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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 7 讲 解三角形
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形
的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇
命题成为高考的热点．
题型一、正、余弦定理基础
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（ ）
sinA cosB cosC
A．若 = = ，则A＝90°
a b c
a b+c
B． =
sinA sinB+sinC
C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinB
D．若sin2A＝sin2B，则a＝b
sinA cosB cosC
【解答】解：A，∵ = = ，
a b c
∴由正弦定理sinB＝cosB，sinC＝cosC，
又∵B，C为△ABC的内角，
∴B＝C＝45°，
故A＝90°，A正确；
a b c
B，∵由正弦定理可得 = = = 2R，
sinA sinB sinC
b+c 2R(sinB+sinC) a
∴ = = 2R = ，故B正确；
sinB+sinC sinB+sinC sinA
C，在△ABC中，设外接圆的半径为R，
若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，
由正弦定理可得a＞b，即A＞B；
若A＞B，即有a＞b，
即2RsinA＞2RsinB，
即a＞b．
则在△ABC中，sinA＞sinB A＞B，故C正确；
D，∵sin2A＝sin2B ⇔
∴sin2A﹣sin2B＝cos（A+B）sin（A﹣B）＝0
∴cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0
π
∴A+B = 或A＝B
2
∴三角形为直角三角形或等腰三角形．
故D错误．
故选：D．
2
2．在△ABC中，cosC = ，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）
3
A．√5 B．2√5 C．4√5 D．8√5
2
【解答】解：∵cosC = ，AC＝4，BC＝3，
3
√ 1 √5
∴tanC= −1= ，
cos2C 2
√ 2
∴AB=√AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC= 42+32−2×4×3× =3，可得A＝C，
3
∴B＝ ﹣2C，
π √5
−2×
−2tanC 2
则tanB＝tan（ ﹣2C）＝﹣tan2C= = =4√5．
1−tan2C 5
1−
π 4
故选：C．
1 b
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA =− ，则 =（ ）
4 c
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，1
asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA =− ，
4
{
a2−b2=4c2
∴ b2+c2−a2 1，
cosA= =−
2bc 4
1
解得3c2= bc，
2
b
∴ = 6．
c
故选：A．
4．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，acosc+√3asinC−b−c=0，则A＝（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+√3sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，
∴sinAcosC+√3sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，即sinAcosC+√3sinAsinC﹣sinAcosC﹣cosAsinC﹣sinC＝
0，
∴√3sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，
∵sinC≠0，
sinA √3
∴√3sinA＝cosA+1，即 = ，
1+cosA 3
A sinA √3
∴tan = = ，
2 1+cosA 3
A π π
∴ = ，即A = ．
2 6 3
故选：B．
5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（ ）
3π π π π
A． B． C． D．
4 3 4 6
【解答】解：∵b＝c，
∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA），
∵a2＝2b2（1﹣sinA），
∴1﹣cosA＝1﹣sinA，
则sinA＝cosA，即tanA＝1，π
即A = ，
4
故选：C．
tanA 2c
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2√3，c=2√2则1+ = ，则∠C＝
tanB b
45 0 ．
sinA sinB
+
tanA tanA+tanB cosA cosB sin(A+B) sinC
【解答】解：1 + = = = = ，
tanB tanB sinB cosAsinB cosAsinB
cosB
b c c sinC
根据正弦定理 = 得： = ，
sinB sinC b sinB
tanA 2c
∵1 + = ，
tanB b
sinC 2sinC 1
∴ = ，即cosA = ，
cosAsinB sinB 2
又A为三角形的内角，
∴∠A＝60°，
√3
∵a＝2√3，c＝2√2，sinA= ，
2
csinA √2
∴由正弦定理得：sinC= = ，
a 2
又a＞c，∴A＞C，
∴∠C＝45°．
故答案为：45°
题型二、角平分线问题
1
1．△ABC中，cosA = ，AB＝4，AC＝2，则∠A的角平分线AD的长为（ ）
8
A．2√2 B．2√3 C．2 D．1
1
【解答】解：在△ABC中，因为cosA = ，AB＝4，AC＝2，
8
则由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA
1
＝16+4﹣16× = 18，解得BC＝3√2，
8AB2+BC2−AC2 16+18−4 5√2
所以cosB= = = ，
2⋅AB⋅BC 2×4×3√2 8
根据角平分线的性质可得：
CD AC 1
= = ，所以BD=2√2，CD=√2，
BD AB 2
5√2
由余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB＝16+8﹣2×4×2√2× =4，则AD＝2，
8
故选：C．
π
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A = ，a＝4√7，角A的平分线交边BC于点D，
3
其中AD＝3√3，则S△ABC ＝ 1 2√3 ．
π
【解答】解：由A = ，a＝4√7，
3
b2+c2−a2
余弦定理：cosA= ，即bc＝b2+c2﹣112．…
2bc
①
角A的平分线交边BC于点D，
A
2bccos
由ABD和ADC面积和定理可得AD 2 ，AD＝3√3，
=
b+c
即bc＝3（b+c）…
由 解得：bc＝②48．
①② 1
那么S△ABC =
2
cbsinA＝12√3．
故答案为：12√3
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD
＝1，则4a+c的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．7
1 1 1
【解答】解：由题意得 acsin120° = asin60° + csin60°，
2 2 2
即ac＝a+c，1 1
得 + = 1，
a c
1 1 c 4a √c 4a
得4a+c＝（4a+c）（ + ）= + + 5≥2 ⋅ +5＝4+5＝9，
a c a c a c
c 4a
当且仅当 = ，即c＝2a时，取等号，
a c
故选：B．
题型三、中位线问题
→ →
1．△ABC中，A，B，C的对边分别记a，b，c，若b＝5，c＝6，BC边上的中线AD＝3，则
AB
• AC=（
）
25 25
A．15 B．﹣15 C． D．−
2 2
【解答】解：如图所示，根据平面向量的加法平行四边形法则可知，|AB|＝|AE|＝6，|BE|＝5，
62+52−62 5
cosA＝cos（ ﹣∠ABE）=−cos∠ABE=− =− ，
2×6×5 12
π
→ → → → 5 25
所以AB⋅AC=|AB||AC|cosA=6×5×(− )=− ．
12 2
故选：D．
2．在锐角△ABC中，D是线段BC的中点，若AD＝2，BD=√2，∠BAD＝30°，则角B＝ 45 ° ，AC＝
√8−2√3 ．
【解答】解：∵在△ABD中，AD＝2，BD=√2，∠BAD＝30°，
2 √2
AD BD = √2
∴由正弦定理 = ，可得sinB 1 ，解得sinB = ，
sinB sin∠BAD 2
2
∵B为锐角，
∴B＝45°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+30°＝75°，
又D是线段BC的中点，∴CD=√2，
∴在△ADC中，由余弦定理可得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC＝4+2﹣2×2×√2×cos75°＝8﹣2√3
，即AC=√8−2√3．
故答案为：45°，√8−2√3．
3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是BC的中点，且AD=√10，若S△ABC ＝4，b＞
b−csinA
c，且 = cosC，则B的值为（ ）
a
A．60° B．120° C．45° D．90°
b−csinA
【解答】解：∵ = cosC，可得：b＝acosC+csinA，
a
由正弦定理可得：sinB＝sinAcosC+sinCsinA，
又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，
∴sinCsinA＝sinCcosA，
∵sinC≠0，
2b−√2c
∴sinA＝cosA，可得：A＝45°，可得：cosC= ，
2a
1
∵S△ABC =
2
bcsinA＝4，可得：bc＝8√2，
①
a2+b2−c2
∵cosC= ，
2ab
2b−√2c a2+b2−c2
∴可得： = ，可得：b2+c2＝24，
2a 2ab
②
{ c=4 {c=2√2
∴由 解得： （b＞c，故舍去），或 ，
b=2√2 b=4
①②
∴a=√b2+c2−2bccosA=2√2=c，
∴A＝C＝45°，可得：B＝180°﹣A﹣B＝90°．
故选：D．题型四、周长、面积问题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC
2√3
的面积为 ．
3
【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB＝4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜ ，0＜C＜ ，
所以sinBsinCπ≠0， π
1
所以sinA = ，
2
π 5π
则A = 或
6 6
由于b2+c2﹣a2＝8，
b2+c2−a2
则：cosA= ，
2bc
π √3 8
当A = 时， = ，
6 2 2bc
①
8√3
解得bc= ，
3
1 2√3
所以S = bcsinA= ．
△ABC 2 3
5π √3 8
当A = 时，− = ，
6 2 2bc
②
8√3
解得bc=− （不合题意），舍去．
3
2√3
故：S = ．
△ABC 32√3
故答案为： ．
3
2．△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 b2＝accosB，D 为△ABC 所在平面上一点，且
CA⊥CD，CA＝CD，BC＝BD，AD＝2，则△ABD的面积为 1 ．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：
a2+c2−b2
由b2＝accosB以及余弦定理得b2＝ac• ，
2ac
得a2+c2＝3b2，
又根据题意得AD＝2，AC＝CD=√2，∴a2+c2＝6，
√2 √2
∵BC＝BD，∴B的横坐标为 ，设B（ ，t），
2 2
又A（0，√2），C（0，0），
1 1
∴a2+c2＝BC2+AB2= + t2+ +（t−√2）2＝2t2﹣2√2t+3，
2 2
∴6＝2t2﹣2√2t+3，即t2−√2t﹣3＝0，
3√2 √2
解得t= 或t=− ，
2 2
√2 3√2 √2 √2
∴B（ ， ）或B（ ，− ），
2 2 2 2
由于这两个点到直线AD：x+y−√2=0的距离都等于1，
1
∴△ABD的面积为 ×1×2= 1，
2
故答案为：1
3√3
3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足面积为 ，√3sinC﹣cosB＝cos（A﹣
2
C），a=√7，则△ABC的周长为（ ）
A．2+√7 B．3+√7 C．4+√7 D．5+√7
【解答】解：∵√3sinC﹣cosB＝cos（A﹣C），∴√3sinC+cos（A+C）＝cos（A﹣C），
∴√3sinC+cosAcosC﹣sinAsinC＝cosAcosC+sinAsinC，
∴√3sinC＝2sinAsinC
∵sinC≠0，
√3
∴sinA= ，
2
∵△ABC为锐角三角形，
∴A＝60°，
1 3√3
∵S = bcsinA= ，
2 2
∴bc＝6，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，
∴（b+c）2＝7+18＝25，
∴b+c＝5，
∴△ABC的周长为5+√7，
故选：D．
题型五、最值问题
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣b）•sinA＝csinC﹣bsinB，若△ABC的面积
为3√3，则△ABC的周长的最小值为（ ）
A．4√3 B．3+4√3 C．6√3 D．3+6√3
【解答】解：∵（a﹣b）•sinA＝csinC﹣bsinB，
∴由正弦定理可得（a﹣b）a＝c2﹣b2，可得a2+b2﹣c2＝ab，
a2+b2−c2 ab 1 √3
∴由余弦定理可得cosC= = = ，可得sinC=√1−cos2C= ，
2ab 2ab 2 2
1 √3
∵△ABC的面积为3√3= absinC= ab，解得ab＝12，
2 4
∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab＝12，即c≥2√3，当且仅当a＝b＝2√3时等号成立，
∴△ABC的周长为a+b+c≥6√3，当且仅当a＝b＝2√3时等号成立，
即△ABC的周长的最小值为6√3．
故选：C．
2a−c cosC
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 = ，b＝4，则△ABC的面积的最大值
b cosB为（ ）
A．4√3 B．2√3 C．2 D．√3
2a−c cosC
【解答】解：∵在△ABC中 = ，
b cosB
∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，
∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，
1 π
约掉sinA可得cosB = ，即B = ，
2 3
由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，
∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
1 √3
∴△ABC的面积S = acsinB= ac≤4√3
2 4
故选：A．
3．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b （4，6），sin2A＝sinC，则c的取值范围为
（ 4√2 ， 2√10）． ． ∈
4 c c
【解答】解：由正弦定理得， = = ，
sinA sinC sin2A
故c＝8cosA，
因为16＝b2+c2﹣2bccosA，
所以16﹣b2＝64cos2A﹣16bcos2A，
因为b≠4，
16−b2 4+b
所以cos2A = = ，
16(4−b) 16
4+b
所以c2＝64cos2A＝64× = 4（4+b） （32，40），
16
∈
故4√2＜c＜2√10．
故答案为：（4√2，2√10）．
a
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB+2sinAcosC＝0，则当cosB取最小值时， =
c
（ ）
√3 √2
A．√2 B．√3 C． D．
3 2a2+b2−c2
【解答】解：由已知，利用正弦定理，余弦定理可得：b+2a• =0，
2ab
可得：a2+2b2﹣c2＝0，
c2−a2
可得：b2= ，
2
a2+c2−b2 3a2+c2 3 a c √3
可得：cosB= = = • + ≥ ，
2ac 4ac 4 c 4a 2
3a c a √3
当 = ，即 = 时cosB取最小值．
4c 4a c 3
故选：C．
3
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA = c，则tan（A﹣B）的最大值
5
为（ ）
3 1 3 3
A． B． C． D．
5 3 8 4
3
【解答】解：∵acosB﹣bcosA = c，
5
3
∴结合正弦定理，得sinAcosB﹣sinBcosA = sinC，
5
∵C＝ ﹣（A+B），得sinC＝sin（A+B），
π 3
∴sinAcosB﹣sinBcosA = （sinAcosB+cosAsinB），
5
整理，得sinAcosB＝4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA＝4tanB，
tanA−tanB 3tanB 3
= = =
由此可得tan（A﹣B） 1+tanAtanB 1+4tan2B 1 ，
+4tanB
tanB
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
1 √ 1
∵ + 4tanB≥2 ⋅4tanB=4，
tanB tanB
3 3
= ≤ 1 1 3
∴tan（A﹣B） 1 4，当且仅当 = 4tanB，即tanB = 时，tan（A﹣B）的最大值为 ．
+4tanB tanB 2 4
tanB
故选：D．tanA 2c−b
6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足 = ，则
tanB b
3√3
△ABC面积的最大值为 ．
4
【解答】解：由r＝1，利用正弦定理可得：c＝2rsinC＝2sinC，b＝2rsinB＝2sinB，
sinA sinB
∵tanA = ，tanB = ，
cosA cosB
tanA sinAcosB 4sinC−2sinB 2sinC−sinB
∴ = = = ，
tanB cosAsinB 2sinB sinB
∴sinAcosB＝cosA（2sinC﹣sinB）＝2sinCcosA﹣sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB＝sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosA，
1 π
∵sinC≠0，∴cosA = ，即A = ，
2 3
b2+c2−a2 1
∴cosA= = ，
2bc 2
∴bc＝b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣（2rsinA）2＝b2+c2﹣3≥2bc﹣3，
∴bc≤3（当且仅当b＝c时，取等号），
1 1 √3 3√3
∴△ABC面积为S = bcsinA≤ ×3× = ，
2 2 2 4
3√3
则△ABC面积的最大值为： ．
4
3√3
故答案为： ．
4
题型六、取值范围问题
sinA
1．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2﹣b2+ac＝0，则 的取值范围是（ ）
sinB
√2 √2 √3 √3 √2
A．(0， ) B．( ， ) C．(√2，√3) D．( ， )
2 2 2 3 2
【解答】解：∵由题意可得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，
∴a＝c﹣2acosB，由正弦定理得：sinA＝sinC﹣2sinAcosB＝sin（A+B）﹣2sinAcosB，化简得sinA＝sin（B
﹣A），
又△ABC为锐角三角形，∴B＝2A，
π π
又0＜B＝2A＜ ，0＜C＝ ﹣3A＜ ，
2 2
ππ π √2 √3
∴ ＜A＜ ，则cosA （ ， ），2cosA （√2，√3），
6 4 2 2
∈ ∈
1 √3 √2
∴ （ ， ），
2cosA 3 2
∈
sinA sinA sinA 1 √3 √2
∵ = = = （ ， ）．
sinB sin2A 2sinAcosA 2cosA 3 2
∈
故选：D．
2．设锐角△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若√3（acosB+bcosA）＝2csinC，b＝1，则c
√3
的取值范围为 （ ，√3） ．
2
【解答】解：∵√3(acosB+bcosA)=2csinC，
∴由正弦定理可得：√3（sinAcosB+sinBcosA）＝2sin2C，
∴√3sin（A+B）=√3sinC＝2sin2C，
∵sinC≠0，
√3
∴解得：sinC= ，
2
π
∴由C为锐角，可得C = ，
3
π π
{0＜A＜ { 0＜B＜
2 2 π π
又在锐角△ABC中，有 ，可得： ，可得 ＜B＜ ，
π 2π π 6 2
0＜B＜ 0＜ −B＜
2 3 2
1
∴sinB （ ，1），
2
∈
∵b＝1，
√3
√3
∴由正弦定理可得：c bsinC 2 （ ，√3）．
= = 2
sinB sinB
∈
√3
故答案为：（ ，√3）．
2
3．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，
若a=√3，则b2+c2的取值范围是 （ 5 ， 6 ] ．
【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2＝bc．
b2+c2−a2 bc 1
由余弦定理可得：cosA= = = ，
2bc 2bc 2
π
∴A为锐角，可得A = ，
3
∵a=√3，
b c √3
= = =
∴由正弦定理可得：sinB 2π √3 2，
sin( −B)
3 2
2π π
∴可得：b2+c2＝（2sinB）2+[2sin（ −B）]2＝3+2sin2B+√3sin2B＝4+2sin（2B− ），
3 6
π π π π 5π
∵B （ ， ），可得：2B− （ ， ），
6 2 6 6 6
∈ ∈
π 1 π
∴sin（2B− ） （ ，1]，可得：b2+c2＝4+2sin（2B− ） （5，6]．
6 2 6
∈ ∈
故答案为：（5，6]．
4．已知△ABC的三个内角；A，B，C所对边分别为；a，b，c，若b2+c2＜a2，且cos2A﹣3sinA+1＝0，则
√3
sin（C﹣A）+ cos（2A﹣B）的取值范围为（ ）
2
1 √3 1 √3 √3 2 1
A．（− ，− ） B．（− ，− ] C．[0， ] D．（− ，− ）
2 4 2 4 4 3 2
【解答】解：因为cos2A﹣3sinA+1＝0，
所以1﹣2sin2A﹣3sinA+1＝0，
1
所以sinA = 或﹣2（舍），
2
又因为cosA＜0，
5
所以A = ，
6
π
√3 5π √3 5π
所以sin（C﹣A）+ cos（2A﹣B）＝sin（C− ）+ cos[2×﹣（ − −C）]
2 6 2 6
π
5 √3 1
＝sin（C− π）+ sinC =− cosC，
6 2 2
π
又因为C （0， ），
6
∈√3
所以cosC （ ，1），
2
∈
1 1 √3
所以− cosC （− ，− ）
2 2 4
∈
故选：A．
1 1
5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，则 − 的取值
tanA tanB
2√3
范围为 （ 1 ， ） ．
3
【解答】解：∵b2﹣a2＝ac，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，
∴c＝2acosB+a，
∴sinC＝2sinAcosB+sinA，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinA＝cosAsinB﹣sinAcosB＝sin（B﹣A），
∵三角形ABC为锐角三角形，
∴A＝B﹣A，
∴B＝2A，
∴C＝ ﹣3A，
π
π
{ 0＜2A＜
2
∴
π
0＜π−3A＜
2
π π π π
∴A （ ， ），B （ ， ）
6 4 3 2
∈ ∈
1 1 sin(B−A) 1
∴ − = = ，
tanA tanB sinBsinA sinB
π π
∵B （ ， ）
3 2
∈
√3
∴sinB （ ，1），
2
∈
1 2√3
∴ ， ），
sinB 3
∈1 1 2√3
∴ − 的范围为（1， ），
tanA tanB 3
2√3
故答案为：（1， ）
3
→ → 27−9√5
6．已知△ABC的周长为6，且cos2B+2sinAsinC＝1，则 BA⋅BC 的取值范围是 [ 2 ，
2
） ．
【解答】解：由cos2B+2sinAsinC＝1，得2sinAsinC＝1﹣cos2B＝2sin2B，
利用正弦定理可得b2＝ac，
又a+b+c＝6，
a+c 6−b
∴b =√ac≤ = ，从而0＜b≤2．
2 2
再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，
∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，
3√5−3
又b＞0，解得b＞ ，
2
3√5−3
∴ ＜b≤2，
2
a2+c2−b2
∵cosB= ，
2ac
→ → a2+c2−b2 (a+c) 2−2ac−b2 (6−b) 2−3b2
∴ BA⋅BC=ac•cosB= = = =−（b+3）2+27．
2 2 2
→ → 27−9√5
则2≤BA⋅BC＜ ．
2
→ → 27−9√5
∴
BA⋅BC
的取值范围是[2，
2
）．
27−9√5
故答案为：[2， ）．
2
题型七、解三角形实际问题
1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏
东60°，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°【解答】解：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，
∴∠DBA＝40°﹣30°＝10°，
∴灯塔A在灯塔B的南偏西80°．
故选：D．
2．如图所示，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了100米到山腰B，在B
处测得山顶P的仰角为75°，则山高h＝ 2 5√6 ．
【解答】解：△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝（90°﹣30°）﹣（90°﹣75°）＝45°，
√6−√2
100×
100 PB 100sin15° 4
∴ = ，∴PB= = =50（√3−1），
sin45° sin15° sin45° √2
2
√6+√2 √6−√2
∴山高h＝PQ＝PC+CQ＝PB•sin75°+AB•sin15°=50(√3−1)× +100× =25√6．
4 4
故答案为：25√6．
27．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有
世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点
C，D，测得CD=35m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A、B两点的距
离为 m．
【答案】35√5【分析】根据已知的边和角，在△BCD中，由正弦定理解得BD，在△ABD中，由余弦定理得AB.
【详解】因为∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，所以∠ADC=150∘，∠DAC=∠DCA=15∘，
所以AD=CD=35，
又因为∠ACB=120∘，所以∠BCD=135∘，∠CBD=30∘，
BD 35
BD CD =
在△BCD中，由正弦定理得 = ，即 √2 1 ，解得BD=35√2，
sin∠BCD sin∠CBD
2 2
在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB，
所以AB2=352+(35√2) 2 −2×35×35√2× ( − √2) ，解得AB=35√5m．
2
故答案为：35√5.
一、单选题
1．在△ABC中，a+c=2b，则下列结论不成立的是（ ）
A−C A+C
A．sinA+sinC=2sinB B．cos =2cos
2 2
A C A C A−C
C．sin2 +sin2 =cosB D．sin2 −sin2 =sin
2 2 2 2 2
【答案】D
【详解】因为a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，所以A正确；
(A+C A−C) (A+C A−C) A+C A−C
由sin A+sinC=sin + +sin − =2sin ⋅cos ，
2 2 2 2 2 2A+C A+C
sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)=2sin ⋅cos ，
2 2
A−C A+C
由sinA+sinC=2sinB，可得cos =2cos ，所以B正确；
2 2
A C 1−cosA 1−cosC cosA+cosC A+C A−C
由sin2 +sin2 = + =1− =1−cos ⋅cos ，
2 2 2 2 2 2 2
A+C A−C A+C
又由B可知1−cos cos =1−2cos2 =−cos(A+C)=cosB，所以C正确；
2 2 2
A C 1−cosA 1−cosC cosC−cosA A+C A−C
由sin2 −sin2 = − = =sin sin ，所以D错误.
2 2 2 2 2 2 2
故选：D．
π
2．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B= ,a=4，且该三角形有两解，则b的范围是
3
（ ）
A．(2√3,+∞) B．(2√3,4)
C．(0,4) D．(3√3,4)
【答案】B
π
a b 4×sin
【详解】由正弦定理得 = ，所以 asinB 3 2√3 ,
sinA sinB b= = =
sinA sinA sinA
π 2π π
因为该三角形有两解，故 =B0，所以，cosA=− ，可得A= ，
2 3
因为角A的平分线AD交BC于点D，AD=1，
1 2π 1 π 1 π
由S =S +S ，即 bcsin = c⋅ADsin + b⋅sin ，
△ABC △ABD △ACD 2 3 2 3 2 3√3 √3 c+b 1 1
所以， bc= (b+c)，所以， = + =1，
4 4 bc b c
(1 1) 2b 3c √2b 3c
所以，2AC+3AB=2b+3c=(2b+3c) + =5+ + ≥5+2 ⋅
b c c b c b
=5+2√6，
当且仅当¿时，即当¿时，等号成立，
故2AC+3AB的最小值为5+2√6.
故选：A.
14．在三角形ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c.且2sin A+sinB=asinB，则a+b最小值是（ ）
A．3+2√2 B．2+2√3 C．3 D．2√2
【答案】A
1 2
【详解】在△ABC中，由正弦定理及2sinA+sinB=asinB，得2a+b=ab，即 + =1，而a>0,b>0，
a b
1 2 b 2a √b 2a
因此a+b=( + )(a+b)=3+ + ≥3+2 ⋅ =3+2√2，
a b a b a b
b 2a
当且仅当 = ，即b=√2a=2+√2时取等号，
a b
所以当a=√2+1,b=2+√2时，a+b取得最小值3+2√2.
故选：A
15．下列命题正确的是（ ）
①在△ABC中，“tanA>tanB”是“a>b”的既不充分也不必要条件．
②在△ABC中，cosAB⇔a>b．
③在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，当a2+c2−b2>0时，△ABC为锐角三角形．
a a+b−c
④在△ABC中， = ．
sinA sinA+sinB−sinC
⑤在三角形中，已知两边和一角，则该三角形唯一确定．
A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．①④⑤
【答案】B
sinA sinB
【详解】①tan A>tanB，即 > ，
cosA cosB
π
若cosB<0，则有B> >A，此时ab，可能cosA<0,此时 < ，即tanAtanB”是“a>b”的既不充分也不必要条件，故正确；
②若cosAB，
若sinA≤sinB，则有B≥π−A，即A+B≥π，
与在△ABC中矛盾，故有sinA>sinB，
a b
由 = ，故a>b，即cosAB⇒a>b，
sinA sinB
a b
若a>b，由 = ，则有sin A>sinB，
sinA sinB
即有0π,
与在△ABC中矛盾，故0B，
由y=cosx在(0,π)上单调递减，故cosAb⇒A>B⇒cosAB⇔a>b，故正确.
a2+c2−b2
③由a2+c2−b2>0，则cosB= >0，
2ac
即B为锐角，但A或C可能为钝角，故错误；
④在△ABC中，
sinC=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsinBsinA= ，
a 4 2
故有两解，即该三角形并不唯一确定，故错误.
故选：B.
16．记锐角 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 .则
△ABC c=2 (a2+b2−c2)(acosB+bcosA)=abc△ABC周长范围为 （ ）
A．(2+2√3,6] B．(2+√3,6]
C．(2√3,6] D．(2+2√6,6]
【答案】A
【详解】
在△ABC中，由射影定理得acosB+bcosA=c，
则题目条件(a2+b2−c2)(acosB+bcosA)=abc可化简为：a2+b2−c2=ab.
由余弦定理得：a2+b2−c2=2abcosC，
1
则cosC=
.
2
π
因为C∈(0,π)，所以C=
.
3
因为c=2
a b c 2 4√3
= = = =
所以在△ABC中，由正弦定理得sinA sinB sinC π 3 ，
sin
3
4√3 4√3[ (2π )]
则△ABC周长C =a+b+2=2+ (sinA+sinB)=2+ sinA+sin −A ，
△ABC 3 3 3
(2π ) 2π 2π √3 1
因为sinA+sin −A =sinA+sin cosA−cos sin A=sin A+ cosA+ sin A
3 3 3 2 2
= 3 sin A+ √3 cosA=√3 (√3 sin A+ 1 cosA ) =√3sin( A+ π ) ，
2 2 2 2 6
π
所以C =2+4sin( A+ )
.
△ABC 6
π
因为△ABC为锐角三角形，C=
，
3
π π
( )
则¿，解得A∈ ,
6 2
π (π 2π )
所以A+ ∈ , .
6 3 3所以sin( A+
π
) ∈
(√3
,1
]
6 2
所以C ∈(2+2√3,6].
△ABC
故选：A
二、多选题
17．下列命题中正确的是（ ）
A．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
B．在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件
π
C．函数y=sin2x的图象向左平移 个单位，得到函数y=cos2x的图象
4
√3 √3
D．在△ABC中，若AB=√3,AC=1,B=30°，则△ABC的面积为 或
4 2
【答案】BCD
【详解】A选项中，因为sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，
π
即A=B或A+B= ，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以A错误；
2
B选项中，由A>B，得a>b，
则由正弦定理得，sin A>sinB，反之亦成立，所以B正确；
π
C选项中，由函数y=sin2x的图象向左平移 个单位，
4
π π
得y=sin2 ( x+ )=sin ( 2x+ )=cos2x，所以C正确；
4 2
AB AC √3 1 √3
D选项中，由正弦定理得， = ，即 = ，得sinC= ，
sinC sinB sinC sin30° 2
则C=60°或C=120°，所以A=90°或A=30°，
1 √3 1 √3
所以△ABC的面积为S= ×√3×1×sin90°= 或S= ×√3×1×sin30°= ，
2 2 2 4
所以D正确．
故选：BCD．
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，sinB=√3sinC，则以下四个命题中正
确的是（ ）
A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形B．△ABC面积的最大值为√3
C．当A=C时，△ABC的内切圆的半径为2√3−3
D．若△ABC为锐角三角形，则c∈(1,√3)
【答案】BC
【详解】sinB=√3sinC，则b=√3c，
对选项A：取c=1，则b=√3，a=2，故a2=b2+c2，△ABC是直角三角形，错误；
x2+4−3x2 1 x
对选项B：设c=x，则b=√3x，cosB= = − ，sinB>0，
4x x 2
S= 1 ×2xsinB=x√1−cos2B=x √ 1− 1 − x2 +1= √ − 1 x4+2x2−1= √ − 1 (x2−4) 2 +3，当x=2时，S
2 x2 4 4 4
最大为√3，正确；
a2+c2−b2 1
对选项C：A=C时，a=c=2，b=2√3， cosB= =− ，
2ac 2
2
B∈(0,π)，故B= π，设内切圆的半径为r，
3
1 2π 1
则 ×2×2×sin = r×(2+2+2√3)，解得r=2√3−3，正确；
2 3 2
对选项D：△ABC为锐角三角形，则b21，故c∈(1,√2)，错误；
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握余弦定理，从而得解.
19．如图，已知⊙O的内接四边形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4，下列说法正确的是（ ）
A．四边形ABCD的面积为8√3
2√21
B．该外接圆的半径为
3
C．⃗BO⋅⃗CD=−4
D．过D作DF⊥BC交BC于F点，则⃗DO⋅⃗DF=11【答案】ABC
【详解】对于A，连接AC，
16+16−AC2 4+36−AC2
在△ACD中，cosD= ，cosB= ，
32 24
32−AC2 40−AC2 256
由于B+D=π，所以cosB+cosD=0，故 + =0，解得AC2= ，
32 24 7
1 1 √ 1 4√3
所以cosD=− ，cosB= ，所以sinB=sinD= 1− = ，
7 7 49 7
1 1 4√3 24√3
故S = AB⋅BCsinB= ×2×6× = ，
△ABC 2 2 7 7
1 1 4√3 32√3
S = AD⋅DCsinD= ×4×4× = ，
△ADC 2 2 7 7
24√3 32√3
故四边形ABCD的面积为 + =8√3，A正确；
7 7
√256
AC 7 4√21
对于B，设外接圆半径为R，则2R= = = ，
sinB 4√3 3
7
4√21 2√21
故该外接圆的直径为 ，半径为 ，B正确；
3 3
对于C，连接BD，过点O作OG⊥CD于点G，过点B作BE⊥CD于点E，
1
则由垂径定理得：CG= CD=2，由于A+C=180∘，所以cosA+cosC=0，
2
4+16−BD2 16+36−BD2 1
即 + =0，解得BD=2√7，所以cosC= ，所以C=60∘，
16 48 21
且CE=BC⋅cosC=6× =3，所以|⃗EF|=3−2=1，即⃗BO在向量⃗CD上的投影长为1，
2
且⃗EG与⃗CD反向，故⃗BO⋅⃗CD=−|⃗EG|⋅|⃗CD|=−4，C正确；
√3
对于D，由C选项可知：C=60∘，故|⃗DF|=CD⋅sin60°=4× =2√3，且∠CDF=30°，
2
1
因为AD=CD，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故∠ODF= ∠ADC−30°，
2
1 1
由A选项可知：cos∠ADC=− ，显然 ∠ADC为锐角，
7 2
1 √1+cos∠ADC √21 1 √ 3 2√7
故cos ∠ADC= = ，sin ∠ADC= 1− = ，
2 2 7 2 7 7
(1 ) 1 1 5√7
所以cos∠ODF=cos ∠ADC−30° =cos ∠ADC⋅cos30°+sin ∠ADC⋅sin30°= ，
2 2 2 14
2√21 5√7
所以⃗DO⋅⃗DF=|⃗DO|⋅|⃗DF|cos∠ODF= ×2√3× =10，D错误.
3 14
故选：ABC
1
20．在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin AsinBsinC= ，abc=16√2，则
8
（ ）
A．△ABC的面积为2 B．△ABC外接圆的半径为2√2
1 1 2
C．ab≤4 D．( + ) ≥32sinC
sinA sinB
【答案】ABD
a b c
【详解】设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理 = = =2R，
sin A sinB sinC
abc
得 =(2R) 3=128√2，解得R=2√2，B正确；
sin AsinBsinC1 1 c 1 16√2
△ABC的面积S= absinC= ab⋅ = ⋅ =2，A正确；
2 2 2R 2 4√2
1 4
由S= absinC=2，得ab= ≥4，C错误；
2 sinC
(sinA+sinB) 2 4
由sin A>0,sinB>0，得(sinA+sinB) 2≥4sin AsinB，即 ≥ ，
(sinAsinB) 2 sinAsinB
1 4 (sinA+sinB) 2
由sinAsinBsinC= ，得 =32sinC，因此 ≥32sinC，
8 sinAsinB (sinAsinB) 2
1 1 2
所以( + ) ≥32sinC，D正确．
sinA sinB
故选：ABD
三、填空题
21．如图，在平面凸四边形ABCD中，∠ADB=90°，CD=1，BC=2，AD=BD，∠BCD为钝角，
则对角线AC的最大值为 .
【答案】2+√2/√2+2
(π )
【详解】方法一：设∠BCD=θ,θ∈ ,π ，
2
BD2=1+4−2⋅1⋅2cosθ=5−4cosθ，
√5−4cosθ 2
BD=√5−4cosθ， = ，
sinθ sin∠BDC
2sinθ
∴sin∠BDC= ，
√5−4cosθ
△ACD中，AC2=1+5−4cosθ−2⋅1√5−4cosθ⋅cos ( ∠BDC+ π)
2
2sinθ
=6−4cosθ+2√5−4cosθ·sin∠BDC=6−4cosθ+2√5−4cosθ·
√5−4cosθ
=6+4√2sin( θ−
π
) ≤6+4√2=(2+√2) 2 ，当且仅当θ=
3π
时等号成立，∴AC≤2+√2.
4 4BD 2
方法二：设∠BCD=α，∠BDC=β，由 = ，
sinα sinβ
则BD⋅sinβ=2sinα，
BD2=1+4−2×2cosα=5−4cosα，
AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos (π +β )
2
=5−4cosα+1+2BD⋅CD⋅sinβ=5−4cosα+1+4sinα
=6+4√2sin( α−
π
) ≤6+4√2=(2+√2) 2 ，当且仅当α=
3π
时等号成立，
4 4
∴AC≤2+√2.
故答案为：2+√2.
2π
22．在△ABC中，D为BC边上一点，满足BD=6DC=6，∠BAC=∠ADC= ，则△ABC的面
3
积为 ．
7
【答案】 √3
2
【详解】因为BD=6DC=6，所以CD=1,BD=6,BC=BD+CD=7，
由题意得∠ACB=∠DCA，∠BAC=∠ADC，
CA CB CA 7
所以△CAB∽△CDA，所以 = ，即 = ，所以CA=√7，
CD CA 1 CA
2
在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+12−2×1×AD⋅cos π=7，
3
则AD2+AD−6=0，所以AD=2，或AD=−3（舍去），
1 π 7
所以△ABC面积S=7× ×2×1×sin = √3．
2 3 2
.
7
故答案为： √3．
21
23．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cos2C−cos2B+sin2A= sinAsinB= ，
2
且△ABC的面积为√3，则边c的值为 ．
【答案】√6
【详解】因为cos2C−cos2B+sin2A=sinAsinB，
所以1−sin2C−(1−sin2B)+sin2A=sinAsinB，
即sin2B+sin2A−sin2C=sinAsinB，
由正弦定理角化边得b2+a2−c2=ab，
a2+b2−c2 ab 1 π
所以cosC= = = ,C∈(0,π)⇒C= ，
2ab 2ab 2 3
a b c
由正弦定理 = = ，
sinA sinB sinC
ab c2
ab c2 = 3
所以 = 即 1 π ，化简得c2= ab，
sinAsinB sin2C sin2 2
2 3
1
又△ABC的面积为S = absinC=√3⇒ab=4,c2=6
△ABC 2
解得c=√6．
故答案为：√6.
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点
D，且BD=1，则4a+3c的最小值为 .
【答案】7+4√3
【详解】因为S =S +S ，
△ABC △ABD △BCD
1 1 1 1 1
所以 ac⋅sin120°= c×1×sin60°+ a×1×sin60°，所以ac=a+c，可得 + =1．
2 2 2 a c
(1 1) 3c 4a √3c 4a
所以4a+3c=(4a+3c) + =7+ + ≥7+2 ⋅ =7+4√3，
a c a c a c
3c 4a √3 2√3
（当且仅当 = ，即a=1+ ，c=1+ 时取等号）．
a c 2 3
故答案为：7+4√3．25．在△ABC中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，且a2=b2+c2+√3bc.已知a=√3，
S 为△ABC的面积，则S+3cosBcosC的最大值是 .
【答案】3
b2+c2−a2 √3
【详解】因为a2=b2+c2+√3bc，所以cosA= =− ，
2bc 2
5π
因为00,sinB>0，所以sinA=√3cosA，所以tanA=√3，
π π
因为A∈ ( 0, ) ，所以A=
.
2 3
a b
因为△ABC外接圆的半径为√3，所以 = =2√3，所以a=3,b=2√3sinB，
sinA sinBb2+a2 a2 3√3 ( 3 )
所以 =b+ =2√3sinB+ =2√3 sinB+ ，
b b 2sinB 4sinB
因为△ABC为锐角三角形，所以¿，所以 π
