文档内容
专题 07 解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：求三角形面积（定值问题）.................................2
题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）.............6
题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）..........11
三、专项训练.......................................................15
一、必备秘籍
基本公式1、正弦定理及其变形
基本公式2、余弦定理及其推论
基本公式3、常用的三角形面积公式
1
（1）S = ×底×高；
ΔABC 21 1 1
（2）S = absinC= bcsinA= casinB（两边夹一角）；
ΔABC 2 2 2
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理 ， ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范
围，求面积的取值范围.
二、典型题型
题型一：求三角形面积（定值问题）
1．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角B；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以可得 ，即 ；
因为 ，所以
即 ．
（2）由 结合（1）中的结论 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
解得 ，即 ，
所以 ．即 的面积为 .
2．（2023·湖南永州·统考一模）在 中，设 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求角 ；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由 得 ，
即 ,
故 ，由于 ，
故 ，而 ，故 .
（2）由 可得 ，而 ，
故 ，则 ，
由 的内切圆半径 ，可得 ，
即 ，即 ，
故 ，解得 ，
故 的面积 .
3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知 ．在 中， ．
(1)求角 的大小；
(2) 是边 上的一点，且 ， 平分 ，且 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) .【详解】（1）依题意， ，
由 ，得 ，而 ，即 ，因此 ，
所以 .
（2）在 中，由 及正弦定理，得 ，
由（1）及 平分 ，得 ，
又 ，由 ，得 ，
即 ，解得 ， ，
所以 的面积 .
4．（2023·福建·校联考模拟预测）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
，且 .
(1)求 ；
(2)求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 及 ，得 ，
由正弦定理得
所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）由 结合正弦定理得 ，即
所以 或 .
又因为 ，所以 .
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 的面积为 .
5．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形 中， 与 互补，
．
(1)求 ；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）连接 ，如图，
与 互补， 与 互补，
在 中， ，
即 ，
得 ，
在 中， ，
即 ，
得 ，又 与 互补，
，
故 ；
（2）由（1）得 ，
，
由（1）得 ，
，
．
6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设 的内角 所对边分别为 ，
若 ．
(1)求 的值;
(2)若 且三个内角中最大角是最小角的两倍，当 周长取最小值时，求 的面积．
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，由正弦定理 ，得 ，即 ．
（2）由 可得： ，故 ，于是 ，
由正弦定理 及余弦定理 可得：
，
解得： (舍)或者 ，故 ，
因为 ，所以当 时，周长最小，此时 ，所以 ，所以 的面积为 ．
题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 的中线 长为 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由正弦定理得： ，
而 ，
所以 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ， ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 .
（2）由 是 的中线， ，
所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以三角形面积 ，
即 的面积的最大值为 .
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，边BC上有一动点D.(1)求角A的大小；
(2)当D为边BC中点时， ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 .
由正弦定理，得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，则 .
（2）因为D为边BC中点，所以 ，则 .
又 ， ，所以 ，即 ，仅当 时取等号，
所以 ，故 面积的最大值为 .
3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ，
，若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ， ，
所以 可化为 ，
所以 ，又因为
解得 ，又因为 ，所以 .
（2）由余弦定理得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以三角形的面积 ，当且仅当 时等号成立，
所以三角形面积的最大值为 .
4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，从①
，② ，③ ，这三个条件中任选一个作为题目
的补充条件，你的选择是___________，并解答下面问题：
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选择①
，且由正弦定理得： ，
，即： 由余弦定理得： ，
在 中， ，即： .
选择②
，且由正弦定理得： ，
，整理得： ，
在 中， ，即： ，
又 ，即： .选择③
，且在 中： ，即：
，
又 ，则 .
（2）由（1）得： ，且 ，且 ，
，即： 当且仅当 时，等号成立.
又 面积为： 面积的最大值为： .
5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知 的内角 的对边分别是 ，
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，
知 ，
则 ．
（2）由（1）知 ，
由基本不等式可得 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
故 的面积 ，当且仅当 时等号成立，
即 时， 面积的最大值取最大值，最大值为 .
6．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且 ，求 面积的最小值．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）在 中，由 及二倍角公式，得 ，
即 ，整理得 ，
因此 ，即 ，而 ，
所以 .
（2）由（1）及已知，得 ，即有 ，
由余弦定理得 ，即 ，
因此 ，即 ，
于是 ，当且仅当 时取等号，而 ，
所以 面积的最小值为 .
题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）
1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知向量 ， ，函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)已知 为锐角三角形， ， ， 为 的内角 ， ， 的对边， ，且 ，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ， ，则 ；
；
（2）
，
又 ，所以 ， ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，则
故 ，
即 面积的取值范围为 .
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ．
(1)若 边上的高等于1，求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）由正弦定理， ，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
又由余弦定理， ，
解得 ，所以 ．
（2）由正弦定理有 ，且由（1）可知 ，
所以 ，
又因为锐角 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 面积的取值范围是 ．
3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图， 是边长为2的正三角形 所在平面上一点
（点 、 、 、 逆时针排列），且满足 ，记 .
(1)若 ，求 的长；(2)用 表示 的面积 ，并求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，且 是边长为2的正三角形，
则 ，且 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，
所以 ；
（2）由 ，则 ，则 ，
在 中，由正弦定理有 ，得 ，
所以
，
又 ，且 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 ，
故 的取值范围为 .
4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的对
边长， ，且 ．
(1)求角 的值；
(2)求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由条件，可得 ，
由正弦定理，得 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ．
（2）由正弦定理，可知 ，
，
∵ ，∴ ，∴ .
5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角 中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求S的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）在锐角 中， ，由余弦定理 ，
得 ，即 ，又 ， ，
因此 ，有 ，而 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，
由正弦定理得： ，即 ，
则，
又 是锐角三角形，则有 ，即 ，亦即 ，
于是 ， ，
所以S的取值范围是 .
三、专项训练
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已
知 ，则 的面积为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【详解】在 中，因为 ，可得 ，
由正弦定理 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
所以 ，
则 .
故选：A.
2．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为
，其中 ，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，a＝6，则 面积的最大值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【详解】在 中，因为 ，所以 ，又a＝6，所以 ，
可得 ，且 ，
故 的面积 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 面积的最大值为12.
故选：B
3．（2023·四川宜宾·统考三模）在 中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若 ， ，则
面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】由余弦定理可得 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ，即 ，解得 .
所以
，
当 时， .
故选：C.
4．（2023·西藏拉萨·统考一模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】B
【详解】由正弦定理及 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
由正弦定理得 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以由余弦定理得
，
解得 ，
所以 的面积为 .
故选：B.
5．（2023·甘肃·统考一模）在如图所示的平面四边形ABCD中， ， ，记
△ABD，△BCD的面积分别为 ，则 的最大值为 .
【答案】
【详解】在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
，整理可得： ，
， ，，
则当 时， .
故答案为： .
6．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）在 中，已知 ， ，
，当 取得最小值时， 的面积为
【答案】
【详解】
令 ，则 ，由 ，得 ，
在 中， ，在 中， ，
于是 ，令 ，则 ，
而 ，则有 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，即 ，
，
则 ，
当 时， 取得最小值，在 中， ，
所以 .故答案为：
7．（2023·四川·校联考一模）在 中， ， ，当 取最大值时， 的面积
为 .
【答案】
【详解】在 中，利用正弦定理 ，
所以 ， ，
有 ，
即 ，其中 ， ，
取最大值，即 时，有 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在 ABC中，若 ， 且
△
，则 的面积是 ．
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，解得
又 ，所以 ，
所以 ．故答案为：
9．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在 中， ，点D在线段AC上，且 ，
，则 面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】设 ，则 ，
在 中，由余弦定理，得
，
在 中，由余弦定理，得
，
由于 ，得 ，
即 ，整理，得 ，
在 中，由余弦定理，得
，即 ，代入 式化简整理，
得 ，
由 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 面积的最大值为 .
故答案为： .
10．（2023·福建泉州·统考模拟预测） 的内角 所对的边分别为 ，且满足
.
(1)求 ；
(2)若 平分 ，且 ， ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解法一：因为 ，
所以由正弦定理可得 ，即 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 .
解法二：在 中，由余弦定理得 ， ，
又因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）解法一：因为 ，
所以 ，
两边平方得 ，即 ①，
又因为 平分 ，所以 ，即 ②，
由①②，解得 ， ，
所以 .
解法二：在 中， ，所以 ，
又因为 平分 ，所以 ，即 ①，
在 中，由余弦定理，得 ，即 ②，在 中，由余弦定理，得 ，即 ③，
由①②③解得 ， ，
所以 .
解法三：过 点作 交 于点 ，
因为 ，且 平分 ，所以 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
所以 .
11．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间；
(2)在 中，内角 所对的边分别是 ，且 ，若 ，求 的面积.
【答案】(1)最小正周期为 ，单调递增区间为 .
(2)
【详解】（1） ，
所以函数 的最小正周期为 .
令 ，得 ，
故函数 的单调递增区间为 .
（2）由 ，得 ，由 得 ，所以 ，得 .
由余弦定理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
从而有 ，得 ，
则
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，满足
，且 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为 ，
由正弦定理得 ，
可得 ，
又因为 ，所以 ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）解：因为 ，
在 中，可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，联立方程组，解得 ，
由正弦定理 ，可得 ，
所以 .
13．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数(1)求 的单调增区间;
(2)设 是锐角三角形，角 的对边分别为 ，若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，
令 ， ，
解得 ， ，
取 ，则
故函数在 的单调递增区间为
（2）由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，可得 ，故 ，
因为 ， ，
由余弦定理得 ，
解得 或 ，
由于 ，故 舍去，只取 ，
当 时，
14．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形 中， 的三内角 对应的三边为
．给出以下三个条件：
①
②
③ 的面积为
(1)从以上三个条件中任选一个，求角 ；
(2)设 ，在（1）的条件下，求四边形 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选①： ，
则 ，
整理得： ，
由正弦定理得 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
若选②：因为 ，则 ，
可得 ，
由正弦定理得： ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ， ，即 ．
若选③： 的面积为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．（2）因为 ，由（1）可知 ，所以 为正三角形，
设 ，则 ，
可得 ，
在 中，由余弦定理 ，
可得 ，
所以四边形 的面积
，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时，四边形 的面积取到最大值 .
15．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设函数 ， ， ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)已知凸四边形 中， ， ， ，求凸四边形 面积的最大值．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）由题意知 ，得 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
∴
，
令 ，解得 ，所以 的单调递增区间为 ， ．
（2）
由 ，可得 ，而 ，
故 ，故 ，故 ，
设 ， ，而四边形 的面积 ，
则
，
其中 ， ，且 ，而
故 ，故当 时， .
16．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）凸四边形 中， ， ， ，
．
(1)当 ，且 时，证明： ；
(2)求四边形 的面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【详解】（1）在 中，由余弦定理得：
.因为 ， ，所以 ，
则在 中，由正弦定理得： ，
所以 . 又因为 ，所以∠CBD必为锐角，所以
，所以∠ADB=∠CBD，所以 .
（2）由（1）知 ，所以 .
在 中，由余弦定理得： ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以当且仅当 时，四边形 的面积取最大值 .
17．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求三角形ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，所以 ；
（2） ，故 ，
则 ，则 ，
当 时， ，
所以三角形ABC面积的最大值为 ．
18．（2023·河南·模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为 ， ，
， .
(1)求 ；
(2)若 在线段 上且和 都不重合， ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 得 ，由正弦定理得
，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
（2）由 ，得 ，由余弦定理知 ，又因为
，所以 ，
所以 ，所以 ，如图，设 ,
则 , , ，
在 中，由正弦定理可知 ，在 中，由正弦定理可知 ，
故
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 .
19．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC上一点，且 ，求 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理得 ，
因为 ，则有 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 .
（2）依题意， ，
在 与 中，分别由余弦定理得 ，，又 ，
于是 ，则有 ，
整理得 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 ．
