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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题28 三角函数与解三角形大题综合 （新高考通用）
1．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在平面四边形 中，
.
(1)求 的长；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；
（2）弦有三角形为锐角三角形求出角 的范围，在 中，利用正弦定理将 用
角 表示出来，再结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）在 中， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，解得 或 ；
（2）因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
在 中，因为 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 .
2．（2021春·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）在△ABC中，a、b、c分
别为角A、B、C的对边， ．
(1)求角B的大小．
(2)若△ABC为锐角三角形， ．求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.
（2）利用正弦定理转化 ，结合三角函数值域的求法求得正确答案.
【详解】（1）依题意， ，
由正弦定理得 ，
所以 为锐角，所以 .
（2）由正弦定理得 ，
所以
，
由于三角形 是锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
3．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知 的角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 ，
(1)求角 ；
(2)若 平分 交线段 于点 ，且 ， ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用余弦定理得 ，再利用正弦定理边化角得
，再利用余弦定理即可；
（2）利用 ，结合面积公式即可得到 ，作 于 ，利
用面积比得到 ，则解出 的值，再利用余弦定理求出 ，则得到周长.
【详解】（1）由余弦定理得 ，
所以 ，
可化为 ，
再由正弦定理得 ，得 ，所以 ，因为 ，所以
（2）因为 平分 ，所以 ，
由 ，
得 ，
作 于 ，
则 ，
由 ，解得 ，
由余弦定理，得 ，所以 ，
故 的周长为 .
4．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）在① ，②
，③向量 ， ， 这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且__________．
(1)求角 的大小；
(2) 是线段 上的点，且 ， ，求 的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）选条件①，利用三角恒等变换化简可得 的值，结合角 的取值范
围可得角 的值；
选条件②，利用正弦定理和余弦定理可求得 的值，结合角 的取值范围可得角
的值；
选条件③，分析可得 ，利用平面向量数量积的坐标运算、正弦定理以及三角恒
等变换可求得 的值，结合角 的取值范围可得角 的值；
（2）设 ，可得出 ， ， ，
，在 中，由正弦定理可求得 的值，利用二倍角的正弦公式
结合弦化切可求得 的值，再利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】（1）解：选条件①，因为 ，
故 ，
所以， ，
即 ，
、 ，所以， ，则 ，故 ，
因此， .
选②，因为 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，
，则 ；
选③，因为 ， ， ，
所以， ，由正弦定理可得 ，
即 ，
、 ，则 ，所以， ，因此， .
（2）解：设 ，因为 ，则 ，
因为 ，所以， ， ， ，
在 中，由正弦定理可知 ，即 ，
即 ，化简可得 ，即
，
所以， ，
所以， .
5．（2023秋·江苏·高三统考期末）在 中， ， ， 为 内
的一点，满足 ， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出 ，再在 中求出 ，利用正弦定理求出 ，最后
由面积公式计算可得；
（2）在 中利用余弦定理求出 ，令 ，则 ，表示出， ，再由正弦定理求出 ，即可得解.
【详解】（1）解：在 中，因为 ，且 ，所以 .
由 ，可得 .
又 ，则 .
在 中，因为 ， ，所以 ，
则 ，解得 ，
从而 .
（2）解：在 中，由 ，
解得 或 （舍去）.令 ，则在 中 .
在 中， ，所以 ，
则 ，即 ，得 .
因为 ，所以 ，
从而 .
6．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知锐角 的内角 的对边分
别为 边上的高 为1，且 .
(1)求证： ；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理将 化简，利用同角三角函数基本
关系可证明等式成立；
（2）由题意可知， ，利用余弦定理和基本不等式求出 的最小值，进而
可求 的最小值.
【详解】（1）证明：
，
.
（2）由题意知 ，
由 ，可知 ，且 ，
，仅当 时等号成立，此时 ，
.
7．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）在①
② ③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题，已知
△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c满足___________.
(1)求角B的大小；
(2)若 ,求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据正余弦定理以及二倍角公式即可边角互化求解，
（2）由（1）知 ，结合余弦定理以及不等式即可得 ，由面积公式即可求
解.
【详解】（1）若选①，则由 得
，由正弦定理得 ,
由于 ，故 ，
若选②，由 得
,
进而得 , 由于 ，故 ，
若选③，由 得 ,由正弦定理得
, 进而得
, 由于 ，故 ，
（2）由 以及正弦定理得 ，
由余弦定理得 ,进而 ，由均值不等式可得
，进而 ，当且仅当 时取等号，故 的最大值为
144， ,
故面积的最大值为
8．（2022秋·江苏常州·高三校考阶段练习）请从①若 ， 的最
小值为 ；② 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ；③若 ，的最小值为 ，这三个条件中任选一个，补充在上下面问题的条件中并作答．
已知函数 ， ，________．
(1)求 在区间 上的值域；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数图像与性质可知，题中①②③三个条件都说明 ，再
化简 ，求出 的值，最后由 ，得 ，即可求出 的
值域.
（2）化简函数可得 ，将 看作整体，配凑出
利用三角函数的恒等变化即可求出答案.
【详解】（1）
.
从条件①②③任选一个作为条件，均可以得到 的半周期为 ，故 ，解得 .所以 .
由 ，得 ，所以 ，
即 的值域为 .
（2）由已知，得 ，
因为 ，则 ，所以 ，
所以 .
9．（2023春·广东·高三统考开学考试）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2) 为 边上一点，且 ， ， ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用正弦定理余弦定理化简已知等式即得解；
（2）先利用余弦定理求出 ，再求出 ,即得解.
【详解】（1）解：因为 ，
所以由正弦定理得 ，
，
又 ，
．（2）解：在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以由余弦定理可得 ,
所以 ，
所以 ．
10．（2023·广东梅州·统考一模）在 中，内角 的对边分别为 ， ， ，
已知 .
(1)求内角 ；
(2)点 是边 上的中点，已知 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，根据辅助角公式即可求得内角 ；（2）
根据向量加法的平行四边形法则可得 ，再利用数量积公式和基本不
等式即可求得 面积的最大值.
【详解】（1）在 中，因为 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，于是有 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 .
（2）因为点 是边 上的中点，所以 ，
对上式两边平分得： ，
因为 ，所以 ，即 ，
而 ，有 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
因此 .
即 面积的最大值为 .
11．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为
， ， ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)设 是 边上的高，且 ，求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得 的大小.
（2）利用余弦定理、基本不等式求得 的最小值，进而求得 面积的最小值.
【详解】（1）法一：左边 ，右边 ，
由题意得
，即 ，
又因为 ，所以 .
法二：左边 ，
右边 ，
由题意得 ，
又因为 ，所以 .
（2）由 ，
由余弦定理得 ，
，
，当且仅当 时取“等号”，
而 ，故
12．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角 ，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
．
(1)证明： ；
(2)若 为 的角平分线，交AB于D点，且 ．求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）由正弦定理可将 转化为 ，结合
角度关系转化得 ，即可证得 ；
（2）由 为 的角平分线， ，可得 ，根据 面积公
式可求得 ，再由三角形 为锐角三角形可得 的范围，由平方公式二
倍角公式可得 的值，根据和差公式得 的值，由余弦定理求得 ，再根
据正弦定理的 的值即可.
【详解】（1）证明：因为 ，由正弦定理 得：
，又
，
所以 ，整理得 ．
又 ，则 ，即 .
（2）因为 为 的平分线，且 ，
所以 ，则 ，
所以 ，可得
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以
，在 中，由余弦定理可得
，所
以 ，
由正弦定理 得 .
13．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知 的内角 的对边分别为
，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 于 ，求 的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目信息利用正弦定理可得 ，再利用余弦定理可得
；（2）利用三角形面积公式可以求得 ，再根据基本不等式即可求得边长
的取值范围，即可得面积最小值.
【详解】（1）由 可得
，由正弦定理可得
由余弦定理可得 ，
又 ，所以 .
（2）如下图所示：三角形面积 ，
又 ，所以 ，
由（1）中 可得 ，当且仅当 时，等号成立；
即 ，得 .
所以面积 ，
故 的面积的最小值为
14．（2023·安徽·统考一模）在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点与坐标原点
重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 的交点分别为 .已知点 的纵
坐标为 ，点 的横坐标为 .
(1)求 的值；
(2)记 的内角 的对边分别为 .
请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.
①若 ，且 ，求 周长的最大值.
②若 ，且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)答案见解析【分析】（1）先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得 ，
再利用余弦的和差公式即可得解；
（2）选①：先结合（1）中条件得到 ，再利用余弦定理与基本不等式推得
，从而得解；
选②：先结合（1）中条件求得 ，再利用正弦定理求得 ，从而利用三角形面积
公式即可得解.
【详解】（1）因为 是锐角，所以 在第一象限，
又因为 在单位圆上，点 的纵坐标为 ，点 的横坐标为 ，
所以 ，
所以 ，
故 .
（2）选①：
由（1）中结论可得 ，又 ，
由余弦定理可得 ，即 .
，
，当 时，等号成立，
，
即当 为等边三角形时，周长最大，最大值为6.
选②：
由（1）可知 ，
则 ，由正弦定理 ，可得 ，故 ，
则 .
15．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：① ；②
；③ .在这三个条件中任选一个，补充在下
面的问题中，并解答.问题：在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，满
足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三
角恒等变换公式化简即可求解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简
即可求解；
(2)根据正弦定理可得 ， ，从而 ，再根据
，即可得到 ，利用三角函数的性质即可求取值范围.
【详解】（1）选择条件① ：
，
所以 ，于是 ，又 ，所以 .
选择条件② ：因为 ，
解得 ，又 ，所以 .
选择条件③ ：
则 ，
由正弦定理得： ，
即 ，
整理得： ，
由 得： ，又 ，所以 .
（2）由（1）知， ， 为锐角三角形，所以 ，
由正弦定理 ，得 ， ，
于是，
化简得， ，
因为 ,所以 ，所以 ，
，
故 的取值范围为 .
16．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）在锐角 中，内角
所对的边分别为 ， ， ．
(1)若 ，证明： ；(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理将边化成角，再利用三角恒等变换即可得出证明；（2）
根据题意可得 ，再根据三角形形状可知 ，利用基
本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
两边同时除以 可得 ，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以， ．
又 为锐角三角形，所以 ，
所以 ，即
．
令 ，则 ，
．
当 ，即 时， ， ，
的最小值为8．
17．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的定义域和值域；(2)已知锐角 的三个内角分别为A，B，C，若 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；
(2)2
【分析】（1）先化简 ，然后利用真数大于0可得 ，即可求出定义
域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得 ，结合锐角三角形可得 ，然后利用正弦定理进
行边变角即可求出答案
【详解】（1） ，
所以要使 有意义，
只需 ，即 ，
所以 ，解得
所以函数 的定义域为 ，
由于 ，所以 ，
所以函数 的值域为 ；
（2）由于 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 即 ，由锐角 可得 ，所以 ，
由正弦定理可得
，
因为 ，所以 所以 ，
所以 的最大值为2.
18．（2023·湖北·统考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 ．
(1)求B；
(2)设 ，若点M是边 上一点， ，且 ，求 的
面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，
由 及正弦定理得 ，
即 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）如图所示：因为 ，所以 ， ．
又 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ．①
又 ，所以 ，
两边平方得 ，
即 ，所以 ．②
②－①得 ，所以 ，代入①得 ，
在 中， ，
所以 是以 为直角的三角形，
所以 的面积为 ．
19．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）在 中，记角 的对边分别为 ，
已知 ，且 ，点 在线段 上.
(1)若 ，求 的长；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角、两角和的正弦公式和辅助角公式化简给定等式，再
由正弦定理即可求出答案.（2）设 ，则 ，由三角形的面积公式可求出 ，再由余弦定理求出
，在 中，由正弦定理可得 ，同理在 中，可得
，两式相出即可求出 的值.
【详解】（1）依题意有
.
,
.
,
因为 ，所以 ，
又 .
，则 ，在 中，
由正弦定理得 ，解得 .
（2）设 ，则 ，又 ，
即 ，可得 ，故 ，
由余弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ，故 ，
在 中，由正弦定理可得 ，故 ，因为 ，
20．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角 中，角
所对的边分别是 ，满足 .
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理化简得 ，再利用两角和差的正弦
公式及三角形的性质得 ，得证；（2）弦切互化转化为正弦复合函数，
先求角C的范围，然后换元，利用函数单调性求范围.
【详解】（1）由 及余弦定理
得 ，
由正弦定理得： ，
又 ，
，
，
，
都是锐角，
，即 .
（2）令，
由（1） 得 ，
在锐角三角形 中， ，即 ，
解得 ， ，
令 ， ，
又函数 在 上单调递增，
，
故 的取值范围是 .
21．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知 ， ， 分别为锐角 三个内角 ，
， 的对边，且 ， ，且 ．
(1)求角 的大小
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行和正弦定理得 ，则得到 的大小；（2）首先根据锐角三角形求出 的范围，再利用正弦定理进行边换角得
，根据 的范围即可得到答案.
【详解】（1）由 得 ，
，
根据正弦定理得 ，
所以 ，又 ，所以 A.
又 ， ，又 ，
（2）由（1）得 ， ，
， 为锐角，所以 ， ，
根据正弦定理得 ，
其中 ， ，即 ，
综上可知， 的取值范围是 ．
22．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）在 中， ，D为 中点，
.
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的长.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）在 中，由余弦定理求得 ，即可得 ，在中利用余弦定理即可求得答案；
（2）设 ，由正弦定理求得 ，结合
，以及 ，可推出 ，再由
，推出 ，联立解方程可得答案.
【详解】（1）在 中， ，
则 ，
在 中，
，
所以 .
（2）设 ，
在 和 中，由正弦定理得， ，
又 ，得 ，
在 中， ，
由 ，有 ，
所以 ，整理得： ，①
又由 ，整理得： ，②
联立①②得， ，即 .，解得 或 ，
又 ，故 ，
所以 .
23．（2023·山东日照·统考一模）已知 中，a，b，c是角A，B，C所对的边，
，且 .
(1)求角B；
(2)若 ，在 的边AB，AC上分别取D，E两点，使 沿线段DE折叠
到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得 ，又 ，可
得 ，结合二倍角公式可求得结果；
（2）由题意可知 为等边三角形，设 ，则 ，由余弦定
理得 ，设 ，所以 ，利用基
本不等式可求得答案.
【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理边角互化得，
因为 ，所以 ，即 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 .
（2）因为 ，所以 为等边三角形，即 ，
设 ，则 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，整
理得 ，
设 ，所以 ，
由于 ，故 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，此时
，
所以AD的最小值为 ．
24．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）在 中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且 .
(1)求C；
(2)已知 的外接圆半径为4，若 有最大值，求实数m的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) ．【分析】（1）由诱导公式应用正弦定理，二倍角公式化简可求得 角；
（2）由正弦定理化边为角，用 角表示 ，应用辅助角公式变形为
，其中 ，由于 ，因此题意说
明 在 上有解，从而可得 的范围．
【详解】（1） 中， ， ，
由正弦定理得 ，即 ，
显然 ，∴ ， ， ， ；
（2）由（1） ， ，
由正弦定理 ， ，
，
，其中 ，
又 ，若 有最大值，则 在 上有解，
∴ ，解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
25．（2023·山东淄博·统考一模）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，
满足
(1)求角 ；
(2)若角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；
(2)利用正弦定理得到 ， ，然后利用基本不等式即可求
解.
【详解】（1）由 可得： ，
由余弦定理知， ，
又 因此 .
（2）在 中，由 ，得 ，
在 中，由 ，可得 ，
所以 ；
在 中，由 ，得 ，
解得 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
因此 的最小值为 .26．（2023·山东潍坊·统考一模）在① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中并作答.
问题：在 中，角 所对的边分别为 ，且__________.
(1)求角 的大小；
(2)已知 ，且角 有两解，求 的范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角 的大小；若选②，利
用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦
定理代入化简即可得出答案.
（2）将 代入正弦定理可得 ，要使角 有两解，即 ，解
不等式即可得出答案.
【详解】（1）若选①：整理得 ，因为 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
若选②：因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ；
若选③：由正弦定理整理得 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ；（2）将 代入正弦定理 ，得 ，所以 ，
因为 ，角 的解有两个，所以角 的解也有两个，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，解得 .
27．（2023·辽宁沈阳·统考一模）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ．
已知 ．
(1)求角 的大小；
(2)给出以下三个条件：① ， ；② ；③ ．
若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求 的值；
（ii） 的角平分线交 于点 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii） .
【分析】（1）由已知条件可得出 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）由 以及①或②或③解三角形，可得出正确的条件.
（i）求出 的值，利用正弦定理可求得 的值；（ii）由 结合
三角形的面积公式可求得 的长.
【详解】（1）解：因为 ，若 ，则 ，不满足
，
所以， ， ， .
（2）解：由 及①，由余弦定理可得 ，即 ，
，解得 ；
由 及②，由余弦定理可得 ，
由 可得 ，可得 ；由 及③，由三角形的面积公式可得 ，可得
.
经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故 ，
.
（i）将 ， 代入②可得 可得 .
在 中，由正弦定理 ，故 .
（ii）因为 ，即 ，
所以， .
28．（2020春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)求函数 的最小正周期.
(2)在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，求
的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为 ，再利用
即可求出结果；
（2）先利用 求出角 ，再结合余弦定理及基本不等式求解 的最值，从
而得到 面积的最大值.【详解】（1）由
，
所以 的最小正周期 ；
（2）因为 ，则 ，又因为 ， ，
所以 ，解得 ，
由余弦定理得 ，
得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
，即 的面积的最大值为 .
29．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知将函数
的图像向左平移 个单位长度后得到函
数 的图像关于原点中心对称.
(1)求函数 的解析式；
(2)若三角形 满足 是边 上的两点，且
，求三角形 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】(1)根据题意将函数化简，利用正弦函数的平移变化得到
，结合图象关于原点中心对称即可求出函数解析式；
(2)结合（1）可得 ，结合题意，建立平面直角坐标系得到点 的轨迹方程为
，再根据几何关系即可求解.
【详解】（1）（1）由已知化简得 ，
，由 得 ，
又 ，
（2）易得 ，
由 ①
②
又
将① ②式并结合 可得：
以 所在直线为 轴，以 中垂线为 轴建立直角坐标系，则 ，
设 ，则由 可得：点 的轨迹方程为 ，
即 ，
当 时， 取到最大值 ，
根据几何关系易知三角形 面积的取值范围为 ，
30．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）在① ，②
，③ 的面积为 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若 ， 的内切圆半径为 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理
及两角和的正弦公式，结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的
特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊
值对应特殊角注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）若选①，由 及正弦定理，得
，
即 ，
即 ，
所以 ，
因为 ,所以 ，
所以 ，又 ,
所以 ．
若选②，由 ，得
，
∴ ，
因为 ,所以 ，当 时， 不存在，所以 ，又 ,
所以 ．
若选③，因为 的面积为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，又 ,
所以 ．
（2）由（1）知， ，
∵ 内切圆半径为 ，
∴ ，即
，
由余弦定理，得 ，即 ，
所以 ，
联立 ，得 ，解得 ，
所以 ．
