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专题验收评价
专题 3.3 解三角形
内容概览
A·常考题不丢分
题型一 正弦余弦定理基本应用
题型二 解三角形三线问题
题型三 解三角形中周长面积问题
题型四 解三角形中范围问题
C·挑战真题争满分
题型一 正弦余弦定理基本应用
一、单选题
1．（2023·江西赣州·统考一模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等
差数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得 、 ，利用余弦定理化简计算即可求解.
【详解】由 ，得 ，
由 成等差数列，得 ，由余弦定理，得 ，
即 ，
整理，得 ，由 得 ，
由 得 .
故选：C.
2．（2023下·安徽滁州·高三校考开学考试）在三角形 中，记 为 的面积，已知 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据三角形的面积公式结合 求出角 ，再根据二倍角的正弦公式及同角三角函
数的关系即可得解.
【详解】 ， ，
因为 ，即 ，
又 ，则 ，
所以 .
故选：A．
3．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在 中，角 的对边分别为 ，且
，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【详解】解：因为 ，
所以，由正弦定理与余弦定理得 ，化简得 .
故选：A
4．（2021下·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，若 的面积为 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得 ，进而求得 .
【详解】依题意， ，
由余弦定理得 ，
①，
由三角形的面积公式得 ，代入①得
， ，
，
由于 ，
所以 .
故选：C
题型二 解三角形中三线问题
一、单选题
1．（2023上·江苏苏州·高三常熟中学联考） 的内角 的对边分别是 ，且 ，边 上的角平分线 的长度为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D． 或3
【答案】A
【分析】根据题意，在 和 中，利用正弦定理求得 ，在由余弦定理求得 ，再由
，结合面积公式，求得 ，即可求解.
【详解】由 ，因为 ，可得 ，
又由边 上的角平分线 ，所以 ，
在 中，可得 ，
在 中，可得 ,
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，
又由 ，即 ，
因为 ，可得 ，即 ，可得 ，
所以 .
故选：A.2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形 中， ，角 的平分线交 于点 ，
若 ，则三角形 面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先根据正弦定理可得 ，再建立平面直角坐标系求解 的轨迹方程，进而可得 面积的
最大值.
【详解】在 中 ，在 中 ，
故 ， ，
因为 ，故 ，
又角 的平分线交 于点 ，则 ，故 .
故 .
以 为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为 ， ，
故 ， ，设 ，则 ，
即 ，故 ，
化简可得 ，即 ，故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（除
去 ）.故当 纵坐标最大，即 时 面积取最大值为 .
故选：C
二、填空题
3．（2023下·河南周口·高三期末）在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为
的重心， ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】记BC的中点为D，利用重心的性质先得到 ，再由向量的知识可得 ，
，再利用锐角 可得 ，最后利用函数的单调性可得 的取值范围．
【详解】记BC的中点为D，由 ，G为 的重心，可得 ．
又由 ，有 ，
即 ，
化简可得 ．又由 为锐角三角形，故 ，
即 ，化简可得 ．
又由 ．
令 ，由函数 单调递增，
可得 ，可得 ．
故答案为： .
三、解答题
4．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）记 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求A的值；
(2)若 的平分线与 交于点 ，求 面积的最小值.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
则 ，，
即 ，
可得 ，
因为 ，则 ，则 ，
整理得 ，
又因为 ，则 ，
可得 ，所以 .
（2）因为 平分 且 ，所以 ，
由 ，可得 ，
整理得 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
故 面积的最小值为 ．
5．（2023上·湖北·高三鄂南高中联考期中）在 中，角A，B，C的对边分别为 ，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若 是线段 的中点，且 ，求 的面积.
【答案】(1) (2)4
【详解】（1） ，由正弦定理可得 ，
整理 ，即 ，
又 ，则 ，
，又 .
（2）法一：如图，取 中点 ，连接 ，
是线段 的中点， ,
在 中， ,
由余弦定理可得 ,
.
法二：因为 是线段 的中点， ，
，即 ，
， .
题型三 解三角形中周长面积问题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理可得 ．
又 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ， ．
（2） 的面积 ，则 ．
由余弦定理： ，得 ，
所以 ，故 的周长为 ．
2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 ．
(1)求A；
(2)已知 ， ，边BC上有一点D满足 ，求AD．
【答案】(1) (2)
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）∵ ，即
由正弦定理，有
又 ，即有 ， ，
， ，所以 ， ，故 ．（2）设 ， ，由（1）知 ，
在△ABC中，由余弦定理 ，可知
，∴
又 ，可知 ，
在△ABD中， ，
即 ，
在△ACD中， ，
即 ，
联立解得 .
3．（2023上·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考）如图，在四边形 中， 与
互补， ．
(1)求 ；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，在 中，利用余弦定理分别求出, , ,利用两值相反，建立等式，解出即可；
（2）分别求出 的面积，相加即可.
【详解】（1）连接 ，如图，
与 互补， 与 互补，
在 中， ，
即 ，
得 ，
在 中， ，
即 ，
得 ，
又 与 互补，
，
故 ；
（2）由（1）得 ，
，
由（1）得 ，
，．
题型四 解三角形中范围问题
1 ．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知 中，角 对应的边分别为 ， 是
上的三等分点（靠近点 ）且 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得 ，再设 ，利用正弦定理与正弦函
数的和差角公式得到 ，从而得解.
【详解】因为 ，
由正弦定理得 ，则 ，即 ，
所以 ， ，则 ，
设 ，则 ，且 ，
又 ，即 ，
又由正弦定理知 （ 为 的外接圆半径），所以 ，
则 ，即 ，
又 ，故当 ， 时， .
故选：A
2．（2023上·福建·高三校联考期中）已知 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
.
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解法一：因为 ，由正弦定理得 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，由余弦定理得 ，即 ，
联立方程组 ，可得 ，即 ，所以 ，
由余弦定理定理得 ，
因为 ，所以 .
解法二：因为 ，由正弦定理得 ，
整理得 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，即 ，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，可得 ，且 ，
所以 ，
由三角形三边关系，可得 ，可得 ，
令 ，可得 ，其中 ，
所以函数 ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
3．（2023上·湖北·高三湖北省天门中学校联考期中）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 .
(1)求A；
(2)求 的最大值.
【答案】(1) (2) .
【详解】（1）方法1：由 及正弦定理可得：
，
所以 ，
故 ，因为 ，即 ，故 ，
所以 ，又 ，所以 .
方法2：由 及余弦定理可得：
，
所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）由正弦定理可知 ，
即 ，其中
，
,
故当 时， 的最大值为 .
一、单选题
1．（2021·全国甲卷）在 中，已知 ， ， ，则 （ ）A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设 ，
结合余弦定理： 可得： ，
即： ，解得： （ 舍去），
故 .
故选：D.
二、填空题
2．（2021·全国·乙卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得 ，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .
三、解答题
3．（2023·全国新高考Ⅱ卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ， 为
中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积
公式求出 ，作出 边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答；方法2，利用向量
运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
4．（2023·全国甲卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得： ．（2）由正弦定理可得
，
变形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
5．（2022·全国新高考Ⅱ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的
三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系求
得 ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
6．（2021·全国·统考Ⅰ卷）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边
上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得 的值.
【详解】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．
由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
7．（2021·全国高考Ⅱ）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余弦
定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
