文档内容
专题 07 解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：求三角形面积（定值问题）.................................2
题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）.............4
题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）...........6
三、专项训练........................................................8
一、必备秘籍
基本公式1、正弦定理及其变形
基本公式2、余弦定理及其推论
基本公式3、常用的三角形面积公式
1
（1）S = ×底×高；
ΔABC 21 1 1
（2）S = absinC= bcsinA= casinB（两边夹一角）；
ΔABC 2 2 2
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理 ， ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范
围，求面积的取值范围.
二、典型题型
题型一：求三角形面积（定值问题）
1．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角B；
(2)若 ，求 的面积．
2．（2023·湖南永州·统考一模）在 中，设 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求角 ；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积．
3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知 ．在 中， ．(1)求角 的大小；
(2) 是边 上的一点，且 ， 平分 ，且 ，求 的面积．
4．（2023·福建·校联考模拟预测）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
，且 .
(1)求 ；
(2)求 的面积.
5．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形 中， 与 互补，
．
(1)求 ；
(2)求四边形 的面积．
6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设 的内角 所对边分别为 ，若 ．
(1)求 的值;
(2)若 且三个内角中最大角是最小角的两倍，当 周长取最小值时，求 的面积．
题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 的中线 长为 ，求 面积的最大值.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，边BC上有一动点D.
(1)求角A的大小；
(2)当D为边BC中点时， ，求 面积的最大值.
3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ，，若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 的最大值.
4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，从①
，② ，③ ，这三个条件中任选一个作为题目
的补充条件，你的选择是___________，并解答下面问题：
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值.
5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知 的内角 的对边分别是 ，
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
6．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且 ，求 面积的最小值．
题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）
1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知向量 ， ，函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)已知 为锐角三角形， ， ， 为 的内角 ， ， 的对边， ，且 ，求
面积的取值范围.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ．
(1)若 边上的高等于1，求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的面积的取值范围．3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图， 是边长为2的正三角形 所在平面上一点
（点 、 、 、 逆时针排列），且满足 ，记 .
(1)若 ，求 的长；
(2)用 表示 的面积 ，并求 的取值范围.
4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的对
边长， ，且 ．
(1)求角 的值；
(2)求 面积的取值范围．
5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角 中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求S的取值范围．三、专项训练
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已
知 ，则 的面积为（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为
，其中 ，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知 中，角A，
B，C的对边分别为a，b，c， ，a＝6，则 面积的最大值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
3．（2023·四川宜宾·统考三模）在 中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若 ， ，则
面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023·西藏拉萨·统考一模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．12 D．16
5．（2023·甘肃·统考一模）在如图所示的平面四边形ABCD中， ， ，记
△ABD，△BCD的面积分别为 ，则 的最大值为 .
6．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）在 中，已知 ， ，
，当 取得最小值时， 的面积为
7．（2023·四川·校联考一模）在 中， ， ，当 取最大值时， 的面积
为 .
8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在 ABC中，若 ， 且
△，则 的面积是 ．
9．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在 中， ，点D在线段AC上，且 ，
，则 面积的最大值为 ．
10．（2023·福建泉州·统考模拟预测） 的内角 所对的边分别为 ，且满足
.
(1)求 ；
(2)若 平分 ，且 ， ，求 的面积.
11．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间；
(2)在 中，内角 所对的边分别是 ，且 ，若 ，求 的面积.
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，满足
，且 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的面积．13．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数
(1)求 的单调增区间;
(2)设 是锐角三角形，角 的对边分别为 ，若 ，求 的面积.
14．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形 中， 的三内角 对应的三边为
．
给出以下三个条件：
①
②
③ 的面积为
(1)从以上三个条件中任选一个，求角 ；
(2)设 ，在（1）的条件下，求四边形 的面积的最大值．15．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设函数 ， ， ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)已知凸四边形 中， ， ， ，求凸四边形 面积的最大值．
16．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）凸四边形 中， ， ， ，
．
(1)当 ，且 时，证明： ；
(2)求四边形 的面积的最大值．
17．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求三角形ABC面积的最大值．18．（2023·河南·模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为 ， ，
， .
(1)求 ；
(2)若 在线段 上且和 都不重合， ，求 面积的取值范围.
19．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC上一点，且 ，求 面积的最大值．
