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专题33 圆锥曲线中的探索性问题
一、单选题
1．已知两点 及直线l：① ；② ；③ ；④ ，
在直线l上存在点P满足 的所有直线方程是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
2．若椭圆 上存在点 ，满足 （ 为坐标原点），则 的离心率的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的左顶点为A，若在双曲线的右支上存在两点M，N，使△AMN为等
边三角形，且右焦点为△AMN的重心，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知双曲线 的离心率为3，斜率为 的直线 分别交F的左右两支于A，B两
点，直线 分别交F的左、右两支于C，D两点， ， 交 于点E，点E恒在直线l上，若直线l
的斜率存在，则直线的方程为（ ）
x+4 y=0
A． B． C． D．
5．已知抛物线 ： 的（ ）焦点为 ，准线为 ，过 的直线 交抛物线 于 ， 两点，
若在直线 上存在一点 ，使 是等边三角形，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆 ，若椭圆上存在两点 、 关于直线 对称，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
7．已知直线 和椭圆 若对任意实数 ，直线 与椭圆 恒有公
共点，且存在实数 使得直线 与椭圆 仅有一个公共点， 的离心率的取值范围为 ，则椭圆
的长轴长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 、 是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点 ，使得点 ，且存在
，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线 ： ，点 为双曲线右支上的一个动点，过点 分别作两条渐近线的垂线，垂
足分别为 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．存在点 ，使得四边形 为正方形
C．直线 ， 的斜率之积为2
D．存在点 ，使得
10．将曲线 和曲线 合成曲线 .斜率为 的直线 与 交于 两
点， 为线段 的中点，则（ ）
A．曲线 所围成图形的面积小于36
B．曲线 与其对称轴仅有两个交点
C．存在 ，使得点 的轨迹总在某个椭圆上
D．存在 ，使得点 的轨迹总在某条直线上11．已知拋物线 ，点 均在抛物线 上，点 ，则（ ）
A．直线 的斜率可能为
B．线段 长度的最小值为
C．若 三点共线，则存在唯一的点 ，使得点 为线段 的中点
D．若 三点共线，则存在两个不同的点 ，使得点 为线段 的中点
12．在平面直角坐标系 中，由直线 上任一点 向椭圆 作切线，切点分别为 、 ，
点 在 轴的上方，则（ ）
A．当点 的坐标为 时，
B．当点 的坐标为 时，直线 的斜率为
C．存在点 ，使得 为钝角
D．存在点 ，使得
三、填空题
13．已知点 ， 关于坐标原点 对称， ， 过点 ， 且与直线 相切，若存在定点 ，
使得当 运动时， 为定值，则点 的坐标为 .
14．已知抛物线 的焦点为 ，直线 ，点 ，点 分别是抛物线 、直线 上的动点，若
点 在某个位置时，仅存在唯一的点 使得 ，则满足条件的所有 的值为 ．
15．不与 轴重合的直线 经过点 ，双曲线 ： 上存在两点A，B关于 对
称，AB中点M的横坐标为 ，若 ，则 的值为 .
16．已知抛物线 ， 为抛物线内一点，不经过P点的直线 与抛物线相交于A、B两点，直线AP、BP分别交抛物线于C、D两点，若对任意直线l，总存在 ，使得 ，
成立，则 ．
四、解答题
17．椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
18．已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左、右焦点为 、 ，过 作不与 轴重合的
直线 交椭圆 于 、 两点， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
(3)以 为圆心4为半径作圆，过 作直线 交圆 于 、 两点，求四边形 的面积的最小值及取得最小值时直线 的方程.
19．已知椭圆 的中心为O，左、右焦点分别为 ， ，M为椭圆C上一点，线段
与圆 相切于该线段的中点N，且 的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点 ，且四边形 是平行四边形？
若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.
20．已知 为抛物线 ： 的焦点， 为坐标原点.过点 且斜率为1的直线 与抛物线 交于 ，
两点，与 轴交于点 .
(1)若点 在抛物线 上，求 ；
(2)若 的面积为 ，求实数 的值；
(3)是否存在以 为圆心、2为半径的圆，使得过曲线 上任意一点 作圆 的两条切线，与曲线 交于另
外两点 ， 时，总有直线 也与圆 相切？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由.21．已知椭圆 的左，右顶点分别为 ，上，下顶点分别为 ，四边形
的内切圆的面积为 ，其离心率 ；抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点
重合.斜率为k的直线l过抛物线 的焦点且与椭圆 交于A，B两点，与抛物线 交于C，D两点.
(1)求椭圆 及抛物线 的方程；
(2)是否存在常数 ，使得 为一个与k无关的常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.
22．已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， 为 的左、右焦点，若过右焦点 的直线
与椭圆 交于不同的两点 ， ， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ，在 轴上是否存在一点 ，使得是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值及点 的坐标；若不存在，说明理由.
