文档内容
29.1 投影（第二课时） 导学案
学习目标
1. 理解正投影的概念；
2. 能根据正投影的性质画出简单图形的正投影.
3. 学生学会关注生活中有关投影的数学问题，增强数学的应用意识.
重点难点突破
★知识点1： 正投影的概念：如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.
★知识点2： 物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、
大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
核心知识
一、正投影的概念：如果投射线________于投影面，那么这种投影称为正投影.
二、物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的
________________完全相同，并且物体正投影的__________________与它相对于投影面的___________有
关.
引入新课
【提问一】简述投影的概念？
【提问二】投影是如何进行分类的？试举例说明？
新知探究
【问题一】观察下图，并填空
1）图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别？
2）图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别？[小结]正投影的概念：如果投射线________于投影面，那么这种投影称为正投影.
【问题二】由平行投影与正投影的概念，你发现了什么？
【探究一】如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.
1) 铁丝平行于投影面；2) 铁丝倾斜于投影面；3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点). 三
种情形下铁丝的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？
【探究二】如图，把一块正方形卡片P(记为正方形ABCD) 放在三个不同位置.
1) 卡片平行于投影面；2) 卡片倾斜于投影面；3) 卡片垂直于投影面
三种情形下卡片的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？【问题三】简述线段正投影的投影规律？
【问题四】简述平面图形正投影的投影规律？
【探究三】如图，把一个正方体纸盒P(记为正方体ABCDEFGH) 放在两个个不同位置.
1）纸盒的一个平面ABCD平行于投影面；
2）纸盒一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面；
观察两种情形下正方体纸盒的正投影，你发现了什么？
【问题五】观察线段、平面图形、立体图形的正投影，由此你发现了什么？
典例分析
例1 下列说法正确的是（ ）A．三角形的正投影一定是三角形 B．长方体的正投影一定是长方形
C．球的正投影一定是圆 D．圆锥的正投影一定是三角形
【针对训练】
1. 直立在投影面上的圆锥的正投影是 ( )
A．圆 B．三角形 C．矩形 D．正方形
2. 木棒长为2.5m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于2.5m B．小于2.5m
C．等于2.5m D．小于或等于2.5m
3.如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形
EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S ，S2，S，则S ，S2，S的关系是_____（用“=、
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＞或＜”连起来）
4．（2022下·广东河源·九年级校考期末）把下列物体与它们的投影连接起来．
5．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板
的正投影不可能是（ ）
A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形
C．一个等腰三角形 D．一个小圆点
6．（2022上·山西大同·九年级统考期末）如图，A B 是线段AB在投影面P上的正投影，AB=10cm，
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，则投影 的长为（ ）
∠A AB=110° A B
1 1 1A．10sin70°cm B．10sin20°cm
C．10tan70°cm D．10cos70°cm
7. 如图所示，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4m，A′B′＝2❑√3，则AB
与A′B′的夹角为( )
A．45° B．30° C．60° D．以上都不对
8. 已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD
与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为AB C D.若∠ABB ＝45°，求投影面AB C D 的面积．
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课堂小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 简述正投影的概念？
3. 简述物体正投影的形状、大小与什么有关？【参考答案】
新知探究
【问题一】观察下图，并填空
1）图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别？
图（1）投影线集中于一点，属于中心投影；
图（2）（3）投影线互相平行，属于平行投影.
2）图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
图（2）投影线与投影面不垂直；
图（3）投影线与投影面垂直.
[小结]正投影的概念：如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.
【问题二】由平行投影与正投影的概念，你发现了什么？
1）正投影是特殊的平行投影.
2）平行投影分为斜投影与正投影.
【探究一】如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.
1) 铁丝平行于投影面；2) 铁丝倾斜于投影面；3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点). 三
种情形下铁丝的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？
【探究二】如图，把一块正方形卡片P(记为正方形ABCD) 放在三个不同位置.
1) 卡片平行于投影面；2) 卡片倾斜于投影面；3) 卡片垂直于投影面
三种情形下卡片的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？【问题三】简述线段正投影的投影规律？
平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点.
【问题四】简述平面图形正投影的投影规律？
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
【探究三】如图，把一个正方体纸盒P(记为正方体ABCDEFGH) 放在两个不同位置.
1）纸盒的一个平面ABCD平行于投影面；
2）纸盒一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面；
观察两种情形下正方体纸盒的正投影，你发现了什么？
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
【问题五】观察线段、平面图形、立体图形的正投影，由此你发现了什么？
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投
影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
典例分析
例1 下列说法正确的是（ D ）
A．三角形的正投影一定是三角形 B．长方体的正投影一定是长方形
C．球的正投影一定是圆 D．圆锥的正投影一定是三角形
【针对训练】1. 直立在投影面上的圆锥的正投影是 ( A )
A．圆 B．三角形 C．矩形 D．正方形
2. 木棒长为2.5m，则它的正投影的长一定（ D ）
A．大于2.5m B．小于2.5m
C．等于2.5m D．小于或等于2.5m
3.如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形
EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S，S2，S，则S，S2，S的关系是__S=S＜S
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___（用“=、＞或＜”连起来）
4．（2022下·广东河源·九年级校考期末）把下列物体与它们的投影连接起来．
5．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板
的正投影不可能是（ D ）
A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形
C．一个等腰三角形 D．一个小圆点
6．（2022上·山西大同·九年级统考期末）如图，A B 是线段AB在投影面P上的正投影，AB=10cm，
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，则投影 的长为（ A ）
∠A AB=110° A B
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A．10sin70°cm B．10sin20°cm
C．10tan70°cm D．10cos70°cm7. 如图所示，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4m，A′B′＝2❑√3，则AB
与A′B′的夹角为( B )
A．45° B．30° C．60° D．以上都不对
8. 已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD
与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为AB C D.若∠ABB ＝45°，求投影面AB C D 的面积．
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【解析】
如图所示，过A作AH⊥BB 于H，
1
∵∠ABB ＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，
1
❑√2
∴AH＝AB·cos45°＝10× =5❑√2 (厘米)，
2
∴AB ＝AH＝5❑√2 (厘米)，
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∵A D＝AD＝10(厘米)，
1 1
∴矩形AB C D 的面积＝AB ·A D＝5❑√2×10＝50❑√2 (平方厘米)．
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