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专题4.1 函数（知识讲解）
【学习目标】
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值
范围）；
2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；
给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．
3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．
4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，
明确交点坐标反映到函数上的含义.
5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知
图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．
【要点梳理】
要点一、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
特别说明：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某
个变化过程而言的.例如， ，速度80千米/时是常量，时间 和里程 为变量.
要点二、函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.
特别说明：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量 的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 允许取的每一个值， 是否
都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相
同与否比较容易注意到，自变量 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
要点三、函数值
是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
特别说明：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即
一个函数值对应的自变量可以是多个.比如： 中，当函数值为4时，自变量 的值为
±2.
要点四、自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
特别说明：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数
不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
要点五、函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
特别说明：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联
系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函
数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表
等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数
图象可以充当重要角色.
要点六、函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐
标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
特别说明：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的
取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对
应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
【典型例题】
类型一、函数的概念
1．已知变量x与y的四种关系：①y＝|x|；②|y|＝x；③2x2﹣y＝0；④x+y2＝1，其
中y是x的函数的式子有_____个．
【答案】2
【分析】利用函数定义可得答案．
解答：y是x的函数的式子有：①y＝|x|；③2x2﹣y＝0，共2个，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查函数的概念，正确理解函数的概念是解题的关键．
举一反三：
【变式1】下列：① ；② ；③ ；④ ，具
有函数关系（自变量为 ）的是______．
【答案】①②
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应
关系，据此即可确定哪些是函数．
解答：∵对于①y=x2；②y=2x+1当x取值时，y有唯一的值对应；故具有函数关系（自变量为x）的是①②；
【变式2】下列是关于变量x与y的八个关系式：① y = x；② y2 = x；③ 2x2 − y = 0；
④ 2x − y2 = 0；⑤ y = x3 ；⑥ y =∣x∣；⑦ x = ∣y∣；⑧ x = ．其中y不是x的函数的有
_____．（填序号）
【答案】②④⑦
【解析】根据函数的定义：“在一个变化过程中，若有两个变量x、y，在一定的范围内当
变量x每取定一个值时，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就说变量y是变量x的
函数”分析可知，在上述反映变量y与x的关系式中，y不是x的函数的有②④⑦，共3个.
故答案为②④⑦.
类型二、函数的解析式
2．某市的出租车收费按里程计算，3km内（含3km）收费5元，超过3km，每增加
1km加收1元，则路程x≥3时，车费y（元）与x（km）之间的关系式是_____．
【答案】y=x+2
【分析】根据乘车费用=起步价5元+超过3千米的付费即可得出函数关系式．
解答：由题意得：y=5+（x-3）×1=x+2．
故答案为y=x+2．
【点拨】考查了列函数关系式，根据题意找到所求量的等量关系是解决问题的关键，注意
分段收费．
举一反三：
【变式1】用每片长6cm的纸条，重叠1cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y（cm）
与纸片的张数x之间的函数关系式是___________________
【答案】y=5x+1.
【分析】根据粘合后的总长度=x张纸条的长-（x-1）个粘合部分的长，列出函数解析式即可．
解答：纸带的长度y(cm)与纸片的张数x之间的函数关系式是y=6x−(x−1)=5x+1，
故答案为y=5x+1.
【点拨】此题考查函数关系式，解题关键在于根据题意列出方程.
【变式2】如图①，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．如图②，若把2个这样的圆环
扣在一起并拉紧，则其长度为_____cm；如图③，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，
其长度为ycm，则y与x之间的关系式是_____．
【答案】14 y＝6x+2．
【解析】【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度
和把x个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度.
解答：解：由题意可得，把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8-1-1）
=14cm，把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y=8+（8-1-
1）（x-1）=6x+2，故答案为：14，y=6x+2.
【点拨】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
类型三、函数自变量取值范围
3 函数 中，自变量 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
解答：依题意，得 ，
解得： ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方
面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问
题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
【变式1】函数 中自变量x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件，结合所给式子得到关于x的不等式组，解不
等式组即可求出x的取值范围．
解答：由题意得， ，
解得：-2
