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29.1 投影（第二课时）分层作业
基础训练
1．下列说法正确的是（ ）
A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影
B．正投影一定是平行投影
C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影
D．正投影可能是中心投影
【答案】B
【分析】首先明确：平行投射线垂直于投影面的称为正投影；接下来根据正投影的定义进行分析即可得答
案．
【详解】解：A．物体在太阳光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
B．正投影一定是平行投影，正确，符合题意；
C．物体在灯光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
D．正投影是平行投影，错误，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行投影中正投影的相关知识，解题需掌握正投影的特点．
2．下列说法正确的是（ ）
A．物体的正投影不改变物体的形状和大小 B．一个人的影子都是平行投影形成的
C．当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影不改变它的形状和大小 D．有光就有影子
【答案】C
【分析】根据正投影及平行投影和中心投影依次判断即可．
【详解】解：A、物体的正投影可以改变物体的形状和大小，选项错误，不符合题意；
B、一个人的影子是平行投影或中心投影形成的，选项错误，不符合题意；
C、当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影不改变它的形状和大小，选项正确，符合题意；
D、有光、物体和投影面才有影子，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查了平行投影和中心投影，熟练掌握平行投影和中心投影的特点是解题关键．
3．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是
故选：B．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
4．一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据投影的特点进行判断即可．
【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能
是一个梯形，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点．
5．一个正方形的正投影不可能是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．线段 D．点
【答案】D
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．
【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．
故正方形纸的正投影不可能是点，
故选：D．【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧
平行是解题关键．
6．如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环
【答案】C
【分析】根据正投影的定义“是指平行投射线垂直于投影面”分析即可．
【详解】根据题意，圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即等腰梯形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正投影的定义，正确理解正投影的定义是解题关键．
7．如图，A B 是线段AB在投影面P上的正投影，AB=20cm，∠ABB =70°，则投影A B 的长为（
1 1 1 1 1
）
20
A．20sin70°cm B．20cos70°cm C．20tan70°cm D． cm
sin70°
【答案】A
【分析】过点A作AC⊥BB 于点C，根据解直角三角形即可求得．
1
【详解】解：过点A作AC⊥BB 于点C，
1
∴四边形A A B C是矩形，
1 1
∴AC=A B ，
1 1
在Rt△ABC中，AC=AB⋅sin∠ABB =20sin70°，
1
∴A B =20sin70°，
1 1故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．
8．一张矩形纸板（不考虑厚度，不折叠）的正投影可能是（ ）
①矩形；②平行四边形；③线段；④三角形；⑤任意四边形；⑥点
A．②③④ B．①③⑥ C．①②⑤ D．①②③
【答案】D
【分析】根据正投影的定义，由矩形纸板摆放位置的不同可得到不同的投影.
【详解】解：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影，根据矩形纸板摆放位置的不同，它的正投影
会不同：
①当矩形面板正面向平行光线时，矩形的平行投影是矩形；
②当矩形面板与平行光线平行时，矩形的平行投影是线段；
③当矩形面板与平行光线成大于0度小于90度的角度时，矩形的平行投影是平行四边形；
故选D.
【点睛】本题主要考查正投影的定义、平行投影成型的图像，需要一定空间想象能力.
9．当棱长为20cm正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为( )
A．20cm2 B．300cm2 C．400cm2 D．600cm2
【答案】C
【详解】由题意可得该正方体的投影是边长为20cm的正方形，面积为：20×20=400cm2.
故选C.
10．已知，如图所示，木棒AB在投影面P上的正投影为AB，且AB＝20cm，∠BAA＝120°，则投影长AB
1 1 1 1 1
＝ cm.
【答案】10❑√3
【详解】作AC⊥BB交BB于点C，则四边形ACBA为矩形，
1 1 1 1∴∠CAA=90°，
1
∵∠BAA＝120°，∴∠BAC=30°，
1
∵AB=20cm，∴BC=10cm，
∴AC=10❑√3cm，
∴AB= AC=10❑√3cm.
1 1
故答案为10❑√3cm.
点睛：本题关键在于辅助线的构造.
11．如图所示，正三棱柱的面EFDC∥平面R且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6，正三棱柱在平面R的正投影是
，正投影的面积为 .
【答案】 矩形 12
【详解】试题分析：∵正三棱柱的面EFDC平行于投影面R，
∴三棱柱在投影平面R上的正投影与矩形EFDC全等，
即正三棱柱在平面R的正投影是矩形；
正投影的面积＝S EFDC＝2×6＝12．
矩形
故答案为矩形，12．
点睛：本题考查了平行投影，知道物体与投影面平行时的投影是全等的，同时要明确正三棱柱：是上下底
面是全等的两个等边三角形，侧面是矩形，侧棱平行且相等的棱柱，本题理解并掌握正投影的特征是解题
的关键：正投影是在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影．
12．请用线把图中各物体与它们的投影连接起来．【答案】见解析
【分析】根据正投影的定义一一判断即可．
【详解】解：上面一行由左至右第1~4个物体，分别与下面一行由左起第3，4，2，1的投影对应．
连线如图所示．
【点睛】本题考查正投影，理解投影的意义是解题的关键．
13．如图，右边的正五边形是光线由上到下照射一个正五棱柱（正棱柱的上、下底面都是正多边形，并且
侧棱垂直于底面）时的正投影，你能指出这时正五棱柱的各个面的正投影分别是什么吗？
【答案】上下底面的正投影是同一个正五边形，五个侧面的正投影分别是中间有两条竖线的矩形．
【分析】根据正投影的定义解答即可．
【详解】解：正五棱柱上下底面的正投影是同一个正五边形，五个侧面的正投影分别是中间有两条竖线的
矩形．
【点睛】本题主要考查了正投影的定义，理解正投影的定义是解答本题的关键．
14．如图，边长为acm的正方体其上下底面的对角线AC、A C 与平面H垂直．
1 1(1)指出正方体在平面H上的正投影图形；
(2)计算投影MNPQ的面积．
【答案】(1)矩形
(2)❑√2a2cm2
【分析】（1）利用几何体的摆放角度可得正方体在平面H上的正投影图形是矩形；
（2）首先利用勾股定理计算出BD长，再利用矩形的面积公式计算出投影MNPQ的面积．
【详解】（1）解：正方体在平面H上的正投影图形是矩形；
（2）∵正方体边长为acm，
∴ ，
BD= ❑√a2+a2 = ❑√2a (cm)
∴MN=acm，MQ=❑√2acm
∴投影 的面积为 ．
MNPQ ❑√2a×a = ❑√2a2(cm2)
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，正投影，关键是正确计算出正方体底面对角线长度
15．如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A B C D ，其中边AB、CD与投影面平行，
1 1 1 1
AD,BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC =45°，求其投影A B C D 的面
1 1 1 1 1
积．
25❑√2
【答案】 cm2
2
【分析】先根据45°求出投影的各个边长，再求面积
【详解】解：过B点作BH⊥CC 于H，如图，
1∵∠BCC =45°，
1
❑√2 ❑√2
∴BH= ， BC=
2 2
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A B C D ，
1 1 1 1
5❑√2
∴B C =BH=BC= ，C D =CD=5，
1 1 2 1 1
5❑√2 25❑√2
∴四边形A B C D 的面积= ×5= cm2．
1 1 1 1 2 2
【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键．
能力提升
1．如图，一条线段AB在平面α内的正投影为A'B'，AB=2❑√2，A'B'=❑√6，则∠ABB'的度数为 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
过A作AC⊥BB'，交BB'于C点．求出sinB的值，可得结论．
【详解】解：过A作AC⊥BB'，交BB'于C点．∵线段AB在平面α内的正投影为A'B'，AB=2❑√2，A'B'=❑√6，
∴∠A A'B'=∠BB' A'=90°，
∴AC∥A'B'，且AC=A'B'=❑√6，则∠ABC即为所求．
AC ❑√6 ❑√3
∴sinB= = = ，
AB 2❑√2 2
∴∠B=60°．
故答案为：60°．
2．圆柱的轴截面平行于投影面，它的正投影是长为4、宽为3的矩形，则这个圆柱的表面积是 .
（结果保留π）
【答案】20π或16.5π
【分析】根据平行投影的性质得出①当圆柱底面圆的直径为3，高为4，②当圆柱底面圆的直径为4，高为
3，进而求出其表面积．
【详解】解：圆柱的轴截面平行于投影面，且它的正投影是长为4、宽为3的矩形，所以需分两种情况讨
论：圆柱底面圈的直径为4、高为3，圆柱底面圆的直径为3、高为4，
①当圆柱底面圆的直径为4、高为3时，圆柱的表面积为2π×2×3+2π×22=20π；
②当圆柱底面圆的直径为3、高为4时，圆柱的表面积2π×1.5×4+2π×1.52=16.5π；
故答案为20π或16.5π.
【点睛】根据平行投影的性质得出①当圆柱底面圆的半径为1.5，高为4，②当圆柱底面圆的半径为2，高
为3，进而求出其表面积．
拔高拓展
1．如图，一块含30°角的直角三角形木板ABC，将它的直角顶点C放置于直线上，点A，点B在直线l上
的正投影分别是点P，点Q，若AB=20，BQ=6❑√3，则AB在直线l上的正投影的长是（ ）A．10❑√3 B．8❑√3 C．6+8❑√3 D．8+8❑√3
【答案】C
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=5，求出BC的长，再根据勾股定理可得CQ
的长；通过证明△ACP∽△CBQ，再根据相似三角形的性质可得CP的长，进而得出PQ的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=20，
1 ❑√3 ❑√3
∴AC= AB=10，BC=AB× =20× =10❑√3，
2 2 2
在 中， ，
Rt△CBQ CQ=❑√CB2−BQ2=❑√ (10❑√3) 2 −(6❑√3) 2=8❑√3
∵∠CAP+∠ACP=90°，∠BCQ+∠ACP=90°，
∴∠CAP=∠BCQ，
∴△ACP∽△CBQ，
CP AC
∴ = ，
BQ BC
10×6❑√3
∴CP= =6，
10❑√3
∴PQ=CP+CQ=6+8❑√3，
即AB在直线l上的正投影的长是6+8❑√3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．
