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专题4.18 《因式分解》全章复习与巩固（培优篇）（专项练
习）
一、单选题
1．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
2．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．已知 （ ）.
A．3 B．-3 C．5 D．-5
4．计算(-2)1999+(-2)2000等于( )
A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999
5．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值
是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
6．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc
的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2
C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b）
9．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11
10．下列多项式中，能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
11．若实数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．1 D．3
12．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
二、填空题
13．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝_____．
14．多项式18xn+1-24xn的公因式是_______.
15．如果 ，那么 ______.
16．已知 ， 则 _______．
17．若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于________．
18．在学习对二次三项式x2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结
果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分
解结果是_________．
19．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：
______．
20．正数 满足 ，那么
______．
21．如果关于 的二次三项式 在实数范围内不能因式分解，那么 的值可以是
_________.（填出符合条件的一个值）
22．如图，边长为4的正方形ABCD中放置两个长宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形
CHIJ，如图阴影部分的面积之和记为 ，长方形AEFG的面积记为 ，若 ，
，则长方形AEFG的周长为________．三、解答题
23．分解因式：
（1） ； （2） ；
（3）计算： ； （4） ．
24．已知直角三角形的边长均为整数，周长为 ，则该直角三角形的面积为多少
25．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
(2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法 次，结果是
；
(3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是 ．
(4)请利用以上规律计算：（1+2x）3．
26．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则
可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋
3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则
原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问
题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
27．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
参考答案
1．C【解析】
【分析】
首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点拨】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有
公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
2．B
【解析】
【分析】
运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a=b=c，即可解决
问题．
【详解】
∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0；
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．
故选B．
【点拨】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵
活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．
3．A
【解析】
【分析】
观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-
m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．
【详解】
∵m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m4-m3-m+2=m2 (m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3，故选A．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐
次降低m的次数.
4．D
【解析】
【详解】
【分析】把(-2)2000分解成(-2)1999×(-2)1，然后再提取公因式(-2)1999，然后得出答案.
【详解】(-2)1999+(-2)2000
=(-2)1999+(-2)1999×(-2)1
=(-2)1999×(1-2)
=(-2)1999×(-1)
=21999
故选：D．
【点睛】此题考核知识点：同底数幂乘法公式am∙an=am+n的运用. 解题的关键：借助公式，
灵活将式子变形，运用提公因式，便可以得出结果．
5．C
【解析】
【详解】
分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，
然后根据p、q的关系判断即可.
详解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故选C.
点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原
因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.
6．D
【解析】
【分析】把已知的式子化成 [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．
【详解】
原式= （2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
= [（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
= [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
= ×（1+4+1）
=3，
故选D.
【点拨】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的
式子进行变形是关键．
7．D
【解析】
【分析】
先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c
的值．
【详解】
解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
【点拨】本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关
键.
8．C
【解析】
【详解】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)
+(11a-12b)(8b-7a)
=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选C.
9．B
【解析】
【分析】
由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体
求出ab+bc+ac即可．
【详解】
解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+
（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点拨】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成
为解答本题的关键．
10．A
【解析】
【详解】
根据因式分解的意义，可知A、 能用平方差公式 分解，故
正确；B、 =-（ ），不能进行因式分解，故不正确；C、 不符合
完全平方公式 ，故不正确；D、 既没有公因式，也不符合
公式，故不正确.
故选A.点睛：此题主要考查了因式分解，解题时利用因式分解的方法：因式分解是把一个多项式
化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式
，完全平方公式 ）、三检查（彻底分解）.
11．A
【解析】
【分析】
将 化为（a+3）（b+1）-3的的形式，由 求得（a+3）（b+1）≥0，进
而解答即可；
【详解】
解：由 ，可得a2≤1，b2≤1，
∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，
=a（b+1）+3（b+1）-3=（a+3）（b+1）-3，
∵a+3＞0，b+1≥0，
∴（a+3）（b+1）≥0，
当b=-1时， 有最小值﹣3，
故选：A；
【点拨】本题考查了等式的变形，不等式的性质；通过变形来判断代数式（a+3）（b+1）
的取值范围是解题关键．
12．B
【解析】
【分析】
分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案
即可．
【详解】
解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2•26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2•211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2•26•2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14．
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平
方公式结构是解题的关键．
13．（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
【解析】
【分析】
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中a2+b2﹣2ab正好符合
完全平方公式，应考虑为一组．
【详解】
解：a2﹣1+b2﹣2ab
＝（a2+b2﹣2ab）﹣1
＝（a﹣b）2﹣1
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
故答案为（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
【点拨】此题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组，要
考虑分组后还能进行下一步分解．
14．6xn
【解析】
【详解】
运用公因式的概念，找出系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是xn，可得公
因式为6xn．
故答案为6xn.
15．18
【解析】
【分析】
运用因式分解将x4+7x3+8x2-13x+15转化为x2（x2+2x）+5X3+8x2-13x+15，将x2+2x做为整
体代入上式，这样就降低了x的次数，并进一步转化为5x（x2+2x）+x2-13x+15，再将
x2+2x做为整体代入5x（x2+2x）+x2-13x+15式，此时原式转化为x2+2x+15，又出现
x2+2x，再代入求解即可．【详解】
解：∵x2+2x=3
∴x4+7x3+8x2-13x+15=x2（x2+2x）+5x3+8x2-13x+15
=x2×3+5x3+8x2-13x+15
=5x3+11x2-13x+15
=5x（x2+2x）+x2-13x+15
=15x+x2-13x+15
=x2+2x+15
=3+15
=18
故答案为18.
.
【点拨】本题考查因式分解．本题解决的关键是将x2+2x整体逐级代入x4+7x3+8x2-13x+15
变化后的式子，降低了x的次数，使问题最终得以解决．
16．0
【解析】
【分析】
利用完全平方式的特点把原条件变形为 ，再利用几个非负数之
和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．
【详解】
解：因为：
所以
所以
所以 ，解得
所以
故答案为0．【点拨】本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．
17．1
【解析】
【详解】
试题解析：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
18．(x+2)(x－6)
【解析】
【分析】
小明看错了a的值，将分解结果（x+4）（x-3）展开，则可确定b；小红看错了b的值，将
分解结果（x+1）（x-5）展开，则可确定a；然后将a、b代入因式分解即可．
【详解】
解：∵小明看错了a的值，分解的结果为（x+4）（x-3）=x2+x-12，
∴b=-12
∵小红看错了b的值，分解的结果是（x+1）（x-5）=x2-4x-5
∴a=-4
∴x2+ax+b=x2-4x-12=（x+2）（x-6）．
【点拨】本题主要考查了二次三项式的分解因式，解题的关键在于根据题意确定正确的a
和b．
19． ．
【解析】
【分析】
根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．
【详解】解：由面积可得： ．
故答案为 ．
【点拨】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．
20．64
【解析】
【分析】
将式子 因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再
=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求 得值即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ab-bc+2(a-c)=0,
即(a-c)(b+2)=0,
∵b﹥0,
∴b+2≠0,
∴a-c=0,
∴a=c,
同理可得a=b,b=c,
∴a=b=c,
∴ =12可化为a2+4a-12=0
∴(a+6)(a-2)=0,
∵a为正数，
∴a+6≠0,
∴a-2=0,
∴a=2,
即a=b=c=2,
∴ (2+2) ×(2+2) ×(2+2)=64
故答案为64．
【点拨】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．
21．5【解析】
【分析】
根据前两项，此多项式如用十字相乘方法分解，m应是3或-5；若用完全平方公式分解，m
应是4，若用提公因式法分解，m的值应是0，排除3、-5、4、0的数即可.
【详解】
当m=5时，原式为 ，不能因式分解，
故答案为：5.
【点拨】此题考查多项式的因式分解方法，熟记每种分解的因式的特点及所用因式分解的
方法，掌握技巧才能熟练运用解题.
22．
【解析】
【分析】
根据 可设a＝3x，b＝2x，由此可表示出相关线段长，进而可表示出S＝38x2－
1
80x＋48，S＝ 6x2，再根据 即可列出等式化简整理可得（6x－5）2＝0，由此
2
可求得x＝ ，最后根据长方形的周长公式即可求得答案．
【详解】
解：∵ ，
∴设a＝3x，b＝2x，
则AG＝EF＝CJ＝HI＝3x，AE＝FG＝CH＝IJ＝2x，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴BH＝BE＝4－2x，DG＝DJ＝4－3x，IP＝IQ＝3x－(4－2x)＝5x－4，
∴S＝S BEPH＋S IPFQ＋S DGQJ
1 正方形 正方形 正方形
＝（4－2x）2＋（5x－4）2＋（4－3x）2
＝16－16x＋4x2＋25x2－40x＋16＋16－24x＋9x2
＝38x2－80x＋48，
S＝ab＝3x·2x＝6x2，
2
又∵ ，
∴3（38x2－80x＋48）＋5×6x2＝44，
∴114x2－240x＋144＋30x2＝44，
∴144x2－240x＋100＝0，
∴36x2－60x＋25＝0，
∴（6x－5）2＝0，
解得：x＝ ，
∴C AEFG＝2（a＋b）
长方形
＝2（3x＋2x）
＝10x
＝10×
＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了整式的混合运算以及用完全平方公式进行因式分解的应用，熟练掌握
完全平方公式是解决本题的关键．
23．（1） ；（2） ；（3）85；（4）
．
【解析】
【分析】
（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得；
（2）利用分组分解法进行因式分解即可得；（3）先利用公式法分解 和 ，从而可得 的值，再代入计算即可
得；
（4）先利用十字相乘法分解 ，再利用提公因式法进行因式分解即可得．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3） ，
，
，；
（4）原式
．
【点拨】本题考查了因式分解和因式分解的应用，熟练掌握并灵活运用因式分解的各方法
是解题关键．
24．150或120
【解析】
【分析】
设直角三角形的三边长分别为a，b，c（c是斜边），则a+b+c＝60，下面先求c的值；由
a+b+c＝60得60＝a+b+c＜3c，所以c＞20．由a+b＞c及a+b+c＝60得60＝a+b+c＞2c，所
以c＜30．即可求得c的取值范围，然后由勾股定理可得ab﹣60（a+b）+1800＝0，然后分
析求得a，b的值，继而求得它的面积．
【详解】
解：设直角三角形的三边长分别为a，b，c（c是斜边），
则a+b+c＝60．
∵a+b+c＝60，
∴60＝a+b+c＜3c，
∴c＞20．
∵a+b＞c，a+b+c＝60，
∴60＝a+b+c＞2c，∴c＜30．
又∵c为整数，
∴21≤c≤29．
根据勾股定理可得：a2+b2＝c2，把c＝60﹣a﹣b代入，
化简得：ab﹣60（a+b）+1800＝0，
∴（60﹣a）（60﹣b）＝1800＝23×32×52，
∵a，b均为整数，
∴只可能是 或
解得 或 ，
∴当a＝20，b＝15时，三角形的的面积为 ，
当a＝10，b＝24时，三角形的的面积为 ．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用，因式分解的应用，以及不等式
的应用．此题难度较大，解题的关键是掌握不等式的应用，因式分解的应用．
25．(1)提公因式法，2
(2)2019，（1+x）2020
(3)（1+x）n+1
(4)8x3+12x2+6x+1
【解析】
【分析】
(1 )根据阅读因式分解的过程即可得结论；
(2)结合(1)和阅读材料即可得结论；
(3 )根据阅读材料的计算过程进行解答即可；
(4)利用规律进而得出答案即可．
(1)
阅读因式分解的过程可知：
上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
(2)
原式＝（1+x）2020，则需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020，故答案为：2019，（1+x）2020；
(3)
原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]
＝（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1；
(4)
（1+2x）3＝1+2x+2x（2x+1）+2x（2x+1）2＝8x3+12x2+6x+1．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．
26．（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【解析】
【分析】
（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为
（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】
解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点拨】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构
特征是正确应用的前提．
27．（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）
【解析】【分析】
（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】
（1）x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+ ）（x﹣ ）（x+ ）（x﹣ ）．
【点拨】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并
灵活运用是解题的关键．
