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专题34 圆锥曲线中的综合问题
一、单选题
1．已知右焦点为 的椭圆 ： 上的三点 ， ， 满足直线 过坐标原点，若
于点 ，且 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆左焦点为 ，连接 ， ， ，
设 ， ，结合椭圆对称性得 ，
由椭圆定义得 ， ，则 .
因为 ， ，则四边形 为平行四边形，
则 ，而 ，故 ，
则 ，即 ，
整理得 ，在 中， ，
即 ，即 ，∴ ，故 .故选：A
2．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点， ，线段 的中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解析】设 ，因为 ，所以 ，
过点 分别作 准线于点 ， ，由抛物线定义可知 ，
由梯形中位线可知 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，故 ， 的最小值为 .故选：B
3．已知抛物线 ，点 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于 、 两点．直线 、
的斜率分别记为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由题意 ， ，抛物线方程为 ，
设 ，直线 方程为 ，
由 得 ， ， ， ， ，， ，
所以
．故选：B．
4．设椭圆 的左焦点为 ， 为坐标原点，过 且斜率为 的直线交椭圆于 ， 两点
（ 在 轴上方）. 关于 轴的对称点为 ，连接 并延长交 轴于点 ，若 ， ， 成等
比数列，则椭圆的离心率 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：如图所示：
设 分别以OF，EF，OE为底，高为h，
则 ，因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，
设直线AB的方程为： ，
联立 ，消去y得 ，由韦达定理得： ，
直线BD的方程为： ，
令 得， ，则 ，
则 ，即为 ，则 ，即 ，
即 ，解得 ，则 ，故选：D
5．已知椭圆 ，斜率为 的直线与椭圆 交于 两点， 在 轴左侧，且 点
在 轴上方，点 关于坐标原点 对称的点为 ，且 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，作 轴交 于点 ，
因为直线的斜率为 ，设直线方程为 且 ，
则 ，联立方程组 ，整理得 ，
则 ，可得 ，
，
由 ，可得 ，所以 ，可得 ，
则椭圆的离心率为 .故选：D.
6．已知椭圆 与双曲线 具有相同的左、右焦点 ，
，点 为它们在第一象限的交点，动点 在曲线 上，若记曲线 ， 的离心率分别为 ， ，满足
，且直线 与 轴的交点的坐标为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知： ，解得 ，又因为 ，可得 ，
由直线 与 轴的交点的坐标为 可得 ，
在 中，由余弦定理可得，
可得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
且 ，所以 ，由椭圆性质可知：当 为椭圆短轴顶点时， 取到最大值，
此时 ，
且 ，则 ，所以 ，即 .故选：A.
.
7．已知过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，点 ，则 一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．有一个角为 的三角形 D．面积为定值的三角形
【解析】设 ， ，过点 的直线方程为 ，
将直线方程与抛物线 联立得： ， ，
， ，
点 ， ， ，，
所以 ，故B正确．
当直线无限接近平行于对称轴时，显然 ，
不一定是等腰三角形，同时 无限接近 ，故AC不正确；
点 到直线 的距离为 ，
，
不为定值．故D错误．
故选：B．
8．如图所示， ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 的右支上存在一点 满
足 ， 与双曲线 左支的交点 满足 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A． B．
C． D．
【解析】在 中，由正弦定理得， ①，
在 中，由正弦定理得， ②，
因为 ，所以 ，
所以①式与②式相比，得
，
因为 ，所以 ，所以 ，
设 ，则 ，由双曲线的定义得 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
所以 ，得 ，所以 ，得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ，故选：B
二、多选题9．已知抛物线 的焦点为F， ， 是C上相异两点，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，且 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 的最小值为
【解析】对于A，因为 ，所以F为 的中点，
根据抛物线的对称性知，直线 与 轴垂直，
所以 ，正确；
对于B，因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 或 ，错误；
对于C，若 ，则 ，正确；
对于D，抛物线 的焦点为 ，准线 方程为 ，
过点 作准线 的垂线，垂足为点 ，
由抛物线的定义得 ，则 ，
当点N、A、M三点共线时， 取得最小值，且最小值为 .正确.
故选：ACD.
10．设 为双曲线 ： 上一动点， ， 为上、下焦点， 为原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则 最小值为7
B．若过点 的直线交 于 两点（ 与 均不重合），则
C．若点 ， 在双曲线 的上支，则 最小值为
D．过 的直线 交 于 、 不同两点，若 ，则 有4条
【解析】由双曲线 ： ，得 ，设 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以 最小值为 ，故A错误；
设 两点坐标分别为 ， ，所以 ，又因为
，所以 ，故B正确；
，故C正确；
由双曲线 ： ，可得通径长为 ，且实轴长 ，
所以这样的直线 有4条，故D正确.
故选：BCD
11．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线 与准线分别交于 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，延长 交准线于
【解析】抛物线的焦点为 ，准线为 ，则 ，
由 ，得 ，对于A，当 时， ，
则 ， ，故A正确；
对于B，当 时，可得 ， ，则 ，
设直线 ，把 代入，可得 ，
令 ，则 ，同理 ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故B错误；
对于C，由B选项知， ，故C正确；
对于D，当 时， ，则 ， ，
，
由选项A知 ， ， ，
，故D正确．故选：ACD．
12．已知椭圆 的左，右两焦点分别是 ，其中 .直线
与椭圆交于 两点，则下列说法中正确的有（ ）
A． 的周长为
B．若 的中点为 ，则
C．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若 时，则 的面积是
【解析】由 可知， ；
显然直线 过点 ，如下图所示：
由椭圆定义可知 的周长为 ，所以A正确；设 ，中点 ；
将直线和椭圆方程联立 ，消去 整理可得 ；
由韦达定理可得 ，所以 ，
代入直线方程解得 ，即 ；
所以 ，可得 ，所以B错误；
根据B选项，由 可得 ，
可得 ，即 点在以 为圆心，半径为 的圆上；
又 点在椭圆上，即可得圆 与椭圆 有交点，
根据对称性可知 ，即 ，所以可得离心率 ，即C正确；
若 时，由选项B可知联立直线和椭圆方程可得 ；
所以可得 ；
所以
易知 的面积
即可得 的面积是 ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题13．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，P是C右支上一点，线段 与C的
左支交于点M．若 ，且 ，则 的离心率为 ．
【解析】因为点 是 右支上一点，线段 与 的左支交于点 ，且 ， ，
所以 为等边三角形，所以
由双曲线定义得 ，
又由 ，解得 ，
则 且 ，
在 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，所以双曲线的离心率为 .
14．已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过直线 上一点 作抛物线 的两
条切线，切点分别为 ．则 的取值范围为 ．
【解析】因为 在抛物线 上，所以 ，解得 ，所以 ．
设 ．由 ，求导得 ，则直线 ，直线 ．
由 解得 所以 ，又 在直线 上，得 ．
所以
．
故答案为：
15．已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为e，直线 分别与C的左、右两
支交于点M，N.若 的面积为 ， ，则 的最小值为
【解析】连接 ，对称性知：四边形 为平行四边形，故 ，
由题意 ， ，由面积公式得： ，解得：
，由双曲线定义知： ，
在 中， ，
解得： ，所以 ，解得： ，
故 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
16．已知点 在抛物线 上， 为抛物线 的焦点，圆 与直线
相交于 两点，与线段 相交于点 ，且 ．若 是线段 上靠近 的四等分点，
则抛物线 的方程为 ．
【解析】由 可知 ，设 ，则 ，
则 ，故 ，即 ①；
又点 在抛物线 上，
故 ②，且 ，即 ③，
②联立得 ，得 或 ，由于 ，故 ，结合 ③，解得 ，故抛物线方程为
四、解答题
17．已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点
的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．
【解析】（1）∵ ，∴ ，
由离心率为 得 ，从而 ，所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）
设 ， ，则 ，可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立 ，化简得 ，
则 ，同理可得， ．
因为 ， ．
所以，
所以 是定值 .
18．在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在直线 上运动，过点 与 垂直的直线和 的
中垂线相交于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)设点 是轨迹 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 的面积的最
小值.
【解析】（1）设点 为轨迹上任意一点 ，由题意知， ，
所以动点 的轨迹 是以 为焦点 ，以 为准线的抛物线 ，
设其方程 为 ，所以 ，即 ，故抛物线方程为 ，
所以动点 的轨迹 的方程为 .
（2）设 ， ， ，且 ，所以直线 的方程为 ．
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 内切于△PRN ，所以直线 与圆 相切，
则圆心 到直线 的距离为 ，即 ，则 ①，
因为 ，所以化简①得， ②，
圆 内切于△PRN ，所以直线 与圆 相切，
同理可得 ③，由②③可知， 为方程 的两根，所以 ，
又 ， ， ，
所以 ，
故 的面积为 ，
等号当且仅当 ，即 等号成立，此时点 的坐标为 )或 .
故当 的坐标为 或 时， 的面积取最小值 .
19．已知椭圆 ： ．
(1)直线 ： 交椭圆 于 ， 两点，求线段 的长；
(2) 为椭圆 的左顶点，记直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，若 ，试问直线 是
否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【解析】（1）
将直线 与椭圆方程联立，即 ，得 ，即 ，故 ；
（2）设直线 ： ， ， ，
由 得，
， ，
又 ， ，故
，
由 ，得 ，
故 或 ，
①当 时，直线 ： ，过定点 ，与已知不符，舍去；
②当 时，直线 ： ，过定点 ，
，符合题意．
20．已知双曲线 的离心率为2，右焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 ，过点 作直线 与双曲线 相交于 两点，若 ，求直线 的方程.
【解析】（1）由题知 ，双曲线 的一条斩近线为 ，则 ，
又 ，所以 ，所以双曲线 的方程为 .（2）由（1）知， ， ，由题易知直线 的斜率存在，
当直线 的斜率为0时，直线 的方程为 ，
此时直线 与双曲线 的交点为 和 ，满足 ，符合题意；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
设 ，线段 的中点为 ，联立 ，
整理得 ，所以 ，
即 ，所以 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又点 在直线 上，所以 ，所以 ，
解得 或 ，满足 ，所以直线 的方程为 或 .
综上，直线 的方程为 ， 或 .21．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，过 的左顶点 作 的垂线，垂足为 ，求证：
.
【解析】（1） 的右焦点为 ， 渐近线方程为 ，
， ， 的方程为： ；
（2）设 方程为 ，联立 得： ，
， ，
设 ，则 ， ， ，
，
，
直线 与直线 垂直，在 中 ，
， ，
即 .22．已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左、右焦点为 、 ，过 作不与 轴重合的
直线 交椭圆 于 、 两点， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
(3)以 为圆心4为半径作圆，过 作直线 交圆 于 、 两点，求四边形 的面积的最小值及
取得最小值时直线 的方程.
【解析】（1）根据椭圆定义知 周长为 ，
依题意有 ，从而 ，
故椭圆 的方程为 ；
（2）设 ： ， ， ，由 ，
因为
所以 ， ，所以
，
设线段 中点坐标为 ，则 ， ，
即设线段 中点坐标为 ，
所以线段 的垂直平分线 方程为： ，
令 ，当 时， 与 轴重合，不合题意；
当 时，得 ，即点 ，所以 ，
所以 ，即存在 满足题设；
（3）直线 ： ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
则弦 的长： ，
所以 ，
设 ，则 ，且 ，所以 ，
易知 在 单调递增，
所以当 ，即 时， ，此时直线 ： .
