE
即 ，
∴DM= ，∴点D的纵坐标为 ，
把y= 代入 ，得
，
解得：x=-3，
∴D(-3， ).
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数解析式，三角
形的面积，点的坐标等，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的
运用.
7
7．（1）5；（2）D（4，7）或（-4，1）；（3）y=− x+4
24
【解析】
试题分析：（1）先分别求得一次函数 的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根
据勾股定理求解即可；
（2）根据旋转的性质结合△BOA的特征求解即可；
（3）先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可.
（1）在 时，当 时， ，当 时，
∴ ；
（2）由题意得D（4，7）或（-4，1）；（2）由题意得D点坐标为（4， ）
设直线BD的关系式为
∵图象过点B（0，4），D（4， ）
∴ ，解得
7
∴直线BD的关系式为y=− x+4.
24
考点：动点的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典
型．
8．（1）1，（-2,0）；（2） ；（3）
【分析】
（1）先求得OB=4，然后根据三角形面积求得OA的长，即可求得A的坐标，把A的坐标
代入y=（m+1）x+4，即可求得m的值；
（2）利用OP=4OA=8可得到点P的坐标为（8，0），然后利用待定系数法求直线BP的函
数解析式．
（3）直线 绕点 顺时针旋转 的直线交 轴于 点，过点 于点
,作 轴.根据容易证明 ，确定F点的坐标
【详解】
解：（1）∵直线y=（m+1）x+4与y轴的交点B（0，4），∴OB=4，
∵S =4，
△OAB
∴ ×OA×OB=4，
∴OA=2，∴A（-2，0），
把点A（-2，0）代入y=（m+1）x+4，得-2（m+1）+4=0，
解得m=1；故答案为1，（-2,0）；
(2) ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得 ，
直线 的解析式为 ；
（ 3）直线 绕点 顺时针旋转 的直线交 轴于 点，过点 于点
,作 轴，
∵直线 绕点 顺时针旋转
∴∠ABE= ,
∵ ,
∴∠BAF=
∴AF=AB, ∠BAO+∠FAE=
∵ 轴, ∠AOB=
∴∠FHA=∠AOB= , ∠ABO+∠BAO=
∴∠FAE=∠ABO
在 中
∴FH=OA=2, HA=OB=4
，
设直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为 .
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，主要利用了待定系数法求一次函数解
析式，三角形的面积，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
9．（1）（1，－1）；（2）所画图形如下：
（3）
【详解】
试题分析：（1）根据两个点关于原点对称时的坐标的特征即可得到结果；
（2）分别找到各点的对应点，然后顺次连接即可得到结果；
（3）设过点B 的反比例函数解析式为 ，根据点B 的坐标利用待定系数法即可求得
1 1
结果．
（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，－1）；
（2）所画图形如下：（3）由（2）得B 点坐标为（3，－1），
1
设过点B 的反比例函数解析式为
1
把点B （3，-1）代入 中，得
1
则过点B 的反比例函数的解析式为
1
考点：本题考查的是旋转作图、待定系数法求函数解析式，关于原点对称的点的坐标
点评：解答本题的关键是熟记关于原点对称的点的坐标的特征：横、纵坐标均互为相反数.
10．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据已知条件结合一次函数图像特征求得 、 ，然后添加辅助线“过点
作 交 于点 ，垂足为点 ，过 点作 轴，垂足为点 ”，再利用全
等三角形的判定和性质求得 ，最后根据待定系数法即可求得答案；
（2）根据已知条件结合一次函数图像特征求得 、 ，然后添加辅助线“过点
作 交 于点 ，垂足为点 ，过 点作 轴，垂足为点 ”，再利用全
等三角形的判定和性质求得 ，最后根据待定系数法即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵一次函数 的图像分别交 、 轴于点 、∴点 ，点
∴ ，
将直线 绕点 按顺时针方向旋转 ，交 轴于点 ，过点 作 交 于点 ，
垂足为点 ，过 点作 轴，垂足为点 ，如图，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形
∴
∵ ，
∴
∴在 和 中
∴
∴ ，
∴点 坐标为
∵直线 过 ，设直线 表达式为 ，代入得 ，
解得
∴直线 的解析式为： ．
（2）∵一次函数 的图像分别交 、 轴于点 、
∴点 ，点
∴ ，
将直线 绕点 按逆时针方向旋转 ，交 轴于点 ，过点 作 交 于点 ，
垂足为点 ，过 点作 轴，垂足为点 ，如图，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形
∴
∵ ，
∴
∴在 和 中∴
∴ ，
∴
∴点 坐标为
∵直线 过 ，
设直线 表达式为 ，代入得
解得
∴直线 的解析式为： ．
当直线AB绕点B按逆时针方向旋转45°时，直线BC的解析式为：
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，全等三角形的
判定和性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
11．（1）△AOB是等腰三角形；理由见解析；
（2） 或y=-4x+16；
（3）（ ，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．
【解析】
试题分析：（1）根据A的坐标求得OA和OB的长度即可判断；
（2）首先根据三角形的面积公式求得OC的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可
求解；
（3）已知等腰三角形POA中的一边OA，分：1）OA是底边；2）OA是腰，且A是顶角的顶点；3）OA是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论．
试题解析：（1）OA= ，则OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形；
（2）设OC=x，则 x×4=8，解得：x=4，
则C的坐标是：（-4，0）或（4，0）．
设直线AB的解析式是：y=kx+b，当C的坐标是：（-4，0）时，根据题意得：
，
解得： ，
则直线的解析式是： ；
当C的坐标是（4，0）时，根据题意得：
，
解得： ，
则直线的解析式是：y=-4x+16；
（3）把（3，4）代入y=kx得到：3k=4，
1 1 1
解得：k= ，
1
当OA是底边时，OA的中点是（ ，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=- x+b，
根据题意得：b= ，
直线的解析式是：y=- x+ ，
当y=0时，x= ，
则P的坐标是（ ，0）；
当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）；
当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，
0）．
则P的坐标是：（ ，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．
考点：一次函数综合题．
12．（1）1；（2） ，
【分析】
（1）直接把点 代入，即可求出b的值；
（2）先求出直线AB的解析式，以及点A、B的坐标，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，由
旋转的性质，则AB=BC，然后证明△ABO≌△BCD，得到BD=AO，CD=BO，即可求出点
C的坐标，然后求出直线AC的解析式即可．
【详解】
解：（1）根据题意，
∵一次函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ，故答案为：1；
（2）由（1）可知，直线AB的解析式为： ，
令x=0，则y=1，
令y=0，则 ，
∴点A为（ ，0），点B为（0，1），
∴OA= ，OB=1；
由旋转的性质，得 ，
∵
∴∠ABC=90°，
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，如图：
∵∠BDC=90°，
∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠BCD=∠ABD，
同理，∠CBD=∠BAO，
∵AB=BC，
∴△ABO≌△BCD，
∴BD=AO= ，CD=BO=1，
∴OD= ，
∴点C的坐标为（1， ）；设直线l的表达式为 ，
∵直线经过点A、C，则
，解得： ，
∴直线l的表达式为 ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，以及余角
的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，构造全等三角形进行解题．
13．(1)2；（2）-1，4；（3）75.
【解析】
试题分析：（1）先根据平移的规律求出y=x+b的图象沿x轴向右平移2个单位后的解析式，
再将原点的坐标代入即可求解；
（2）先求出y=kx+4图象与y轴交点，则此交点在函数y=x+b图象上，求出b=4．再求出
2
y=x+4与x轴的交点坐标为（-4，0），则y=kx-4的图象经过点（4，0），即可求出
1 2
k=-1；
（3）先求出y=x+b图象与y轴的交点B，与x轴的交点A的坐标，得出AO=BO=b（b＞
1
0），则∠ABC=45°，然后在直角△AOC中利用正切函数的定义求出∠ACB=60°，再根据
三角形内角和定理即可求出n的值．
（1）将y=x+b的图象沿x轴向右平移2个单位后得到y=x-2+b，
由题意，得0=0-2+b，
解得b=2．
（2）∵当x=0时，y=4，
∴y=kx+4图象与y轴交于点（0，4）．
2
（0，4）关于y轴对称点就是本身，
∴（0，4）在函数y=x+b图象上．
∴b=4．
∴一次函数y=x+4，它与x轴的交点坐标为（-4，0）．
1
∵y=kx-4的图象与y=x+4的图象关于y轴对称，
2 1
∴y=kx-4的图象经过点（4，0），则0=4k+4，
2
∴k=-1；（3）∵当x=0时，y=b，
1
∴y=x+b图象与y轴交于点B（0，b）．
1
∵当y=0时，x=-b，
1
∴y=x+b图象与x轴交于点A（-b，0）．
1
如图，∵AO=BO=b（b＞0），∴∠ABC=45°．
√3b
∵当y=0时，x=− ，
3 3
√3b
∴y=-√3x+b图象与x轴交于点C（ ，0）．
3 3
√3b
如图，∵CO= ，
3
b
∴ √3b=√3，
3
∴∠ACB=60°．
∴n°=180°-∠ACB-∠ABC=75°．
即n的值为75．
考点：一次函数图象与几何变换．
14．(1) ;(2) 或
【解析】
试题分析：（1）由题意，得B(0，m)，A(2m，0)．过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，
交直线AC 于点F，易求 的值；
1 1
（2）由（1）得，当m＞3时，点C 在y轴右侧；当2＜m＜3时，点C 在y轴左侧．分类
1 1
讨论即可得解.
试题解析：（1）由题意，得B(0，m)，A(2m，0)．如图，
过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，交直线AC 于点F，
1 1
易知：DE＝ m，D( m， m) ，C ( m－n， m)．
1
∴ m－n＝0，
∴ ＝ ；
（2）由（1）得，当m＞3时，点C 在y轴右侧；当2＜m＜3时，点C 在y轴左侧．
1 1
① 当m＞3时，设AC 与y轴交于点P，连接C B，
1 1 1
由△AC D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，
1 1
∴S ：S ＝3：1，
△BA1P △BC1P
∴AP：C P＝3，
1 1
∴ m＝3( m－4)，
∴m＝ ．
∴y＝－ x＋ .
② 当2＜m＜3时，同理可得：y＝－ x＋ ．
综上所述，y＝－ x＋ 或y＝－ x＋ ．
15．（1） ；（2）见解析；（3）点 B一定在点Q的上方，见解析
【分析】
（1）当m＝0时，点P（0，0），而点A的坐标为（﹣ ，﹣ ），则点A在直线y＝x
上且PA＝2，进而求解；（2）点A的坐标为（﹣ ，﹣ ），故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，即可求解；
（3）求出直线AB的函数关系式为：y＝ x+ ﹣ ，再求出点P、Q的坐标，即可求
解．
【详解】
（1）当m＝0时，点P（0，0），
∵点A的坐标为（﹣ ，﹣ ），
故点A在直线y＝x上且PA＝2，
∵点P绕点A（﹣ ，﹣ ）逆时针旋转45°，
∴P′A∥y轴，
故 ；
（2）∵点A的坐标为（﹣ ，﹣ ），
故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，
∵P′A＝PA＝2，
∴点P 的纵坐标均为 ；
（3）点 B一定在点Q的上方，理由：
根据条件首先求出P'的坐标 ，
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，
将点A、P′的坐标代入上式得： ，解得 ，
从而求出直线AB的函数关系式为：y＝ x+ ﹣ ，
当x＝m时，y＝ ，即点B（m， ），
当x＝m时，y ＝﹣m2﹣m+2，即点Q（m，﹣m2﹣m+2），
Q∴y ﹣y ＝ ﹣（﹣m2﹣m+2）＝m2+ ，
B Q
∵m＞0
∴
∴y ＞y
B Q
∴点 B一定在点Q的上方．
【点拨】本题考查的是函数图象上点的坐标特征，确定AP旋转后和y轴平行是本题解题的
关键．
16．（1）△AOB是等腰三角形，证明详见解析；（2）x＜3；（3）y=-4x+16或y=
；（4） P（5,0）或（-5,0）或（6,0）或（ ）.
【分析】
（1）根据A的坐标求得OA和OB的长度即可判断；
（2）根据图象当y＞y 时即y 的函数值大，即对相同的x的值，y 对应的图象的点在上边，
1 2 1 1
根据图象即可写出；
（3）首先根据三角形的面积公式求得OC的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可
求解；
（4）已知等腰三角形POA中的一边OA，分1）OA是底边；2）OA是腰，且A是顶角的
顶点；3）OA是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论．
【详解】
解：（1）OA= =5，则OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形；
（2）根据图象可以得到：当y＞y 时x＜3；
1 2
（3）设OC=x，则 x×4=8，解得：x=4，
则C的坐标是：（-4，0）或（4，0）．
设直线AB的解析式是：y=kx+b，当C的坐标是：（-4，0）时，根据题意得：
，解得： ，
则直线的解析式是：y= x+ ；
当C的坐标是（4，0）时，根据题意得：
，
解得： ，
则直线的解析式是：y=-4x+16；
（4）把（3，4）代入y=kx得到：3k=4，
1 1 1
解得：k= ，
1
当OA是底边时，OA的中点是（ ，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式
是：y=- x+b，
根据题意得：b= ，
直线的解析式是：y=- x+ ，
当y=0时，x= ，
则P的坐标是（ ，0）；
当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）；
当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，
0）．
则P的坐标是：（ ，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．
【点拨】本题综合考查了一次函数与等腰三角形知识的综合应用，考查了待定系数法求函
数的解析式，正确进行讨论是关键．17．(1)5， ； (2)① ，(0，8)；② ；③ ；(3) ．
【详解】
(1)5， ；
【解法提示】∵一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 两点，
，
，
在 中， ，
∵等腰直角三角形 ，
．
(2)① ，(0，8)；
图①
【解法提示】如解图①， ，
，
，
，
同理可得，当在 轴上方时，点 的坐标为(0，8)；
②如解图②，过点 作 于点 ，
为等腰直角三角形，图②
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
，
，
，
设直线 的关系式为 ，
将 与 坐标分别代入得 ，
解得 ，
则直线 关系式为 ，
∵将 绕点 逆时针旋转，当旋转角为90°时，得到 ，
，，
，
，
∴设直线 的关系式为 ，
把 代入关系式得： ，
∴直线 的关系式为 ；
③因为旋转过程中 扫过的图形是以 为圆心， 为半径，圆心角为90°的扇形面积减
去以 为圆心， 为半径，圆心角为90°的扇形面积，
；
(3)将 向右平移到 的位置， 扫过的图形是一个平行四边形和 ，
如解图③，
图③
将 点的纵坐标代入一次函数 ，得 的横坐标为 ，
∴平行四边形 的面积为 ，
的面积为 ，
扫过的面积为： ．
18．（1） ；（2） ,
【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可求出平移后的解析式，然后将y=0代入求出x的值，即可求出结论．
【详解】
解：（1）把点 ， 代入 中，得：
解得
∴一次函数的解析式为
（2）将该函数的图象向下平移3个单位后得 ．
当 时，解得：
∴平移后函数图象与 轴的交点坐标为
【点拨】此题考查的是求一次函数的解析式和一次函数图象的平移，掌握用待定系数法求
一次函数的解析和一次函数的平移规律：左加右减，上加下减是解决此题的关键．
19．（1）y＝﹣2x+3；（2） ；（3）y＝﹣2x，y＝﹣2x+2
【分析】
（1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式；
（2）分别令y＝0、x＝0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的
面积；
（3）根据上加下减，左加右减的法则可得到平移后的函数表达式．
【详解】
解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1），
∴ ，解得 ，
∴一次函数为y＝﹣2x+3；
（2）在y＝﹣2x+3中，分别令x＝0、y＝0，
求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（0，3）、（ ，0），∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S＝ ×3× ＝ ；
（3）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为y
＝﹣2x，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+2
故答案为：y＝﹣2x，y＝﹣2x+2．
【点拨】本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的应用关键是点的坐标，
即把点坐标代入得到关于系数的方程组，求解即可．
20．（1）m=4；（2）y=5x-5.
【分析】
（1）依据一次函数 的图象经过原点，可得 ，即可得出m=4；
（2）依据平移的规律可得函数解析式为 ，将点 代入计算即可．
【详解】
解：(1)∵一次函数 的图象经过原点，
∴ ，
解得m=4；
(2)一次函数 向下平移3个单位长度后得到的函数解析式为
∵该图象经过点(2,5)，
∴ ，
解得m=2，
∴平移后的函数的解析式为y=5x-5.
【点拨】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换.（1）对于一次
函数y=kx+b当b=0时，图象经过原点；（2）一次函数平移遵循“左加右减，上加下减”.
21．（1）y=-x+1；（2）y=-x-2
【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据一次函数y=kx+b向下平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为y=kx+b-m求
解．【详解】
解：（1）设y=kx+b（k≠0），则由题意得：
，解得： ，
所以这个一次函数的表达式为y=-x+1；
（2）将直线y=-x+1向下平移3个单位所得直线解析式为y=-x+1-3，
即平移以后的解析式为y=-x-2．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b向上平移m（m＞0）个
单位后所得直线解析式为y=kx+b+m，向下平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为
y=kx+b-m．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
22． 一次函数的解析式为 ； 交点坐标分别为 ， ．
【解析】
【分析】
（1）由一次函数y=kx+b，y随x增大而增大，可得k＞0，又由它的图象与x轴的夹角为
45°，可求得k=1，然后由它的图象经过点（1，0），利用待定系数法即可求得这个一次函
数的解析式．（2）注意平移的方向有两种可能.
【详解】
解：由一次函数的图象经过 且它与 轴的夹角为 可知，它与 轴的交点为 或
，因为 随 增大而增大，所以只取
∵图象经过
∴ 解得 ，
∴一次函数的解析式为 ．
因为图象沿 轴平移两个单位，但是没有说明方向，故情况有两类：
①向正方向： ，即 ，②向负方向： ，即 ，
∴平移后的函数解析式为： 或 ．
与 轴交点 ，
时， ， ，
∴交点坐标分别为 ， ．
【点拨】本题考核知识点：一次函数性质,交点问题.解题关键点：熟记待定系数法求函数解
析式和平移性质.
23．（1）y=x﹣4；（2）（1，0）
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求出函数的解析式；
（2）利用一次函数的平移的性质：上加下减，左加右减进行变形即可.
【详解】
（1）把x=2，y=-2代入y=kx-4可得
2k-4=-2
解得k=1
即一次函数的解析式为y=x-4
（2）根据一次函数的平移的性质，可得y=x-4+3=x-1
即平移后的一次函数的解析式为y=x-1
因为与x轴的交点y=0
可得x=1
所以与x轴的交点坐标为（1，0）.
【点拨】此题主要考查了一次函数的图像与性质，关键是利用待定系数法求出函数的解析
式.
24．（1） ;（2） ；（3） ，所画图像详见解析
【分析】
（1）已知直线上的两点坐标，可用待定系数法把两点坐标代入一次函数 （ 是常数，且 ），组成二元一次方程组，可求出 ，代入 即可得该一次函数
解析式；
（2）点 在该一次函数图象上，把该点代入（1）求得的一次函数解析式，即可求
得 的值；
（3）根据图像平移规律，可知向下平移3个单位，应该是原解析式 -3，即 ，
整理得 ；图像利用描特殊点法作出即可．
【详解】
证明：（1）∵一次函数 （ 是常数， ）的图象过 ， 两点，
∴ ，得 ，
即该一次函数的表达式是 ；
（2）点 在该一次函数 的图象上，
∴ ，
解得， ，即 的值是 ；
（3）把 向下平移3个单位后可得： ；
图象如下：【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式；利用点在一次函数上的性质，确
定字母的值；图形平移性质及一次函数图像的画法等知识．
25．【结论应用】y=x，下，3；
【类比思考】①y=-6x-30；②y=-6x-19；
【拓展应用】y=-2x-3．
【解析】
【结论应用】
根据题目材料中给出的结论即可求解；
【类比思考】
①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移5个单位得
到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b
（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移4个单位长
度，再向上平移5个单位长度得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直
线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
【拓展应用】
在直线l：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），作点A和B关于x轴的对称点
C、D，根据关于x轴对称的点的规律得到C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b
（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．
【详解】
解：【结论应用】一次函数y=x-3的图象可以看作正比例函数y=x的图象向下平移3个单位长度而得到．
故答案为y=x，下，3；
【类比思考】①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），
将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移5个单位得到点C（-5，0）和D（-4，-6），连接
CD，则直线CD就是直线AB向左平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式
为：y=kx+b（k≠0），
将C（-5，0）和D（-4，-6）代入得到：
¿，
解得
¿，
所以直线CD的解析式为：y=-6x-30．
故答案为y=-6x-30；
②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），
将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C
（-4，5）和D（-3，-1），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移4个单位长度，再
向上平移5个单位长度后得到的直线，
设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），
将C（-4，5）和D（-3，-1）代入得到：¿
解得¿
所以直线l的解析式为：y=-6x-19．
故答案为y=-6x-19；
【拓展应用】在直线l：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），
则点A和B关于x轴的对称点分别为C（0，-3）或D（1，-5），连接CD，则直线CD就
是直线AB关于x轴对称的直线，
设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），
将C（0，-3）或D（1，-5）代入得到：¿
解得¿
所以直线l关于x轴对称的直线的解析式为y=-2x-3．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与二元一次方程（组），考查了
学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．理解阅读材料是解题的关键．26．（1）C；（2）一次函数的表达式为y=2x；（3）对应的函数解析式为：y= x﹣ ．
【解析】
试题分析：（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐
标，然后利用待定系数法即可求得；
（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案；
（3）直接根据一次函数互相垂直时系数之积为﹣1，进而得出答案．
试题解析：（1）将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后与x轴的交
点为（3，0），将（3，0）代入y=-2x+b中，得0=-6+b，解得b=6，所以平移后的函数表
达式为y=﹣2x+6，故选C；
（2）在函数y=﹣2x的图象上取两个点A（0，0）、B（1，﹣2），
关于x轴对称的点的坐标A′（0，0）、B′（1，2），一次函数的表达式为y=2x；
（3）∵一次函数y=﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y= x﹣ ．
点睛：本题考查图形变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与
图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标“左减右加”；纵坐标“上加下
减”．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要弄清楚平移前后
的解析式有什么关系．
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27．（1）y=− x+8，y=− x+12（2） ,
3 3 25 25
【分析】
（1）已知A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式，根据若两个一次函
数的图象平行，则k =k 且b ≠b ，设出直线A′B′的解析式，代入P（6，4），即可求得解
1 2 1 2
析式；
3
（2）根据直线AB的解析式设出设直线PD解析式为y= x+n代入P（6，4），即可求得
4
解析式，然后联立解方程即可求得D的坐标．
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
根据题意，得：¿解之，得¿
4
∴直线AB的解析式为y=− x+8
3
∵AB∥A′B′，
4
∴直线A′B′的解析式为y=− x+b＇ ，
3
∵过经过点P（6，4），
4
∴4=− ×6+b′，
3
解得b′=12，
4
∴直线A′B′的解析式为y=- x+12．
3
（2）过点P作直线PD⊥AB，垂足为点D，画出图象如图：
