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专题 4.1 “8”字模型
一．填空题（共8小题）
1．如图， ．
2．如图， ．
3．如图所示， 度．
4．如图， ．
5．如图，则 的度数为 ．6．如图，则 的度数是 ．
7．如图， 的度数为
8．如图， 度．二．解答题（共7小题）
9．图1，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称之为“8
字形”．如图2，在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且
与 、 分别相交于 、 ．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出 、 、 、 之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当 度， 度时，求 的度数．
（4）图2中 和 为任意角时，其他条件不变，试问 与 、 之间存在着怎样
的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．10．如图1，已知线段 、 相交于点 ，连接 、 ，则我们把形如这样的图形
称为“8字型”．
（1）求证： ．
利用以上结论解决下列问题：
（2）如图2所示， ，则 的度数为 ．
（3）如图3，若 和 的平分线 和 相交于点 ，且与 ， 分别相交
于点 ， ．
①若 ， ，求 的度数．
②若角平分线中角的关系改成“ ， ”，试直接写出
与 ， 之间存在的数量关系，并证明理由．11．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图①，若 ，点 在 、 外部，则有 ，又因 是
的外角，故 得 ，将点 移到 、 内部，
如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则 、 、 之间
有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图②中，将直线 绕点 逆时针方向旋转一定角度交直线 于点 ，如图③，
则 、 、 、 之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求图④中 的度数．12．如图1，已知线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称
之为“对顶三角形”．如图2， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与
、 分别相交于 、 ．试解答下列问题：
（1）仔细观察，在图2中有 个以线段 为边的“对顶三角形”；
（2）在图2中，若 ， ，求 的度数．
（3）在图2中，若设 ， ， ， ，试问 与
、 之间存在着怎样的数量关系（用 、 表示 ，并说明理由；
（4）如图3，则 的度数为 ．13．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）已知 平行于 ，如 图，当点 在 、 外部时， 即
，为什么？请说明理由．如 图，将点 移动到 、 内部，以
上结论是否仍然成立？若不成立，则 、 、 之间有何数量关系？请说明结
论；
（2）在图 中，将直线 绕点 逆时针方向旋转一定角度交直线 于点 ，如图 ，
则 、 、 、 之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图 中 的度数．14．已知：如图1，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称
之 为 “ 8 字 形 ” ． 试 解 答 下 列 问 题 ：
（1）在图1中，请直接写出 、 、 、 之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）在图2中，若 ， ， 和 的平分线 和 相交于点 ，
并且与 、 分别相交于 、 ．利用（1）的结论，试求 的度数；
（4）如果图2中 和 为任意角时，其他条件不变，试问 与 、 之间存在着
怎样的数量关系．（直接写出结论即可）15．图1，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称之为“8
字形”．如图2，在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且
与 、 分别相交于 、 ．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出 、 、 、 之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当 度， 度时，求 的度数．
