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第 27 讲 正弦定理、余弦定理
【基础知识网络图】
【基础知识全通关】
一、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：
【微点拨】（1）正弦定理适合于任何三角形，且 （ 为
的外接圆半径）；
（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求
其它．
（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合
“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
二、余弦定理
在△ABC中，
a2 =b2 +c2 −2bccosA
，
b2 =a2 +c2 −2accosB
，
c2 =a2 +b2 −2abcosC
变形为：
b2 +c2 −a2 a2 +c2 −b2 a2 +b2 −c2
cosA= cosB= cosC=
2bc 2ac 2ab
， ，【微点拨】（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对
角，求其它③已知两边和夹角，求其它；
（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之
亦然；只是方便程度有别；
（3）正、余弦定理可以结合使用.
三、三角形的面积公式
(1) ，其中 为 边上的高
1 1 1
S= absinC= bcsinA= acsinB
2 2 2
(2)
（3） ，其中
四、三角形形状的判定方法
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，
解斜三角形的主要依据是：
（1）角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=
A+B C A+B C
sin =cos ,cos =sin
2 2 2 2
－tanC； ；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a >
b；
（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理
常用两种途径：
（1）由正余弦定理将边转化为角；
（2）由正余弦定理将角转化为边.
【微点拨】①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三
角公式等综合结合起来.②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分
必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且
a，b，c成等比数列.
五、解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；
（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；
（3）角度问题；
（4）面积问题.
【考点研习一点通】
考点01运用正余弦定理解三角形
例1、在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ，
， ．
（1）求 ， 的值：
（2）求 的值．
【变式1-1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，若
， ，则 ______．
【变式1-2】在 中，若 ，则 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点02利用正余弦定理判定三角形形状
例2、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
【变式】(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则
△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
考点03 运用正余弦定理解决三角形的面积
例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．
(1) 求角A的大小；
(2) 若AB·AC＝，求△ABC的面积．
【变式】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝，cos2A－
cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B．
(1) 求角C的大小；
(2) 若sin A＝，求△ABC的面积．考点04 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题
例4、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量
A，B两地距离． 现测量人员在相距 km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面
上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电
线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的倍，问施工
单位至少应该准备多长的电线？
【变式4-1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1) nmile的B处有一艘走私
船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2 nmile的C处的缉私船奉命以10 nmile/h的速度
追截走私船．此时，走私船正以10 nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私
船沿什么方向能最快追上走私船？
考点05 正余弦定理在三角形中的运用
例 5 、 如 图 ， 在 中 ， 已 知 点 在 边 上 ， ， ，
， ．
（1）求 的值；
B
（2）求 的长．
D
A C【变式 5-1】如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，AD＝1，BD＝2，∠CAD＝，
tan∠ADC＝－2.
(1) 求CD的长；
(2) 求△BCD的面积．
【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，AB·AC
＝50.
(1) 求cos∠BAC的值；
(2) 求sin∠CAD的值；
(3) 求△BAD的面积．【考点易错】
π
3
1. 如图，在△ABC中，∠B＝ ，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝
1
7
．
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B．
(1)求cos B的值；(2)若b2＝ac，求sin A sin C的值．
3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求sinC的值；
（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，求b及c的长．
→ →
BA·BC
4. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知 ＝2，cosB
1
3
＝ ，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值．
5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（I）求C；（II）若 的面积为 ，求 的周长．
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 .
(1)求证:
a= 2
(2)若 ,求△ABC的面积.
7.设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ．
（1）求 的大小；（2）求 的取值范围．【巩固提升】
1、在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．
C． D．
2. 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，
则A． B．
C． D．
3.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，
某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为 ，沿点A向北偏东
前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为 ，则“泉标”的高度为
（ ）
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
4. 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积
为_________．
5、某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40 m，BC＝CD＝20 m，则
该四边形ABCD的面积等于__________m2．
6、 如图，一栋建筑物的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它
们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在
楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________ m．
7、 的内角A，B，C的对边分别为 ，已知 .
（I）求B；
（II）若 的周长为 的面积.8、如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀
速航行，B在A北偏西105°方向且与A相距10海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，
乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．
(1) 求乙船每小时航行多少海里？
(2) 在C处北偏西30°方向且与C相距海里处有一个暗礁E，暗礁E周围海里范围内为航行
危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如有危险，从有危险开始多少
小时后能脱离危险；如无危险，请说明理由．
9、在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ，
，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
