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专题 33 【提升专题 02】 直线与圆锥曲线综合问题
（核心考点精讲精练）
类型一、直线与椭圆的位置关系
类型二、直线与双曲线的位置关系
类型三、直线与抛物线的位置关系
类型四、弦长问题
类型五、圆锥曲线中的对称问题
类型六、圆锥曲线中的范围最值问题
类型七、圆锥曲线在新情景中应用
直线与圆锥曲线的综合问题常常涉及到一些重要的数学思想和解题方法，比如方程思想、转
化思想、数形结合思想等。以下是一些常见的问题：
1、直线与圆锥曲线的位置关系：包括直线与圆锥曲线的相交、相切、相离等位置关系，可以
通过联立方程组，利用判别式、韦达定理等方法求解。
2、弦长问题：包括弦长最值、弦长的定值、弦长之间的关系等问题，可以通过联立方程组，
利用根与系数的关系等方法求解。
3、圆锥曲线中的对称问题：圆锥曲线中的一些对称问题也常常作为综合问题出现，比如圆锥
曲线中的点对称、线对称、旋转对称等问题，可以通过对称的性质进行求解。
4、圆锥曲线中的范围最值问题：圆锥曲线中的范围最值问题也是常见的综合问题之一，可以
通过联立方程组，利用函数思想等方法进行求解。
以上只是直线与圆锥曲线的综合问题中的一部分，这些问题的解决需要掌握一定的数学思想
和解题方法，同时需要具备灵活的思维和敏锐的观察能力
类型一、直线与椭圆的位置关系
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 ，求出 范围，再根据三角形面积比得到关于 的方
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】程，解出即可.
【详解】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，
，解得 或 （舍去）.
2．已知椭圆方程为 ，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若
AB的中点坐标为 ，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，利用点差法求解即可．
【详解】设 ，代入椭圆的方程可得 ， ．
两式相减可得： ．
由 ， ，代入上式可得：
＝0，化为 ．
又 ， ，联立解得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴椭圆的方程为： ．
3．若椭圆 的弦 被点 平分，则 所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用点差法求出直线 的斜率，再利用点斜式可得出直线 的方程.
【详解】若直线 轴，则点 、 关于 轴对称，则直线 的中点在 轴，不合乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设点 、 ，则 ，
所以， ，两式作差可得 ，
即 ，即 ，
可得直线 的斜率为 ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
4．（2023年内蒙古模拟理科数学试题）已知椭圆 ，直线 依次交 轴、椭圆
轴于点 四点．若 ，且直线 斜率 ．则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可知： 的中点即为弦 的中点，利用点差法运算求解.
【详解】设直线 ： ，可得 ，
设 的中点为 ，连接OM，则 ， ，
因为 ，则 ，即 为弦 的中点，
设 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，
可得 ，两式相减得 ，
整理得 ，可得 ，
即 ，可得 ，
所以椭圆 的离心率为 .
5．（2024届安徽省联考数学试题）已知椭圆C： （ ）的左焦点为 ，过左焦点
作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而根据向量共线的坐标运算可得 ，进而结合
求解离心率.
【详解】设 ， ， ，过点 所作直线的倾斜角为 ，所以该直线斜率为 ，
所以直线方程可写为 ，联立方程 ，
可得 ， ，
根据韦达定理： ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ，联立 ，
可得 ， .
6．（2023年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（A卷））平面直角坐标系 中，已知圆 与 轴、
轴均相切，圆心在椭圆 内，且 与 有唯一的公共点 .则 的焦距为 .
【答案】10
【分析】先求出 的方程，从而求出公切线，再联立公切线方程和椭圆方程后利用判别式为零可得
，结合 在椭圆上可求基本量，故可求焦距.
【详解】因为 与 有唯一的公共点 且 与 轴、 轴均相切，
故圆心在第一象限，故设圆心为 ，
故 的方程为： ，
所以 ，解得 或 .
因为 在 内，故 ，故原的方程为 ，
因为 与 有唯一的公共点 ，且圆心在椭圆 内，
故 与 在 处有公切线 ，
故 ，故 ，故 的方程为： ，
由 可得 ，
整理得到： ，
故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】整理得到： ，而 ，
解得 ， ，从而 的焦距为 .
7．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，
且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率公式可得 ，进而可得 ，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证 ；
充分性：设直线 ，由直线与圆相切得 ，联立直线与椭圆方程结合弦长公
式可得 ，进而可得 ，即可得解.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
8．（2023年江苏省模拟数学试题）已知椭圆C： 的焦距为 ，且椭圆经过点
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为 ，求l的斜率.
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）根据已知条件求得 ，由此求得椭圆 的方程.
（2）利用点差法、或设直线 方程、或设直线 方程、或齐次化的方法来求得 的斜率.
【详解】（1）因为椭圆C的焦距为 ，且椭圆经过点 ，
所以 ， ，
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得， ， ；
故椭圆C的方程为 .
（2）法一：（点差法）
设 ， ，则 ，
两式相减，得 ，
所以l的斜率 .
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以 ，
整理得 ①
由 得 ，
所以 ，
同理 ，
因为
所以 ，
整理得 ②
②-①，得 ，
，
所以 ，即l的斜率为 .
法二：（设线）设l： ， ， ，
（讨论斜率不存在不给分，因为此种情况明显不符）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，消去y，整理得 ，
所以 ， ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
若 ，则直线l： 过点A，不合题意，故舍去，
所以 ，即l的斜率为 .
法三：
设AP： ，AQ： ， ， ，
，消去y，整理得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
，
所以l的斜率 .
方法四：（齐次化巧解圆锥曲线问题）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为PQ不过 ，所以设PQ：
C：
，
（‘1’的代换）
化简得 ，
所以 ，
所以l的斜率为 .
【点睛】求解椭圆方程的几种方法:方法一：定义法，根据椭圆的定义直接求解，一般用题中所给的椭圆长
短轴，焦点等信息就能直接算出椭圆方程.方法二：待定系数法，根据椭圆焦点位置，长短轴，先设出对应
的椭圆方程，然后再代入已知条件求系数.方法三：共焦点系方程： 等等.
类型二、直线与双曲线的位置关系
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得 ，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
2．（2023届河南省仿真测试三模理科数学试题）已知直线 与双曲线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的两条渐近线分别交于点 ， （不重合）， 的垂直平分线过点 ，则双
曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出 的垂直平分线的方程，即可求出 的中点坐标，设 ， ，利用点差
法得到 ，最后利用离心率公式计算可得.
【详解】因为直线 ，所以 ，
由题可知 的垂直平分线的方程为 ，
将 与 联立可得 ，即 的中点坐标为 ．
设 ， ，则 ，且 ， ，
两式作差可得 ，
即 ，所以 ，
则双曲线 的离心率为 ．
3．（2023届四川省诊断性检测理科数学试题）双曲线C： 的离心率为 ，直线
与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点 满足 ，则 （ ）
A． 或0 B．－2 C． 或0 D．3
【答案】C
【分析】由双曲线离心率及参数关系确定渐近线方程，联立直线方程求 坐标，进而求其中点P的坐标，
根据 及斜率两点式求参数，注意讨论 、 两种情况.
【详解】由离心率为 ，有 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得：A的坐标为 ；
由 得：B的坐标为 ．
设线段AB中点为P，则 ，且P的坐标为 ．
当 时， ，解出 ．
当 时，符合条件．
综上所述， 或 ．
4．（2023年黑龙江省模拟数学试题）双曲线 与直线 的公共点的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2
【答案】C
【分析】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可.
【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以，当 时，直线 与渐近线重合，此时直线 与双曲线无交点；
当 时，直线 与渐近线平行，此时直线 与双曲线有一个交点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023年浙江省名校联盟五科联赛数学试题）已知双曲线 的左顶点为 ，过
的直线 与 的右支交于点 ，若线段 的中点在圆 上，且 ，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设线段 的中点为 ，双曲线的右顶点为 ，连接 ，则可得 ，然后在
中利用余弦定理求得 ，则 ，从而可表示出 ，代入双曲线方程化
简可求出离心率.
【详解】设线段 的中点为 ，双曲线的右顶点为 ，左右焦点为 ，连接 ，
因为线段 的中点 在圆 上，所以 ，
所以 ≌ ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，过 作 轴于 ，则 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，得 ，
所以 ， ，所以 ，
所以离心率 ，
【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意
求得 ，然后在 中利用余弦定理求出 ，从而可表示出点 的坐标，考查数形结
合的思想和计算能力，属于较难题.
6．（2024届陕西省一模文科数学试题）设 ， 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据点差法分析可得 ，对于A、B、C：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对
于D：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，设直线 的斜率为 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；
对于选项D：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到
，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.
7．已知双曲线 ，过点 作直线 交双曲线于 ， ，若线段 的中点在直线 上，
求直线 的斜率．
【答案】
【分析】设 的方程为 ，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，解方程 ，再检
验即得解.
【详解】由题意可设 的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，消去 整理得 ．
显然 ，设 ， ，则 ，解得 ，
由 解得 ，显然 不适合， 适合，
所以 ．
8．（2023届四川省二诊模拟理科数学试题）双曲线C： 的左右焦点分别为 ， ，
离心率为2，过 斜率为 的直线交双曲线于A，B，则 .
【答案】 /
【分析】根据双曲线的离心率为2得 ，根据过 的直线的斜率为 ，得到 ，然后分
别在 和 中，利用余弦定理求得 ，然后在 中，利用余弦定理求解.
【详解】因为双曲线的离心率为2，则 ，
因为过 斜率为 ，所以 ，则 ，
在 中，设 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，解得 ，则 ，在 中，设 ，则
，由 ，解得 ，则 ，
则 ，在 中 .
9．（2023届河北省联考数学试题）如图，已知过原点的直线 与双曲线 相交于
两点，双曲线 的右支上一点 满足 ，若直线 的斜率为-3，则双曲线 的离心率为
.
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，先求得直线 的斜率，然后利用点差法求得 ，进而求得双曲线
的离心率.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以 ，设直线 的倾斜角为 ，则 ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 .设 ，则 .
由 ，得到 . ，
所以 ，所以 ，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
10．（2023届河北省模拟数学试题）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，其一渐近
线的倾斜角为 ，过双曲线 右焦点的直线 与 交于 、 两点．
(1)求双曲线 的方程．
(2)已知点 ，点 ，直线 、 与 轴分别交于点 、 ，若四边形 存在外接圆，
求直线 的方程．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）由双曲线过焦点以及渐近线的倾斜角列出 的等量关系，求解 的值，从而求出双曲
线方程；
（2）设直线 的方程为 ，与双曲线联立，韦达定理表示 两点坐标之间的关系，利用
两点坐标表示 并计算 两点坐标，代入等式 ，化简并计算可求出 的取值，
从而求出直线 的方程.
【详解】（1）由题意知：
，解得
∴双曲线 的方程为
（2）设直线 的方程为
联立方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得
设 ，
则 ，
直线 为
令 ，得
∴ 点为
同理， 为
∵四边形 存在外接圆
需 ，
即
即
得
得
∴直线 为
即
类型三、直线与抛物线的位置关系
1．（2023-2024学年四川省模拟文科数学试题）已知抛物线 的焦点为F，过点P（2，0）的直线交
抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意设直线 的方程和直线 的方程，分别与抛物线方程联立得到 ， ，
，然后求 即可.
【详解】
由题意得 ，设直线 的方程为 ， ， ， ， ,
联立 得 ， ，
设直线 的方程为 ，联立 得 ， ，同理可得 ，
所以 .
2．（2023届河北省二模数学试题）已知抛物线 ，直线 与C的一
个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义以及正弦定理得出结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】如图，抛物线C的准线 ，直线n与x轴交于点 ，
过点M作准线n的垂线，垂足为Q，由抛物线的性质可得 ，
所以 ，又 ，所以
，
故 ，即 ．
3．（2024届广东省次联考数学试题）过 向抛物线 引两条切线 ，切点分别为 ,
又点 在直线 上的射影为 ，则焦点 与 连线的斜率取值范围是 .
【答案】 .
【分析】利用导数的几何意义求得切线方程，进而得到直线 的方程为 ，进而得到点 的
轨迹为以 为直径的圆，得到方程 ，过点 与圆 相切的直线的斜率为 ，结合直
线与圆的位置关系，列出方程，即可求解.
【详解】设 ，不妨设 ，
由 ，可得 ，可得 ，则 ，
可得切线 的方程为
因为点 在直线 上，可得 ，
同理可得： ，
所以直线 的方程为 ，可得直线 过定点 ，
又因为 在直线 上的射影为 ，可得 且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点 的轨迹为以 为直径的圆，其方程为 ，
当 与 相切时，
由抛物线 ，可得 ，设过点 与圆 相切的直线的斜率为 ，
可得切线方程为 ，则 ，解得 或 ，
所以实数 的范围为 .
故答案为： .
4．（2023年山西省模拟数学试题）已知抛物线 ，过 的直线 交抛物线 于 两点，且
，则直线 的方程为 .
【答案】
【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.
【详解】因为 在抛物线 内部，又 ，所以 是 的中点.
设 ，所以 ，即 ，
又 在抛物线 上，所以 ，两式作差，得 ，所以
，
所以直线 的方程为 ，即 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 .
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设 ，由平面向量的知识可得 ，进而可得 ，再由斜率公式及基
本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
据此整理可得点 的轨迹方程为 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的方程为 ，则当直线 与抛物线 相切时，其斜率k取到最值．联立
得 ，其判别式 ，解得 ，所以直线 斜率的
最大值为 ．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的斜率为k，则 ．
令 ，则 的对称轴为 ，所以 ．故直线 斜率的
最大值为 ．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设 ．
因为 ，所以 ．
于是 ，所以
则直线 的斜率为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当 ，即 时等号成立，所以直线 斜率的最大值为 ．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于 的表达式，
然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，
为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线 的斜率k的平方关于 的表达式，利用换元方法转化为二
次函数求得最大值，进而得到直线 斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设 ，求得x,y关于 的参数表达式，得到直线 的斜率
关于 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线 斜率的最大值.
6．（2023-2024学年河南省一模数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，点 ，过 的直线 垂
直于 ，且 交抛物线于 两点，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】方法1：联立直线 与 ，设 ， ，得出韦达定理，代入坐标求解
即可；方法2：设点 ， 在准线上的射影分别为点 ， ，根据几何关系可证得 ，
可得 即可.
【详解】（方法1）易知焦点 ，故 ，则 ，故直线 的方程为 ，
代入 得， ，
设 ， ，则 ， ，
.
（方法2）设点 ， 在准线上的射影分别为点 ， ，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易知 ， ， ，
则 ，则 ，
同理 ，则 ，
又 ，
由此可得 ，故 .
类型四、弦长问题
1．（2023年四川省模拟数学（理）试题）已知抛物线的方程为 ，过其焦点 的直线交抛物线于
两点，若 ， （ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得 .
【详解】如下图所示：
易知 ，不妨设 ；
设直线 的方程为 ，与 联立消去 得，
,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由韦达定理可知 ；
由 可得 ；联立解得 ，即 ；
根据焦点弦公式可得 ；
代入计算可得 .
2．过点 作两条直线与抛物线 相切于点A，B，则弦长 等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】利用直线与抛物线相切设直线方程求切点，利用两点距离公式计算即可.
【详解】由题意直线斜率存在，
可设过点 的切线方程为 ，
与抛物线方程联立可得：
，
所以 ，解之得 ，
如图所示，设 ，则 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，
y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ，
， ，求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
∴AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2
所以直线 ，即
4．（2024届福建省质量监测（一）数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线
与 交于不同的两点 ， .若 ，则 .
【答案】 /
【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点N的坐标，进而求出直线 的方程，再与抛物线方程联
立求出点M的坐标作答.
【详解】抛物线 的焦点为 ，设 ，由抛物线的对称性不妨令 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图，
显然 ，而 ，则 ， ，
于是直线 的方程为 ，由 得 ，解得 ，
所以 .
5．（2024届内蒙古质量监测理科数学试题）已知双曲线C： ，若双曲线C的一条弦的中点为
，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.
【详解】设该弦为 ， 设 ，
则有 ，两式相减，得 ，
因为双曲线C的一条弦的中点为 ，
所以 ，
因此由 ，
即这条弦所在直线的斜率为 ，方程为 ，
代入双曲线方程中，得 ，
因为 ，
所以该弦存在.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023届四川省名校高全真模拟考试（二）理科数学试题）已知直线 与双曲线
相交于A，B两点，点 在第一象限，经过点 且与直线 垂直的直线与双曲线 的
另外一个交点为 ，点 在 轴上， ，点 为坐标原点，且 ，则双曲线 的渐
近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，设 ，根据点差法得到 ，由垂直关系得到
，结合 求出 ，由 得到方程 ，求出 ，求
出渐近线方程.
【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．
因为 ，所以B、N、M三点共线．设线段BM的中点为 ，连接OQ，
根据题意，显然可得点 为线段AB的中点，所以 ，
设 ， ， ， ．
因为点B，M都在双曲线 上，则 两式相减，得 ，
即 ．而 ， ，
所以 ，即 ．
又因为 ，则 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ．又 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，故 ，所以 ．
而 ，故 ，即 ，
则双曲线 的渐近线方程为： ．
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于
掌握，若相交弦涉及 的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.
7．（2023届重庆市适应性月考（六）数学试题）已知双曲线 的左、右焦点分别为
， ，过 作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若
，则双曲线的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】由 可得点P ，求得 ,由点差法得 ,可求得离
心率.
【详解】
如图: ,由 , ,可得点P的坐标为 ，
则直线OP斜率为 ,直线AB斜率为 ，
另一方面，设 则 ,
两式相减得 ,整理得 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，故 ．
故答案为:
8．（2024届安徽省联考数学试题）过抛物线 的焦点 的直线 与 交于 、 两点，且
， 为坐标原点，则 的面积为 .
【答案】
【分析】分析可知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线
的方程与抛物线的方程联立，由 ，可得出 ，结合韦达定理求出 的值，求出 以及
原点到直线 的距离，利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】易知，抛物线 的焦点为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合
乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，则 ，故 ， ，
又 ，即 ，即 ，
所以， ，可得 ， ，
解得 .
此时，
又因为原点 到直线 的距离为 ，
故 的面积为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．（2023届湖北省压轴卷数学试题（二））已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ．
倾斜角为 的直线与 交于 两点，并且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，用弦长公式表示出 ，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示
出 ，代入题干条件即可求解.
【详解】设 ，则 ，由 ，
消去 ，得 ，
注意到 ，则 .于是 ，
同理， . 因此 .
的倾斜角为 ，∴直线的斜率 ，
根据弦长公式，可得 .
由 ，可得 ，故 .
．
10．（2023年湖南省模拟数学试题）直线 与椭圆 相交于不同的两点 ,若 的中
点的横坐标为 ,则弦长 的值.
【答案】
【分析】利用点差法可构造关于斜率 的方程，求得斜率 ；将直线方程代入椭圆方程可得韦达定理的结
论，利用弦长公式可求得结果.
【详解】设 ， ， 中点为 ，
在直线 上， ；
由 得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，解得： ，
直线方程为 ，
由 得： ， ， ，
.
11．已知直线 与椭圆 交于M、N两点，且 .求直线 的方程．
【答案】 或 .
【分析】设 ，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式可以求出 .
【详解】设 ，
由 消去y并化简得 ，
所以 ,
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
即 ，
化简得 ，所以 ，所以 .
故直线方程为 或 .
类型五、圆锥曲线中的对称问题
1．双曲线C： 的左、右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，点P关于原点的对称点为
Q，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】4
【分析】根据双曲线的对称性及定义即可求解.
【详解】由题意 .
如图，
连接 ， ，则点Q在双曲线C的左支上，
由双曲线的对称性知， ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以由双曲线的定义得 .
2．（2023年陕西省模拟理科数学试题）已知抛物线 ： 与圆 ： 在第一象限交于
， 两点，设 关于 轴的对称点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】联立方程求出两点横坐标，然后利用两点斜率公式求解即可.
【详解】联立 消去y得 ，又 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
因为 关于 轴的对称点为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023届上海市模拟数学试题）不与 轴重合的直线 经过点 ，双曲线 ：
上存在两点A，B关于 对称，AB中点M的横坐标为 ，若 ，则 的值为
.
【答案】
【分析】由点差法得 ，结合 得 ，代入斜率公式化简并利用 可求
得 .
【详解】设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，
即 ，所以 ，
因为 是AB垂直平分线，有 ，所以 ，
即 ，化简得 ，故 ，则 .
4．（2023-2024学年四川省“零诊”考试数学试题（文科））抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛
物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必
过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线
上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 ．
【答案】
【分析】由题意求出B点坐标，继而求出直线BC的方程，联立抛物线方程，求得点C坐标，即可求得答
案.
【详解】如图，由题意可知 轴， ，将 代入 中得 ，即 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，则 ，故 的方程为 ，联立 ，
可得 ，解得 ，或 （此时C与B关于x轴对称，不合题意），
则 ，故 .
5．（2023届贵州省统一考试数学（理）试题）已知抛物线 上两点A，B关于点 对称，则直
线AB的斜率为 .
【答案】2
【分析】根据点差法求得直线AB的斜率，并验证判别式大于零.
【详解】设 ， 代入抛物线 ，得 ，
则 ①，
因为两点A，B关于点 对称，则 ，
所以由①得 ，
直线AB的斜率为2.
则直线AB： 与代入抛物线 联立，得 ， ，解得
.
所以直线AB的斜率为2.
6．已知 是抛物线 上的两个点，O为坐标原点，若 且 的垂心恰是抛物
线的焦点，则直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据题意，结合抛物线的对称性，得到 关于 轴对称，设直线 的方程为 ，由
的垂心恰好是抛物线的焦点 ，得到 ，根据 ，列出方程，即可求解.
【详解】由点 是抛物线 上的两点，且 ，
根据抛物线的对称性，可得 关于 轴对称，
设直线 的方程为 ，则 ，
因为 的垂心恰好是抛物线的焦点 ，
所以 ，可得 ，即 ，
解得 ，即直线 的方程为 .
7．（2023-2024学年四川省模拟考试文科数学试题）已知A、B是椭圆 与双曲线
的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N．若MN过椭圆的焦点
F，且 ，则双曲线的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得 ，再由正切的和角的公式得到 ，结
合双曲线离心率公式即可得解.
【详解】由题意可知：
如图，设 ，可得直线的斜率分别为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为点 在双曲线上，则 ，整理得 ，
所以 ，
设点 ，可得直线 的斜率 ，
因为点 在椭圆上，则 ，整理得 ，
所以 ，即 ，
可得 ，所以直线 与 关于 轴对称，
又因为椭圆也关于 轴对称，且 过焦点 ，则 轴，
令 ，则 ，
因为 ， ，
则
，
解得 ，
所以双曲线的离心率 .
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】类型六、圆锥曲线中的范围最值问题
1．（2023年内蒙古模拟理科数学试题）在椭圆 上求一点 ，使点 到直线 的距
离最大时，点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，当点 在第三象限且椭圆在点 处的切线与直线 平行时，点 到
直线 的距离取得最大值，可设切线方程为 ，将切线方程与椭圆方程联立，
求出 的值，利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】如下图所示：
根据题意可知，当点 在第三象限且椭圆在点 处的切线与直线 平行时，
点 到直线 的距离取得最大值，可设切线方程为 ，
联立 ，消去 整理可得 ，
，因为 ，解得 ，
所以，椭圆 在点 处的切线方程为 ，
因此，点 到直线 的距离的最大值为 ,
联立 ，
可得点 的坐标为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023-2024学年江苏省学情检测数学试题）经过椭圆 的右焦点作倾斜角为 的直线 ，
交椭圆于 两点，则 ．
【答案】 /
【分析】将直线 方程与椭圆方程联立后可得韦达定理的结论，结合韦达定理可求得结果.
【详解】由椭圆方程得：右焦点 ，则直线 方程为： ，
由 得： ，则 ，
， ，
.
3．（2023年高三数学（理科）押题卷四试题）已知双曲线 的实轴长为4，离心
率为 ，直线 与 交于 两点， 是线段 的中点， 为坐标原点．若点 的横坐标为 ，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出双曲线方程，然后联立直线和双曲线方程表示出 ，然后判断出直线和双曲线一定交于两
支后进行计算.
【详解】由题知 ，解得 ，即双曲线的方程为： .
直线的斜率若不存在，则垂直于 轴，由于双曲线顶点为 ，斜率不存在的直线和双曲线有交点，则
两个交点横坐标相等且均大于 ，与点 的横坐标为1矛盾；
直线的斜率也不会为 ，否则根据对称性可知， 的横坐标为 ，矛盾.
故直线斜率存在且非零.
设直线方程为 ，联立 ，得到 ，由 .
设 ，由题意， ，即 ， 的纵坐标为 ，即 .
根据双曲线的范围可知，若直线和双曲线交于同一支，则交点横坐标均大于 或小于 ，与 的横坐标
为 矛盾，故直线和双曲线交于两支.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得到 ，显然满足判别式条件： .
由 ，于是
4．（2023-2024学年湖南省模拟数学试题）已知直线 ： 与抛物线 ： 交于 ， 两个不
同的点， 为 的中点， 为 的焦点，直线 与 轴交于点 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据中点坐标公式，结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、平面向量数量积的坐标表
示公式进行求解即可.
【详解】由 可知： ，
因为直线 在纵轴的截距为 ，
所以点 的坐标为 ，
由 ，
因为直线 ： 与抛物线 ： 交于 ， 两个不同的点，
所以 ，
设 ，则有 ，
所以 ，所以 ，
，
所以 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次方程求出 的取值范围.
5．（2023届江西省模拟文科数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，倾斜角为 的直线
过点 ，且与抛物线 交于 两点， ，设直线 的斜率分别为 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．
【答案】0
【分析】当直线l的斜率 时，设直线l的方程为 ，与抛物线方程联立，结合韦达定理
得出 .
【详解】由题意 ，设其倾斜角为 ， ,故 ，则 ，故l的方程为
，
与 的方程联立得 ，显然 ，设 ，则 ，
所以 ，
6．（2023-2024学年江苏省诊断测试数学试题）过点 能作双曲线 的两条切线，则该双曲线
离心率 的取值范围为 .
【答案】
【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线方程为 ，将切线方程与双曲线的方程联立，
由 可得出关于 的方程，可知方程有两个不等的实数根，求出 的取值范围，即可求得该双曲线的离
心率的取值范围.
【详解】当过点 的直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，
由 可得 ，故直线 与双曲线 相交，不合乎题意；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当过点 的直线的斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，
联立 可得 ，
因为过点 能作双曲线 的两条切线，
则 ，可得 ，
由题意可知，关于 的二次方程 有两个不等的实数根，
所以， ，可得 ，
又因为 ，即 ，因此，关于 的方程 没有 的实根，
所以， 且 ，解得 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是 .
7．（2023届江苏省八校联盟适应性检测（三模）数学试题）已知双曲线 ，过其右焦
点 的直线 与双曲线 交于 、 两点，已知 ，若这样的直线 有 条，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【分析】记 ，分析可知双曲线 的实轴长和通径长不可能同时为 ，可知直线 的斜率存在且
不为零，设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，将直线 的方程与双曲线方
程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于 的方程 由四个不等的实数解，
可得出关于实数 的不等式组，综合可得出实数 的取值范围.
【详解】记 ，若直线 与 轴重合，此时， ；
若直线 轴时，将 代入双曲线方程可得 ，此时 ，
当 时，则 ，此时， ；当 ，可得 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，双曲线 的实轴长和通径长不可能同时为 ；
当直线 与 轴不重合时，记 ，则点 ，
设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
由题意可得 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，即 ，
所以，关于 的方程 由四个不等的实数解.
当 时，即当 时，可得 ，
可得 ，整理可得 ，因为 ，解得 ；
当 时，即当 ，可得 ，
可得 ，整理可得 ，可得 .
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
类型七、圆锥曲线在新情景中应用
1．（2023届贵州省数学（理科）样卷（二）试题）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，
他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，
这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的蒙日圆方程为
C．若 为正方形，则 的边长为 D．长方形 的面积的最大值为18
【答案】D
【分析】由椭圆标准方程求得 后再求得 ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平
行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方
形时的边长．
【详解】由椭圆方程知 ， ，则 ，离心率为 ，A正确；
当长方形 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为 和4，其对角线长为 ，因此
蒙日圆半径为 ，圆方程为 ，B正确；
设矩形的边长分别为 ，因此 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以长方形
的面积的最大值是20，此时该长方形 为正方形，边长为 ，C正确，D错误．
2．（2023年湖南省模拟数学试题）若椭圆上存在点 ，使得 到椭圆两个焦点的距离之比为 ，则称该
椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】根据条件设出 到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可
求出结果.
【详解】由题可设点 到椭圆两个焦点的距离之分别 ，
所以 ，得到 ，
又 ，所以 ，得到 ，故 .
3．（2023年福建省四校联盟联考数学试题）椭圆 中，点 为椭圆的右焦点，点A为
椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若 ，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的坐标，由 可得 间的关系，结合 及离心率公式即可求解.
【详解】设 为椭圆的半焦距，由题意可得 ，
由对称性可设 ,
则 ,
因为 ，所以 ,
所以 ,即 ,解得 或 （舍）.
4．（2023年四川省模拟考试数学（文科）试题）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄
金分割数 ，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双
曲线 是黄金双曲线，则a=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据黄金双曲线的定义，结合双曲线离心率公式列方程求参数a即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题意 ，则 ，
所以 .
5．（2023届四川省三模拟理科数学试题）已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l
的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线 的左焦
点 的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足 ．设M为AB的中点，则直线OM斜率
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得 ，然后利用点差法可得
，进而可得 ，然后利用基本不等式即得.
【详解】由题可知 在左支上 在右支上，如图，设 ， 在左准线上的射影为 ，因为
，
则 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以 ， ，即 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，当且仅当 即 时，等号成立，
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据圆锥曲线的定义结合条件表示出 ，然后利
用点差法得 ，根据基本不等式即得.
6．（2023届云南省高考备考诊断性联考（三）数学试题）在3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作
《数学汇编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是
常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 是地，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨
迹为双曲线.现有方程 表示的曲线是双曲线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意化简方程为 ，结合圆锥曲线的同一定义，得到 ，即可求解.
【详解】由方程 ，可得 ，显然
即 ，
所以 ，
即 ，
可得动点 到定点 和到定直线 的距离比为常数 ，
要使得方程表示的曲线是双曲线，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
7．（2023届江西省模拟理科数学试题）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”
得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 已知椭圆 的右焦
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点为 ，过 作直线 交椭圆于 两点，若弦 中点坐标为 ，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆右焦点坐标可知 ，由弦 中点坐标为 可利用点差法求得 ，
联立即可解得 ，再由椭圆面积公式即可求得结果.
【详解】设 的中点为 ，即 ，如下图所示：
易知 ，即 ；
设 ，
又 中点坐标为 ，所以
则 ；
又 两点在椭圆 上可得 ，
两式相减可得 ，整理得 ，
解得 ，联立 可解得 ；
即
所以椭圆的面积为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
