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专题34 圆锥曲线中的综合问题
一、单选题
1．已知右焦点为 的椭圆 ： 上的三点 ， ， 满足直线 过坐标原点，若
于点 ，且 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点， ，线段 的中
点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知抛物线 ，点 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于 、 两点．直线 、
的斜率分别记为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设椭圆 的左焦点为 ， 为坐标原点，过 且斜率为 的直线交椭圆于 ， 两点
（ 在 轴上方）. 关于 轴的对称点为 ，连接 并延长交 轴于点 ，若 ， ， 成等
比数列，则椭圆的离心率 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 ，斜率为 的直线与椭圆 交于 两点， 在 轴左侧，且 点在 轴上方，点 关于坐标原点 对称的点为 ，且 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆 与双曲线 具有相同的左、右焦点 ，
，点 为它们在第一象限的交点，动点 在曲线 上，若记曲线 ， 的离心率分别为 ， ，满足
，且直线 与 轴的交点的坐标为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，点 ，则 一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．有一个角为 的三角形 D．面积为定值的三角形
8．如图所示， ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 的右支上存在一点 满
足 ， 与双曲线 左支的交点 满足 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题9．已知抛物线 的焦点为F， ， 是C上相异两点，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，且 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 的最小值为
10．设 为双曲线 ： 上一动点， ， 为上、下焦点， 为原点，则下列结论正确的是
（ ）
A．若点 ，则 最小值为7
B．若过点 的直线交 于 两点（ 与 均不重合），则
C．若点 ， 在双曲线 的上支，则 最小值为
D．过 的直线 交 于 、 不同两点，若 ，则 有4条
11．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有
．直线 与准线分别交于 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，延长 交准线于
12．已知椭圆 的左，右两焦点分别是 ，其中 .直线
与椭圆交于 两点，则下列说法中正确的有（ ）
A． 的周长为
B．若 的中点为 ，则C．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若 时，则 的面积是
三、填空题
13．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，P是C右支上一点，线段 与C的
左支交于点M．若 ，且 ，则 的离心率为 ．
14．已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过直线 上一点 作抛物线 的两
条切线，切点分别为 ．则 的取值范围为 ．
15．已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为e，直线 分别与C的左、右两
支交于点M，N.若 的面积为 ， ，则 的最小值为
16．已知点 在抛物线 上， 为抛物线 的焦点，圆 与直线
相交于 两点，与线段 相交于点 ，且 ．若 是线段 上靠近 的四等分点，
则抛物线 的方程为 ．
四、解答题
17．已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点
的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．18．在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在直线 上运动，过点 与 垂直的直线和 的
中垂线相交于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)设点 是轨迹 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 的面积的最
小值.
19．已知椭圆 ： ．
(1)直线 ： 交椭圆 于 ， 两点，求线段 的长；
(2) 为椭圆 的左顶点，记直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，若 ，试问直线 是
否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
20．已知双曲线 的离心率为2，右焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 ，过点 作直线 与双曲线 相交于 两点，若 ，求直线 的方程.21．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，过 的左顶点 作 的垂线，垂足为 ，求证：
.
22．已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左、右焦点为 、 ，过 作不与 轴重合的
直线 交椭圆 于 、 两点， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
(3)以 为圆心4为半径作圆，过 作直线 交圆 于 、 两点，求四边形 的面积的最小值及
取得最小值时直线 的方程.
