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专题33 圆锥曲线中的探索性问题
一、单选题
1．已知两点 及直线l：① ；② ；③ ；④ ，
在直线l上存在点P满足 的所有直线方程是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【解析】 即 ，故点P满足的方程为以 为焦点， 的双曲
线的右支，则 ， ，即 .
其渐近线为 ，故① 不满足，③ 满足；
② 过 ，在焦点 右侧，故满足；
④ 过 ，且斜率为 ，故不满足.
综上有②③直线与 相交，即直线上存在点P满足 .故选：C
2．若椭圆 上存在点 ，满足 （ 为坐标原点），则 的离心率的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆 的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 ， ， ，
由题意知 ， ， ，
由椭圆 上存在点 满足 ，等价于以 为原点，以 为半径的圆与椭圆有交点，
得 ，所以 ，解得 ，所以 ．又 ，所以 的离心率的取值范围为 ．故选：D.
3．已知双曲线 的左顶点为A，若在双曲线的右支上存在两点M，N，使△AMN为等
边三角形，且右焦点为△AMN的重心，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】设双曲线的右焦点为 ，左焦点为 ，如图，连接MF， ．
由△AMN为等边三角形，F为△AMN的重心，得 ．
由图形的对称性可知， ．
又因为△AMF是等腰三角形，所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，即 ，由于 ， ，
则 ，所以 ，故双曲线的离心率 ，故选：C．
4．已知双曲线 的离心率为3，斜率为 的直线 分别交F的左右两支于A，B两
点，直线 分别交F的左、右两支于C，D两点， ， 交 于点E，点E恒在直线l上，若直线l
的斜率存在，则直线的方程为（ ）x+4 y=0
A． B． C． D．
【解析】由题得 ，
设 的中点 的中点 ，
则 ，得 ，
所以 ，所以 ①，同理得 ②，
因为 ，则E，M，N三点共线，所以 ，将①②代入得 ，即
，因为直线l的斜率存在，所以 ，
所以 ，即点E在直线 上.故选：A.
5．已知抛物线 ： 的（ ）焦点为 ，准线为 ，过 的直线 交抛物线 于 ， 两点，
若在直线 上存在一点 ，使 是等边三角形，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设直线 的方程为 ， ， ， 的中点为 ，
联立方程组 ，整理可得 ，
则 ， ，所以 ，
，要使 是等边三角形，则 且 ，
即 ，
所以 ，将②式代入①式整理，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以直线 的斜率为 ，故选： .
6．已知椭圆 ，若椭圆上存在两点 、 关于直线 对称，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】椭圆 ，即： ，
设椭圆上两点 关于直线 对称， 中点为 ，
则 ， ，
所以 ，∴ ，
∴ ，代入直线方程 得 ，即 ，
因为 在椭圆内部，∴ ，解得 ，
即 的取值范围是 ．故选：A．
7．已知直线 和椭圆 若对任意实数 ，直线 与椭圆 恒有公
共点，且存在实数 使得直线 与椭圆 仅有一个公共点， 的离心率的取值范围为 ，则椭圆的长轴长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意知直线 经过定点 ，对任意实数 ，直线 与椭圆 恒有公共点，且存在实数 使
得直线 与椭圆 仅有一个公共点，则点 在椭圆 上，
所以 ，即 ，所以 为半焦距 ，
因为 ，即 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 的长轴长的取值范围是 故选：C.
8．已知 、 是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点 ，使得点 ，且存在
，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A选项， ， 、 ， ，
所以 ， ， 到焦点距离的最小值为 ，最大值为 ，
假设存在点 ，满足 ，则 ，解得 ，不合乎题意，
所以A选项中的椭圆不存在“阿圆点”；
对于B选项， ， 、 ， ，
所以 ， ， 到焦点距离的最小值为 ，最大值为 ，
假设存在点 ，满足 ，则 ，解得 ，不合乎题意，所以B选项中的椭圆不存在“阿圆点”；
对于C选项，双曲线的方程为 ，
则双曲线的两个焦点为， 、 ， ．
到焦点距离的最小值为 ，
若双曲线上存在点 ，使得点 到两个焦点 、 的距离之比为 ，
可得
所以C选项中的双曲线存在“阿圆点”；
对于D选项，双曲线的标准方程为 ，
则 ， ， 、 ，所以 ， ，
到焦点距离的最小值为 ，
若双曲线上存在点 ，使得点 到两个焦点 、 的距离之比为 ，
则 ，解得 ，
所以D选项中的双曲线不存在“阿圆点”．故选：C．
二、多选题
9．已知双曲线 ： ，点 为双曲线右支上的一个动点，过点 分别作两条渐近线的垂线，垂
足分别为 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．存在点 ，使得四边形 为正方形
C．直线 ， 的斜率之积为2
D．存在点 ，使得【解析】对于A，由双曲线 ： ，得 ，
故 ，A正确；
对于B，双曲线 ： 的渐近线为 ，则四边形 为矩形，
又双曲线右顶点为 ， 到直线 的距离均为 ，故矩形 为正方形，
即存在点 ，即M为双曲线右顶点时，使得四边形 为正方形，B正确；
对于C，设 ，不妨设A在第一象限，B在第四象限，
由于 ，故可得 的方程为 ，
联立 ，可得 ，则 ，
同理 ，可得 的方程为 ，
联立 ，可得 ，则 ，
故 ，而 ，故 ，C错误；
对于D，由以上解析可知 ，
同理 ,
故 ，
根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则 ，故 ，令 ，
将 代入 ，即有 ，显然不可能，
即双曲线上不存在点 ，使得 ，D错误，
故选：AB
10．将曲线 和曲线 合成曲线 .斜率为 的直线 与 交于 两
点， 为线段 的中点，则（ ）
A．曲线 所围成图形的面积小于36
B．曲线 与其对称轴仅有两个交点
C．存在 ，使得点 的轨迹总在某个椭圆上
D．存在 ，使得点 的轨迹总在某条直线上
【解析】过曲线 与坐标轴的交点作相应坐标轴的垂线（如图所示），以四条线的交点为顶点的四边形为
边长是6的正方形，曲线 在该正方形内，故 及其内部区域的面积小于正方形的面积36，故A正确；
曲线 的对称轴仅有 轴，且 与 轴仅有2个公共点，故B正确；
若 ，此时可设 的方程为 ，易求 的坐标分别为 ， ，故 中点坐
标为 ，设 ，故 ，消去 得 ，即 的轨迹在椭圆
上，若 ，设 的方程为 ，若 均在 上，利用点差法，易求 ，同理
若 均在 上，易求 ，显然 ，故此时点 不可能总落在某条直线上，故C正确，
D错误.
故选：ABC.11．已知拋物线 ，点 均在抛物线 上，点 ，则（ ）
A．直线 的斜率可能为
B．线段 长度的最小值为
C．若 三点共线，则存在唯一的点 ，使得点 为线段 的中点
D．若 三点共线，则存在两个不同的点 ，使得点 为线段 的中点
【解析】设 在抛物线上，且满足 ，
对于A，假如直线 的斜率可以为 ，则
由于 ，则该方程无解，所以直线 的斜率不可能为 ，故A错误，
对于B, ，记 ，
记 单调递增，
由于 ，因此 单调递增，
当 时， 单调递减，故当 时， 取最小值5，
因此 的最小值为 ，故B正确，
对于C,若 三点共线， 为线段 的中点，则 ，将 代入抛物线方程中得
，
故 有两个不相等的实数根，所以满足条件的点 不唯一，故C错误，D正确，
故选：BD
12．在平面直角坐标系 中，由直线 上任一点 向椭圆 作切线，切点分别为 、 ，
点 在 轴的上方，则（ ）
A．当点 的坐标为 时，
B．当点 的坐标为 时，直线 的斜率为
C．存在点 ，使得 为钝角
D．存在点 ，使得
【解析】设点 、 ，先证明出椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ，
由题意可得 ，
联立 可得 ，即 ，
即方程组 只有唯一解，
因此，椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ，同理可知，椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ，
因为点 为直线 上一点，设点 ，
则有 ，即 ，所以，点 、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
对于A选项，当点 的坐标为 ，即 ，此时直线 的方程为 ，
由 可得 ，即点 ，此时 ，A对；
对于B选项，当 的坐标为 时，即 时，此时，直线 的斜率为 ，B错；
对于C选项，联立 可得 ，
，由韦达定理可得 ， ，
，同理 ，
所以，
，
因此， 恒为锐角，C错；对于D选项，若点 为椭圆的上顶点，则 轴，此时 ，
所以，点 不是椭圆的上顶点，线段 的中点为 ，
所以， ， ，
存在点 ，使得 ，则 ，则 ，
化简可得 ，因为 ， ，
所以， ，即 ，
因为 ，解得 ，因此，存在点 ，使得 ，D对.
故选：AD.
三、填空题
13．已知点 ， 关于坐标原点 对称， ， 过点 ， 且与直线 相切，若存在定点 ，
使得当 运动时， 为定值，则点 的坐标为 .
【解析】 为圆 的一条弦， 是弦 的中点，所以圆心 在线段 的中垂线上，
设 ，因为 与直线 相切，所以 的半径为 ，
因为 ，所以 ，因为 ，即 ，
化简得 的轨迹方程为 .
因为曲线 ： 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，
若 为焦点 ，则 .因为 ，
所以存在满足条件的定点 ，其坐标为 .14．已知抛物线 的焦点为 ，直线 ，点 ，点 分别是抛物线 、直线 上的动点，若
点 在某个位置时，仅存在唯一的点 使得 ，则满足条件的所有 的值为 ．
【解析】设 ， ，抛物线 的焦点为 ，由抛物线定义， ，
， ， ，
， ，
又 ，即 ，代入上式可得 ，
，
，①当 时，可得 ，解得 ，
由 ，得 ，此时方程只有一个解，满足题意，
，
②当 时，由 ，
解得 ，代入 ，可得 ，
求得 ，可得 ，
综上所述， 的值为 或 ．
15．不与 轴重合的直线 经过点 ，双曲线 ： 上存在两点A，B关于 对称，AB中点M的横坐标为 ，若 ，则 的值为 .
【解析】设 ，则 ，两式相减得 ，
即 ，即 ，所以 ，
因为 是AB垂直平分线，有 ，所以 ，
即 ，化简得 ，故 ，则 .
16．已知抛物线 ， 为抛物线内一点，不经过P点的直线 与抛物线相交于
A、B两点，直线AP、BP分别交抛物线于C、D两点，若对任意直线l，总存在 ，使得 ，
成立，则 ．
【解析】由题意设 ，
由 可得： ，
可得： ，同理可得： ，
则： （*）且 .则 .
将 两点代入抛物线方程得 ，
作差可得： ，而直线 与抛物线相交于A、B两点， ，即，
同理可得， ，代入（*），可得 ，
四、解答题
17．椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
【解析】（1）因为该椭圆的离心率为 ，所以有 ，
在方程 中，令 ，解得 ，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有 ，由 可得： ，所以椭圆的方程为 ；
（2）当直线 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线 存在斜率时，设为 ，所以直线 的方程设为 ，
于是有 ，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有 ，
化简，得 ，设 ，于是有 ，
因为 ，所以 ，
代入 中，得 ，于是有 ，
化简，得 ，代入 中，得
.
18．已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左、右焦点为 、 ，过 作不与 轴重合的
直线 交椭圆 于 、 两点， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
(3)以 为圆心4为半径作圆，过 作直线 交圆 于 、 两点，求四边形 的面积的最小值及
取得最小值时直线 的方程.
【解析】（1）根据椭圆定义知 周长为 ，
依题意有 ，从而 ，故椭圆 的方程为 ；（2）设 ： ， ， ，
由 ，因为
所以 ， ，所以
，
设线段 中点坐标为 ，则 ， ，
即设线段 中点坐标为 ，
所以线段 的垂直平分线 方程为： ，
令 ，当 时， 与 轴重合，不合题意；
当 时，得 ，即点 ，所以 ，
所以 ，即存在 满足题设；
（3）直线 ： ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
则弦 的长： ，
所以 ，
设 ，则 ，且 ，所以 ，易知 在 单调递增，
所以当 ，即 时， ，此时直线 ： .
19．已知椭圆 的中心为O，左、右焦点分别为 ， ，M为椭圆C上一点，线段
与圆 相切于该线段的中点N，且 的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点 ，且四边形 是平行四边形？
若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.
【解析】（1）连接 ，则 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，故 ， ，
，解得 ，
由椭圆定义可知， ，解得 ，
由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
故 ，故椭圆方程为 ；
（2）由题意得 ，当直线 的斜率不存在时，即 ，此时 ，解得 ，设 ，
由于 ，由对称性可知， 为椭圆左顶点 ，但 ，故不合要求，舍去，
当直线 的斜率存在时，设为 ，
联立 得， ，
，
设 ，则 ，
，则 中点坐标为 ，
假设存在点P，使得四边形 是平行四边形，则 ，
将 代入椭圆 中，得 ，
解得 ，
此时直线AB的方程为 .
20．已知 为抛物线 ： 的焦点， 为坐标原点.过点 且斜率为1的直线 与抛物线 交于 ，
两点，与 轴交于点 .(1)若点 在抛物线 上，求 ；
(2)若 的面积为 ，求实数 的值；
(3)是否存在以 为圆心、2为半径的圆，使得过曲线 上任意一点 作圆 的两条切线，与曲线 交于另
外两点 ， 时，总有直线 也与圆 相切？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）抛物线 ： 的焦点 ，由点 在抛物线 上，则 ，解得
所以
（2）设直线 的方程为 ，原点 到直线 的距离为
联立 ，设 ,
整理得 ,其中 ，解得
由韦达定理得 ， ，所以
所以 ，解得
（3）设直线 的方程为 ，则 ，设
则圆 的方程为 .设 ， ， ，
直线 的斜率
所以直线 的方程为 ，
整理得则直线 与圆 相切得 ，
即 ，
同理可得 ，
易知 ，否则直线与抛物线只有一个交点，
所以 是方程 的两个根，
由韦达定理得
直线 的方程 与圆 相切得 ，
两边平方得 ，
即 ，
化简得
上式对任意的 恒成立，所以 ，解得 或3
当 时， ，舍去；
当 时， ，符合，此时
综上，存在定圆 ，过曲线 上任意一点 作圆 的两条切线，与曲线 交于另外两点 ，
时，总有直线 也与圆 相切.
21．已知椭圆 的左，右顶点分别为 ，上，下顶点分别为 ，四边形的内切圆的面积为 ，其离心率 ；抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点
重合.斜率为k的直线l过抛物线 的焦点且与椭圆 交于A，B两点，与抛物线 交于C，D两点.
(1)求椭圆 及抛物线 的方程；
(2)是否存在常数 ，使得 为一个与k无关的常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.
【解析】（1）由椭圆 可知： ，
所以直线 的方程为： ，即 ，
因为四边形 的内切圆的面积为 ，所以原点O到直线 的距离为 ，
即 ①，因为离心率 ，所以 ②，又 ③，
由①②③可得： ，所以椭圆 的方程为： ，
因为抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，
所以 ，所以 ，从而抛物线 的方程为： .
（2）由（1）知：抛物线 焦点为 ．由题意，设直线l： ，
设 ， ， ， ，
由 可得： ，所以 ，
所以 ，由 可得： ，所以 ，
因为直线l过抛物线 的焦点，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
由 可得： .
22．已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， 为 的左、右焦点，若过右焦点 的直线
与椭圆 交于不同的两点 ， ， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ，在 轴上是否存在一点 ，使得
是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值及点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）根据题意及椭圆的定义可知 ，又因为 ， ，所以 ， ，故椭圆的方程为 .
（2）由题意可设直线 的方程为 ，联立 消 整理得 ，
由 ，解得 ，
设 ， ，则 ， ，
， ，
设 中点 ，故 ，
假设存在 和点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
则 ，故 ，所以 ，解得 ，故 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，
所以 ，所以 ，即 ，此时，当 时， ，当 时， ，所以在 轴上存在点 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
当 时， ，当 时， .
