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第 27 讲 椭圆
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.椭圆的定义
如果F ，F 是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F F |，则平面内满
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足 | PF | ＋ | PF | ＝ 2 a 的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点 F ，F 称为椭圆的
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焦点，两个焦点之间的距离|F F |称为椭圆的焦距.
1 2
其数学表达式：集合M＝{P||PF |＋|PF |＝2a}，|F F |＝2c，其中a＞0，c＞0，
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且a，c为常数：
(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；
(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A (－a，0)，A (a，0)， A (0，－a)，A (0，a)，B (－
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顶点
B (0，－b)，B (0，b) b，0)，B (b，0)
性 1 2 2
轴 长轴A A 的长为 2 a ；短轴B B 的长为 2 b
质 1 2 1 2
焦距 |F F |＝ 2 c
1 2
离心率 e＝∈ (0 ， 1)
a，b，c的关
c2＝ a 2 － b 2
系
二、考点和典型例题
1、椭圆的定义及应用
【典例1-1】已知 ， 是两个定点，且 （ 是正常数），动点 满足，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【典例1-2】已知椭圆 的两个焦点为 ， ，过 的直线交椭圆于 ， 两
点，若 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-3】已知椭圆 的两个焦点分别为 是椭圆上一点，
，且离心率为 ，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-4】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【典例1-5】已知点 在椭圆 上， 与 分别为左、右焦点，若 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2、椭圆的简单几何性质
【典例2-1】椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，满足
，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率之积为1，则双曲线
的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，【典例2-3】已知点A、B为椭圆 的长轴顶点，P为椭圆上一点，若
直线PA，PB的斜率之积的范围为 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-4】已知双曲线 的左、右顶点为 ， ，焦点在y轴上的椭圆以 ，
为顶点，且离心率为 ，过 作斜率为 的直线 交双曲线于另一点 ，交椭圆于另一
点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-5】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，第一象限内的点 在椭
圆上，且满足 ，点 在线段 、 上，设 ，将 沿 翻折，
使得平面 与平面 垂直，要使翻折后 的长度最小，则 （ ）
A． B． C． D．
3、椭圆的综合应用
【典例3-1】（多选）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，椭圆的上顶点和
右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（
）
A．|PQ|的最大值为
B． 为定值
C．椭圆上不存在点M，使得
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为
【典例3-2】（多选）过椭圆 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点， ， 是
椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）A． 周长的最小值为18
B．四边形 可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是 ，则直线PB斜率的取值范围是
D． 的最小值为-1
【典例3-3】（多选）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，A，B两点都在
C上，且A，B关于坐标原点对称，则（ ）
A． 的最大值为 B． 为定值
C．C的焦距是短轴长的2倍 D．存在点A，使得
【典例3-4】已知椭圆 的两焦点分别为 和 ，短轴的
一个端点为 ．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)椭圆C上是否存在一点P，使得 ? 若存在，求 的面积；若不存在，请
说明理由．
【典例3-5】已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为 的直线 与椭圆相交于两点 ， 轴交于点 ，线段
的中点为 ，直线 过点 且垂直于 （其中 为原点），证明直线 过定点.
