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专题4.18 一次函数“设参求值”问题（拓展篇）（专项练
习）
进入一次函数学习以后，对存在性问题、开放性题型等往往通过“设参求
值”建立等量关系或求面积是函数学习中常用的方法，其解是思路：设参数--
表示点坐标--表标线段长--表示面积-建立方程--解方程-求出参数--得到点坐标
（或线段长），本专题汇集了一些常见的“设参求值”题型，供初学一次函数
学生学习使用，充分体现数形结合思想、方程思想，通过本专题的练习达到拓
展学生的数学认知空间，达到提升学生数学素养的目的。
1．综合与探究：如图，直线 的图象与 轴和 轴分别相交于点 和点 ，直
线 （ 为常数，且 ）的图象与 轴和 轴分别相交于点 和点 ，两直线
相交于点 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的面积；
（3）试探究在直线 上是否存在异于点 的另一点 ，使得 与 的面积相等，
若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在直线l
上，连接OC．
（1）求直线l的解析式；
（2）点P为x轴上一动点，若△ACP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．3．如图1，一次函数y= x+3的图象与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点 B，点 D是直
线 AB 上的一个动点， CD⊥x 轴于点C，点 P是射线 CD 上的一个动点．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图2，当点D在第一象限，且AB =BD时，将△ACP沿着 AP翻折，当点C的对应
点C'落在直线AB上时，求点P的坐标．
（3）点D在运动过程中，当△OCD的面积是△OAD面积的2倍时，请直接写出点D的坐
标．
4．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像经过点 ，点 在
轴的负半轴上， 交 轴于点 ， 为线段 的中点．
（1） ______；
（2）求直线 的函数解析式；
（3）直线 与 交于点 ， 为线段 上的一点，过点 作 轴，交直
线 、 于点 、 ．若点 将线段 分成 的两部分，求点 的坐标．5．如图，等腰 在平面直角坐标系 上， ．点 从原点 出
发，以每秒1个单位的速度沿 轴的正方向运动，过点 作直线 ，直线 与射线
相交于点 ．
（1）点 的坐标为____________；
（2）点 的运动时间是 秒．
①当 时， 在直线 右侧部分的图形的面积为 ，求 （用含 的式子表示）；
②当 时，点 在直线 上且 是以 为底的等腰三角形，若 ，求
的值．
6．如图，直线AB：y= x+m与x轴，y轴分别交于点A，B，直线CD：y=-2x+8与x轴，
1 2
y轴分别交于点C，D，直线AB，CD相交于点E，OD=2OA．
（1）写出点A的坐标和m的值；
（2）求S ；
四边形OBEC
（3）在坐标轴上是否存在点P，使得 ？若存在，写出所有满足条件的点P
的坐标：若不存在，说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 的图像经过点 ，点 的坐
标为 ．
（1）求 的值；
（2）求 的面积；
（3）若点 （不与点 重合）在此正比例函数 图像上，且点 的横坐标为 ，
求 的面积．（用 的代数式表示）
8．已知一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点B、A．以AB为边在第一象限
内作三角形ABC，且∠ABC＝90°，BA＝BC，作OB的中垂线l，交直线AB与点E，交x轴
于点G．
（1）求线段GE的长；
（2）求线段AC的解析式；
（3）设l上有一点M，且点M与点C位于直线AB的同侧，使得2S ＝S ，连接
△ABM △ABC
CE、CM，判断△CEM的形状，并说明理由．9．在平面直角坐标系中，点 ， ， ，且 ．
（1）点 的坐标为______，点 的坐标为______；
（2）将线段 平移至 ，点 和点 为对应点，点 和点 为对应点，当点 和点
分别落在两条坐标轴上时，求点 的坐标；
（3）若点 在第一象限，且在直线 上，点 关于 轴的对称点为点 ．若
的面积为8，求点 的坐标．
10．如图1，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l 与y轴交于点
2
，与直线l 交于点D（2，t）．
1
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）如图2，若点P在直线l 上，过点P作 轴交l 于点Q，交x轴于点G，使
1 2，求此时P点的坐标；
（3）将直线 向左平移10个单位得到直线l 交x轴于点E，点F是点C关于原
3
点的对称点，过点F作直线 轴．在直线l 上是否存在动点M，使得 为等腰三角
4
形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 经过点 与 轴交于点
，与 轴交于点 ，与直线 交于点 ， ．
（1）求直线 ，直线 的解析式．
（2）若点 是线段 上任意一点， 轴，交 于点 ，若 ，求点 的坐标．
（3）若点 是线段 上一动点， 轴，设点 的横坐标为 ，点 从点 运动到
点 的过程中，直线 扫过 面积为 ，请写出 关于 的函数关系式，并写出自变
量的取值范围．
12．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 ， ，设 是 上一点，若将
沿 折叠，使点 恰好落在 轴上的点 处．求：
（1）点 的坐标；（2）直线 所对应的函数关系式．
13．如图，已知直线 经过点 、点 ，交 轴于点 ，点 是 轴上一个动点，
过点 、 作直线 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）已知点 ，当 时，求点 的坐标，
（3）设点 的横坐标为 ，点 ， 是直线 上任意两个点，若 时，
有 ，请直接写出 的取值范围．
14．如图，已知点A位于第一象限，且在直线 上，过点A做 轴垂足为点
B， 轴垂足为点C， ．
（1）求点A坐标；
（2）如果点E位于第四象限，且在直线 上，点D在y轴上，坐标平面内是否存在点F，使得四边形 是正方形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说
明理由．
15．如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过原点，且与直线 交于点
，直线 与 轴交于点 ．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）点 在 轴上，过点 作平行于 轴的直线，分别与直线 ， 交于点 ， .若
，求 的值．
16．甲、乙两车从 城出发沿一条笔直公路匀速行驶至 城．在整个行驶过程中，甲、乙
两车离开 城的距离 （千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数关系如图所示．
（1）分别写出甲、乙两车离开 城的距离 （千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的
函数关系式；
（2）什么时间两车相距 ？
（3）若两车相距不超过 千米时可以通过无线电相互通话，直接写出两车都在行驶的
过程中可以通过无线电通话时t的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作
垂直于x轴的直线，交直线y＝kx+2于点N．
①当n＝3时，求△PMN的面积；
②若2＜S ＜6，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
△PMN
18．在平面直角坐标系 中，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在直
线 上．
（ ）求 的值和点 的坐标；
（ ）如果一次函数 的图象与线段 有公共点，求 的取值范围．
19．已知：如图，在平面直角坐标系内，点B的坐标为 ，经过原点的直线 与经过
点B的直线 相交于点C，点C坐标为 ．
（1）求直线 ， 的表达式；（2）点D为线段OC上一动点（点D不与点O，C重合），作 轴交直线 于点E，
过点D，E分别向y轴作垂线，垂足分别为G，F，得到矩形DEFG．
①设点D的横坐标为a，求点E的坐标（用含a的代数式表示）；
②若矩形DEFG为正方形，求出此时点E的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．由图观察易知点A
（0，2），B（5，3）、C（﹣2，5）．
（1）若点A、B、C关于直线l的对称点分别为A、B、C ，请直接在图中画出△ABC ；
1 1 1 1 1 1
（2）坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为
．
21．如图1，直线 与 、 轴分别交于 ，以 为直角边在第一象限内作等腰
直角△ABC，
（1） 点坐标为______；
（2）如图2，点 为线段 上的一个动点（ 不与 、 重合），连接 ，以 为直
角边作等腰直角△AEF，连接 交 轴于 ，求证： 是 的中点；（3）如图3，将 沿着 轴向左平移得到 ，直线 与 轴交于点 ，若以
为顶点的三角形是等腰三角形，请求出点 的坐标．
22．综合与探究．
如图1，直线 与坐标轴交于 ， 两点，已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 是线段 上一点．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，请你用含 的式子表示 ，并求当
的面积等于 面积的 时 的值；
（3）如图2，过点 作线段 的垂线，交 轴于点 ，连接 ，当 时，
求点 的坐标．
23．已知函数y＝（m+1）x﹣m2+1（m是常数）．
1
（1）m为何值时，y 随x的增大而减小；
1
（2）m满足什么条件时，该函数是正比例函数？（3）若该函数的图象与另一个函数y＝x+n（n是常数）的图象相交于点（m，3），求这
2
两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积．
24．如图，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，两条直线交于点
，且分别与 轴交于点 、点 ．
（1）求 的面积；
（2）点 为线段 上一点，连接 ，若 ，求点 的坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点A（1，0）和点B（0，2）．
1
（1）求直线l 的解析式；
1
（2）动点P（m，n）在直线l 上，当－2＜m＜4时，求n的取值范围；
1
（3）将直线l 向下平移4个单位得到直线l，直线l 与x轴，y轴分别相交于C，D，连接
1 2 2
AD，BC，CP．若CP将四边形ABCD分成面积比为1∶3的两部分，求点P的坐标．
26．如图在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x＋4与y轴交于点A，与直线l：y＝kx＋b
1 2
交于点C（6，n），直线l：与y轴交于点B（0，﹣4）．
2
（1）求直线l 的函数表达式；
2（2）点D（m，0）是x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线，交l 于点M，交l 于点
1 2
N，当S ＝2S 时，请直接写出线段MN的长．
△AMB △CMB
27．如图1，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 为 轴负半轴上
一点，且 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图2，直线 交直线 于点 ，交直线 于点 ，当 时，求
的值；
（3）如图3，点 为直线 上一点，若 ，请直接写出点 的坐标：
______．参考答案
1．（1） ；（2）8；（3）存在，
【分析】
（1）由点 在直线 上，代入求出 ．由点 又在直线 上，代入
．解之即可；
（2）直线l，l 与 轴交于点 ，利用 坐标求出AC=8，利用面积公式求
1 2
即可；
（3）利用等积法设点 的坐标为 ，让面积等于8，即 ．解
方程，即可求出点 的坐标为 ．
【详解】
解：（1）∵点 在直线 上，
∴ ．
∴点 的坐标为 ．
∵点 在直线 上，
∴ ．
解得 ．
∴直线 的函数表达式为 ；
（2）直线 的图象与 轴交于点 ，
∴当x=0时，y=2，
∴ ，
直线 的图象与 轴交于点 ，
∴当x=0时，y=-6，
∴ ．
∴ ．
∵点 的横坐标为2，∴ ；
（3）存在．理由如下，
设点 的坐标为 ，
由（2），得 ， ．
∴ ．
解得 ．
∵点 异于点 ．
∴ ．
∴ ．
∴点 的坐标为 ．
∴直线 上存在异于点 的另一点 ，使得 与 的面积相等．
【点拨】本题考查一次函数解析式，三角形面积，与面积相关的点坐标问题，掌握待定系
数法求一次函数解析式，会求两直线与坐标轴围成的三角形面积，会利用面积桥求点坐标
是解题关键．
2．（1）y＝﹣x+2；（2）P（ ，0）或（ ，0）．
【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）先求出直线BC与x轴的交点坐标，然后设P（t，0），根据三角形面积公式列方程
求解．
【详解】
解：（1）设直线l的解析式y＝kx+b，
把点C（﹣1，3），B（0，2）代入解析式得，
，解得 ，
∴直线l的解析式：y＝﹣x+2；
（2）把 y＝0代入y＝﹣x+2
得﹣x+2＝0，解得：x＝2，
则点A的坐标为（2，0），∵S ＝ ×2×2＝2，
△AOB
∴S ＝S ＝2，
△ACP △AOB
设P（t，0），则AP＝|t﹣2|，
∵ •|t﹣2|×3＝2，解得t＝ 或t＝ ，
∴P（ ，0）或（ ，0）．
【点拨】本题考查一次函数与几何图形，掌握一次函数的性质利用数形结合思想解题是关
键．
3．（1） ， ；（2） ；（3） 或
【分析】
（1）把 代入 ，把 代入 ，即可求解；
（2）先求出点D的坐标，再设 ，利用勾股定理列出方程，即可求解；
（3）由△OCD的面积是△OAD面积的2倍，得OC=2OA，进而即可求解．
【详解】
解：（1）将 代入 ，得 ，
∴ ．
将 代入 ，得 ，
∴ ；
（2）当点 在第一象限，且 时，
∴ ，
∴ ， ．
由翻折可知， ， ．在 中，由勾股定理得， ，
∴ ．
设 ，则 ， ．
在 中，由勾股定理得，
，解得， ，
∴ ；
（3）当△OCD的面积是△OAD面积的2倍时，则OC=2OA，
∴OC=8，
∴点D的横坐标为±8，
∴ 或 ．
【点拨】本题主要考查一次函数与平面几何的综合，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特
征以及勾股定理是解题的关键.
4．（1）5；（2） ；（3） 或
【分析】
（1）根据待定系数法即可求得m的值；
（2）根据题意求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（3）设P点的横坐标是n，则P（n，n）， ，F（n，−n＋5），求得PE＝n−（
n−1）＝ n＋1，PF＝（−n＋5）−n＝−2n＋5，根据题意得到关于n的方程，解方程即
可求得n的值，即可求得P的坐标．
【详解】
（1）解：（1）∵一次函数y＝−x＋m的图象经过点A（4，1），
∴1＝−4＋m，
∴m＝5，
故答案为5；
（2）∵ ， 为线段 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ．
设 的解析式为 ，把 、 代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为： ；
（3）设 点的横坐标是 ，则 ， ， ，
∴ ， ．
点 将线段 分成 的两部分：
当 时， ， ，
∴ ；
当 时， ， ，
∴ ．
∴ 或 ．
【点拨】本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次
函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于n的方程是解题的关键．
5．（1）（2，2）；（2）① ；②t=6或 ．
【分析】
（1）过B点作BD⊥OA于点D，根据等腰直角三角形的性质即可求得OD与BD的长度，
从而可求得B点的坐标；
（2）①证明△ACM为等腰直角三角形，再由三角形的面积公式求得结果；
②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，求出直线OB与DE的解析式，再用t表示C、M、N的坐标，进而用t表示CN与CM，根据已知条件 ，列出t的方程进
行解答便可．
【详解】
解：（1）过B点作BD⊥OA于点D，如图1，
∵∠OBA=90°，OB=AB，OA=4．
∴ ，
∴B（2，2），
故答案为（2，2）；
（2）①当2≤t≤4时，如图2，则AC=OA-OC=4-t，
∵∠OBA=90°，OB=AB，
∴∠OAB=45°，
∵直线l⊥OA，
∴∠ACM=90°，
∴∠AMC=45°=∠CAM，
∴AC=CM=4-t，
∴ ；②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，如图3，
∵△ABM是以AB为底的等腰三角形，
∴MA=MB，
∴点M在直线DE上，
∵点M在直线l上，
∴点M为直线l与直线DE的交点，
设直线OB的解析式为y=kx（k≠0），
由（1）知，B（2，2），
∴2=2k，
∴k=1，
∴直线OB的解析式为：y=x，
∵∠ABO=∠ADM=90°，
∴DE∥OB，
∴设直线DE的解析式为y=x+n，
∵A（4，0），B（2，2），D为AB的中点，
∴D（3，1），
把D（3，1）代入y=x+n中，得1=3+n，
∴n=-2，
∴直线DE的解析式为：y=x-2，
∵OC=t，
∴C（t，0），N（t，t），M（t，t-2），
∵ ，t＞0
∴ ，∴ ，或 ，
解得，t=6，或 ．
【点拨】本题主要考查了点的坐标，待定系数法，求函数的解析式，等腰直角三角形的性
质，三角形的面积公式，难度不大，第（3）题关键是求出AB的垂直平分线的解析式和正
确列出t的方程．
6．（1）(-4，0)，2；（2） ；（3）存在，P（0，5）或（0，-1）或（2，0）或（-10，
0）
【分析】
（1）先求出点D坐标，进而可求点A坐标，代入解析式可求m的值；
（2）联立方程组可求点E坐标，由面积和差关系可求解；
（3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
【详解】
解：（1）∵直线CD：y=-2x+8与x轴，y轴分别交于点C，D，
2
∴点C（4，0），点D（0，8），
∴OD=8，
∵OD=2OA，
∴OA=4，
∴点A（-4，0），
∵点A在直线AB上，
∴0= ×（-4）+m，
∴m=2；
（2）∵m=2，
∴y= x+2，
1
联立方程组可得： ，解得： ，
∴点E坐标为（ ， ），∵S =S -S ，
四边形OBEC △AEC △ABO
∴S = ×8× - ×4×2= ；
四边形OBEC
（3）∵S = ×（8-2）× = ，
△BDE
∴S = S =6，
△ABP △BDE
当点P在y轴时，设点P（0，p），
∴ ×4×|p-2|=6，
∴p=5或-1，
∴点P（0，5）或（0，-1）；
当点P在x轴时，设点P（a，0），
∴ ×2×|a+4|=6，
∴a=-10或2，
∴点P（2，0）或（-10，0）；
综上所述：点P（0，5）或（0，-1）或（2，0）或（-10，0）．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二元一次方程组的应用，
三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
7．（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】
（1）利用待定系数法求k的值；
（2）求直线OB的解析式，从而求得D点坐标，然后利用三角形面积公式求解；
（3）过点C做CE⊥y轴，交AB于点E，求得直线AB的解析式，从而求得E点坐标，然后
利用三角形面积公式求解
【详解】
解：（1）将 代入正比例函数 中得：
（2）设直线OB的解析式为 ，将B 代入，得：
，解得：
∴直线OB的解析式为：过点A作AD⊥x轴，交OB于点D
则D点坐标为（1，3）
∴AD=
∴
（3）由题意可得：C点坐标为
过点C做CE⊥y轴，交AB于点E
设直线AB的解析式为 ，将 ，B 代入，得：
，解得：
∴直线AB的解析式为：
∴E点坐标为
∴EC=
∴
∴ 或【点拨】本题考查一次函数与几何综合，掌握一次函数图像上点的坐标特点，利用数形结
合思想解题是关键．
8．（1）GE＝2；（2）y＝﹣ x+4；（3）等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】
（1）l是OB的中垂线，则点G（1，0），当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，即点E（1，2），
即可求解；
（2）证明△AOB≌△HCB（AAS），求出C（6，2），即可求解；
（3）由2S ＝S 得到5＝ （a﹣2）+ （a﹣2），求出M（1，7），进而求解．
△ABM △ABC
【详解】
解：（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点H，
∵y＝﹣2x+4，
∴A（0，4），B（2，0），
∵l是OB的中垂线，则点G（1，0），
当x＝1时，y＝﹣2x+4＝﹣2+4＝2，即点E（1，2），
故GE＝2；
（2）∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB =90°，
∴∠OAB =∠CBH，
在△AOB和△HCB中
∴△AOB≌△HCB（AAS），
OA＝4，OB＝2，AB＝2 ，
∴BH＝AO＝4，CH＝OB＝2，
∴C（6，2），
设直线AC的表达式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
故直线AC的表达式为y＝﹣ x+4；
（3）∵S ＝ =10，
△ABC
2S ＝S ，
△ABM △ABC
∴S ＝5，
△ABM
而S ＝S +S ，
△ABM △AEM △EMB
设M（1，a），则5＝ （a﹣2）+ （a﹣2），
解的a＝7，则M（1，7）；
连接CM，CE，
由点E（1，2），C（6，2），M（1，7）得：则CE＝5，EM＝5，CM＝5 ，
则CE2+EM2＝CM2，CE＝EM，
∴△EMC是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线的性质、勾股定理
的运用等．9．（1） ， ；（2）（0，3）或（-2，0）；（3）
【分析】
（1）利用算术平方根和绝对值的非负性确定a和b的值，从而求解；
（2）利用平移的性质求解；
（3）待定系数法求得直线AB的解析式，然后结合图形利用三角形的面积公式列方程求解
【详解】
解：（1）∵
∴ ，解得： ，
∴ ，
故答案为： ，
（2）由平移性质可得：将线段 平移至 ，点 和点 为对应点，点 和点 为对应
点，当点 和点 分别落在两条坐标轴上时，此时点 的坐标为（0，3）或（-2，0）
（3）由题意可得：点 且点 关于 轴的对称点为点
∴点 ，即CD=2n
设直线AB的解析式为 ，将 ， 代入可得： ，解得：
∴直线AB的解析式为：
∵点C在直线AB上，
∴
∴CD=
∴ ，解得：
∴
∴C点坐标为 ，即D点坐标为
【点拨】本题考查平移及一次函数的性质，掌握一次函数的性质利用数形结合思想解题是
关键．
10．（1） ，（2） ；（3） 或 ， 或
【分析】（1）把点D坐标代入直线 求出t的值，运用待定系数法求出l 即可；
2
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）设 则 ，分
， ， 三种情况列式求解即可．
【详解】
解：（1）∵D（2，t）在直线
∴ ，
∴D（2，3）
设直线 的解析式为 ，
将点C，D代入得，
解得，
所以，线 的解析式为
（2）设
∵PQ//x轴，
∴G(a,0)，Q(a，2a-1)
∵ ， 且
∴
∴
解得， ， （舍去）
∴
（3）存在，理由如下：
对于直线
当 时， ；当 时，∴ ,
∴
如图，
∵
∴
又∵
∴
∴ 的解析式为:
设 则
当 为等腰三角形，有：
① 时，
解得， ，即
② 时，
解得： 或即 ，
③ 时，
解得， 或 （舍去）
即
综上，点M的坐标为： 或 ， 或 ．
【点拨】本题为一次函数综合运用题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、
等腰三角形的性质等知识，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
11．（1）直线AB： ，直线OP： ；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据题意知，一次函数 经过点 ， ，把A，B代入求出a，b的
值即可；根据PO=PA求出点P坐标，再代入函数关系式求解即可；
（2）设 ，则 ， ，根据DE=1，列方程求解即可；
（3）分 和 两种情况，结合三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：（1） 过点 和点
，
解得：又
又 过点
∴y=1
又 过点
∴k=1
（2）
设 ，则 ，
又
，
（3）∵P（2，1）
∴当 时，
当 时， 如图，∴
综上所述：
【点拨】本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程
之间的内存联系．
12．（1） ；（2）
【分析】
（1）由已知可以求得A、B坐标，从而得到OA、OB、AB的值，然后根据对称性得到
AB'的值，进一步可得OB'，从而得到B'坐标；
（2）设OM=m，则 B'M=BM=8-m，由勾股定理可得关于m的方程，解出m后可得M坐标，
由A、M坐标根据待定系数法可以得到AM解析式．
【详解】
解： ，令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由勾股定理得： ，
∵ ，∴ ，
∴ 的坐标为： ．
设 ，则 ，
在 中， ，
解得： ，
∴ 的坐标为： ，
设直线 的解析式为 ，
则 解得：
故直线 的解析式为： ．
【点拨】本题考查一次函数与轴对称的综合应用，熟练掌握折叠的性质、一次函数解析式
的求法及勾股定理和方程方法的应用是解题关键．
13．（1） ；（2） 的坐标 或 ；（3）
【分析】
（1）待定系数法求一次函数解析式，将已知点分别代入解析式，求得系数即可；
（2）设点 ，根据三角形面积关系求出 的值即可；
（3）根据题意， 的图像是 随 的增大而减小，即可确定 的取值范围
【详解】
解：（1）设直线 的解析式为
∵ 、点 在直线 上，
∴ ，解得，∴ ．
（2）∵直线 交 轴于 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
过点 作 轴于 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
设点 ，∴ ∴ 或 ，
∴ 的坐标 或
（3）过点 作 轴于 ，
的图像是 随 的增大而减小， 经过 \
当点 在 的左侧时，符合题意;
【点拨】本题考查了一次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合
是解题的关键．
14．（1）（2，1）；（2）存在，（ ， ）
【分析】
（1）要求A的坐标，且A在直线y=2x-3上，可设A的坐标为（a，2a-3），再在Rt△OBC中用勾股定理且A在第一象限求出a即可；
（2）根据E在第四象限，且在直线y=2x-3上，设E（m，2m-3），D在y轴上，结合正方
形ADEF，画出图形，得出AD=DE，AD⊥DE．再由全等三角形模型的三垂直模型作出辅助
线，证明△ADH≌△DEG，求出a即可．
【详解】
解：（1）设点A的坐标为（a，2a-3），
∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，
∴OB=a，OC=2a-3，
∵BC= ，∠BOC=90°，
∴5=a2+（2a-3）2，
∴a=2或a= ，
∴点A的坐标为（2，1）或（ ， ），
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（2，1）；
（2）如图，分别过点A、点E作AH⊥y轴于H、EG⊥y轴于G，
∵∠HAD+∠ADH=90°，
∠EDG+∠ADH=90°，
∴∠HAD=∠EDG，
在△HAD与EDG中，，
∴△HAD≌GDE（AAS），
∴AH=DG=2，DH=GE，
根据E在第四象限且在直线y=2x-3上，
设E（m，2m-3），
则GE=DH=m，OG=3-2m，
∴OG+OH=DH+DG=3-2m+1=2+m，
∴m= ，
∴E的坐标为（ ， ）．
【点拨】本题考查了一次函数设点求坐标及勾股定理的应用，比较基础；第（2）问重在考
查数形结合思想和三角形全等模型，首先画出图形是关键，其次熟悉三垂直模型，才能顺
利解决此问，属于中档压轴题．
15．（1） ；（2） 或
【分析】
（1）设 首先求出 点坐标，然后将 点坐标代入 求得k的值，即可获得
直线 的函数解析式；
（2）首先求点 的坐标，然后用n表示出点 和点 的坐标，用n表示出 的长，根
据 即可求解．
【详解】
（1）∵ 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴ ，设 ，将 代入 ，得：
，
∴直线 的函数解析式为 ；
（2）∵直线 与 轴交于点 ，
∴当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∵过点 作平行于 轴的直线，分别与直线 ， 交于点 ， ，
∴当 时， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，关键是分情况讨论
，注意绝对值方程的解法．
16．（1） ；（2） 或 或 或 ；（3）
【分析】
（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得甲乙的速度，然后即可得到甲车出发多长时间与乙
车两车相距 ；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以得到相应的方程，从而可以计算出两车都在行驶过
程中可以通过无线电通话的时间有多长．
【详解】
解：（1）设甲车的离开 城的距离 （千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数关
系式为y ，
甲由图可知，当 时，甲车离开 城的距离 ，
则 ，
解得 ，
∴y ；
甲
设乙车离开 城的距离 （千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数关系式为
，
由图可知， 经过 ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴y ．
乙
（2）由题意可得， 或 或 ，
解得 或 或 或 ．
答：当 或 或 或 时，两车相距 ．
（3）设甲车出发t小时时，两车相距30千米，
由题意可得， ，
解得 或 ，
∴两车相距不超过30千米时可以通过无线电相互通话，两车都在行驶的过程中可以通过无
线电通话时 的取值范围为 ．
【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．
17．（1） ；（2）① ；②
【分析】
（1）把点A代入直线y＝x﹣2求点A的坐标，然后再代入直线y＝kx+2进行求解即可；（2）①当n=3时则有 ，然后依据题意作出图象，进而根据三角形面积计算即可；
②由题意易得点P在第一、三象限的角平分线上，当n=-3时，△PMN的面积为6，进而问
题可求解．
【详解】
解：（1）把点A代入直线y＝x﹣2得： ，
∴ ，
把 代入直线y＝kx+2得： ，解得： ；
（2）由（1）可得： ，则有直线 ；
①∵n=3，
∴ ，
由题意可得如图所示：
∵过点P作垂直于y轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直
线y＝kx+2于点N，
∴ ，
∴ ，∴ ；
②由题意可知点P（n，n）在直线y＝x上，由①可得当 时，则有 ，
当 时，则有如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，则有 ，
解得： ，
∴当 时，则有 ，
综上所述：当2＜S ＜6时，n的取值范围为 ．
△PMN
【点拨】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
18．（1） ，点 的坐标为 ；（2）
【分析】
（1）先求得B的坐标，代入y=x+1即可求得m的值；（2）分别求出一次函数y=2x+b的图象过点A、点B时b的值，再结合函数图象即可求出b
的取值范围．
【详解】
解：（ ） 将点 向右平移 个单位长度，得到点 ．
点 在直线 上
点 的坐标为
或把 代入 中，
点 的坐标为 ，
点 是由点 向右平移 个单位长度得到的，
点 的坐标为 ，
（ ）把点 代入 中，
，
把点 代入 中．
，
如图，若一次函数y=2x+b与线段AB有公共点，的取值范围是 ．
【点拨】此题考查了坐标与图形变化-平移，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合
是解题的关键．
19．（1）直线 为 ；直线 为 ；（2）①点 ；②
【分析】
（1）利用待定系数法即可确直线的解析式；
（2）①根据矩形的性质得出点D和点E的横坐标相等，然后把x=a代入直线 的解析式即
可；
②根据四边形DEFG为正方形，得出方程 ，解之即可得出答案；
【详解】
（1）设直线 为 ，直线 为 ；
∵直线 过点C ，直线 过B ，C
∴k= ，
解得：∴直线 为 ，直线 为 ；
（2）①∵四边形DEFG为矩形， 轴
∴点D和点E的横坐标相等，
∴点E的横坐标为a，
∵点E在直线 上，
∴点E的纵坐标为-a-3，
点E的坐标为（a，-a-3）
②∵四边形DEFG为正方形
∴
∴
∴
【点拨】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式及矩形
的性质，正方形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
20．（1）图见解析；（2） ．
【分析】
（1）先根据轴对称的定义画出点 ，再顺次连接即可得；
（2）设点 的坐标为 ，先求出直线 的解析式为 ，再利用待定系数法可得直
线 的解析式为 ，然后根据线段 的中点 为直线 与直线
的交点建立方程组，解方程组求出 的值即可得．
【详解】
解：（1）先画出点 ，再顺次连接即可得 ，如图所示：（2）设点 的坐标为 ，
由题意得：直线 的解析式为 ，
则可设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
由轴对称的性质得：线段 的中点 为直线 与直线 的交点，
则 ，解得 ，
即点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称画图、利用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，熟练掌
握待定系数法是解题关键．
21．（1） ；（2）见解析；（3） 或 或
【分析】（1）过点 作 轴于点 ，证明 ，再根据直线 的解析式求得
的坐标，根据 ， 即可求得；
（2）在 轴上截取 ，连接 根据题意分别证明 ，
即可；
（3）设直线 为 ，求得 ， 的坐标，从而求得 ， 的长度，继而
分类讨论：① 时② 时，③ 时，列方程求解即可
【详解】
（1）如图：
过点 作 轴于点
等腰直角△ABC是等腰直角
,
又
的解析式为：
令 ， 即
令 ， 即（2）如图，在 轴上截取 ，连接 ．
等腰直角
，
，
（SAS）
，
等腰直角
，
，
，
又 ，
（3）设直线 ，则 ， ， ， ．
① 时， ， ，
② 时， ， 或－4，
不合题意，舍去，取
③ 时， ， ，
【点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移，三角形全等的性质与判定等知识
点，等腰三角形的性质，正确的作出图形，理解以上知识点，并综合运用是解题的关键．
22．（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点 作 ，垂足为点 ，将 代入 中，得 ，则
，运用三角形面积公式计算即可；当 的面积等于 面积的 时，
可得 计算即可；
（3）根据 可证明 ，从而得到 ，设点的坐标为 ，则 ，根据勾股定理可求得m的值，即M的坐标可得．
【详解】
解：（1）设直线 的解析式为
将 ， 两点坐标代入，得
解得 ，
∴设直线 的解析式为
（2）过点 作 ，垂足为点 ．
将 代入 中，得 ，则 ．
．
当 的面积等于 面积的 时，
即
解得 ．
（3）∵ ， ，
∴当 时，即 平分 时， ，
在 和 中∴
∴ ，
在 中，由勾股定理得
∴ ，
设点 的坐标为 ，则 ，
则 ， ，
在 中，由勾股定理得
解得 ，
∴点 的坐标为
【点拨】本主要考查一次函数综合问题，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，
勾股定理，全等三角形判定与性质，运用数形结合的思想是解函数题目的关键．
23．（1）m＜﹣1；（2）m＝1；（3）4
【分析】
（1）根据题意 ，解得即可；
（2）根据正比例函数的定义得到 ， ，解得 ；
（3）由函数 经过点 求得 ，得到交点为 ，根据交点坐
标求得函数 的解析式，即可求得与 轴的交点坐标，把交点坐标代入 ，求得解
析式，即可求得与 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得两个函数的图象与
轴围成的三角形的面积．
【详解】
解：（1）由题意： ，
，即 时， 随 的增大而减小；
（2）若该函数是正比例数，则 ， ，
，
即 时，该函数是正比例数；
（3） 两个的图象相交于点 ，
，
，
交点坐标为 ，
该点到 轴的距离为 ，
将 代入 ，得： ，
将交点坐标 代入 ，得： ，
，
两个函数图象与 轴的交点坐标分别为 和 ，
所围成的三角形的面积为： ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的定义，
一次函数图象与系数的关系，三角形的面积等，熟练掌握一次函数的性质以及求得交点坐标是解题的关键．
24．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）过点A作 轴于点 ，联立两直线解析式求交点坐标 ，可得 ，再
求直线与x轴两交点坐标 ， ，可求 ，利用三角形面积公式
求即可；
（2）过点 作 轴于点 ，设点 的横坐标为 ， ，根据勾股定理
，即 解方程即可．
【详解】
解：（1）过点A作 轴于点 ，
由题意联立方程组 ，
解得： ，
∴ ，
∴ .
当 时， ，
∴ ，
∴ ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点 作 轴于点 ，
设点 的横坐标为 ，
∵点D在直线AC上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
根据勾股定理 ，
∴ ，
整理得 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴ ．
【点拨】本题考查两直线的交点求解问题，两直线与坐标系围成三角形面积，勾股定理，
一元二次方程的解法，掌握两直线的交点求解问题联立解方程组，两直线与坐标系围成三角形面积，勾股定理，一元二次方程的解法是解题关键．
25．（1）y＝－2x＋2；（2）－6＜n＜6；（3）（ ，1）或（2，－2）
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据一次函数的增减性即可求解；
（3）先求出直线l 的解析式，得到四边形ABCD关于x轴，y轴对称，故可得到当CP过
2
AB或AD中点时，符合题意，根据图形的特点分别求解即可．
【详解】
解：（1）设直线直线l 的解析式为y＝kx＋b．
1
根据题意得
解得
∴直线l 的解析式为y＝－2x＋2．
1
（2）∵－2＜0，
∴y随x的增大而减小．
当x＝m＝－2时，n＝y＝－2x＋2＝6；
当x＝m＝4时，n＝y＝－2x＋2＝－6．
∴当－2＜m＜4时，－6＜n＜6．
（3）∵将直线l 向下平移4个单位得到直线l，
1 2
∴直线l 的解析式为y＝－2x－2．
2
∴当y＝－2x－2＝0时解得x＝－1；当x＝0时，y＝－2x－2＝－2．
∴C（－1，0），D（0，－2），
∴OA＝OC＝1，OB＝OD＝2．
∴四边形ABCD关于x轴，y轴对称．
∴当CP过AB或AD中点时，将四边形ABCD分成面积比为1∶3的两部分．
当点P为AB中点时（记为P），取OA中点E连接PE，则PE y轴，PE＝ OB＝1，
1 1 1 1
∴P（ ，1）．
1设AD中点为M，由对称性可知，M（ ，－1），
由C，M两点坐标可求得直线CM的解析式为 ．
由 解得 所以P（2，－2）
2
综上可知，点P的坐标为（ ，1）或（2，－2）．
【点拨】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的应用、图形
与坐标的特点，中点及对称性的应用．
26．（1） ；（2） 或8．
【分析】
（1）先根据直线 的解析式求出点 的坐标，再利用待定系数法即可得；
（2）先求出点 的坐标，从而可得 和 的面积，再分① ，②
和③ 三种情况，利用 与 的面积关系建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1）由题意，将点 代入直线 得： ，
，
将点 代入直线 得： ，解得 ，
则直线 的函数表达式为 ；
（2）由题意得：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
对于函数 ，
当 时， ，即 ，
，
又 ， ，
， ，
分以下三种情况：
①如图，当 时，
则 ，
所以此时不可能满足 ；
②如图，当 时，则 ， ，
，，即 ，
解得 ，符合题设，
则 ；
③如图，当 时，则 ， ，
，
，即 ，
解得 ，符合题设，
则 ，
综上，线段 的长为 或8．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的几何应用等知识点，
较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．
27．（1）y=x-4；（2）-2；（3）（ ， ）
【分析】
（1）由 ，解得 ，进而求解；
（2）由 ，得到 ，则 ，进而求解；
（3）证明 ，求出点 的坐标为 ，进而求解．
【详解】
解：（1） 对于 ，令 ，解得 ，令 ，则 ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，则 ，
则 ，解得 ，
故点 ，
则设直线 的表达式为 ，
将点 的坐标代入上式得： ，解得 ，
故直线 的表达式为 ；
（2）由（1）知， ，
，即 ，
即 ，即 ，则 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
将点 的坐标代入 得： ，
解得 ，
故点 的坐标为 ， ，
将点 的坐标代入 得： ，
解得 ；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 轴，交过点 与 轴的平行线于点 ，
交过点 与 轴的平行线于点 ，，则 为等腰直角三角形，则 ， ，
， ，
，
