文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题 10 解三角形问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（文））秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中
提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在 中， 分别为内角
所对应的边，其公式为：
若 ， ， ，则利用“三斜求积术”求 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，在结合已知“三斜求积术”即可求
的面积.
【详解】解：因为 ，由正弦定理 得： ，则
又由余弦定理 得：
则由“三斜求积术”得 .
故选：D.
二、填空题
2．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）某人从山的一侧 点看山顶的仰角为 ，然后沿从
到山顶的直线小道行走 到达山顶，然后从山顶沿下山的直线小道行走 到达另一侧的山脚 处在同一水平面内，山顶宽度忽略不计），则其从 点看山顶的仰角的正弦值为__________， 的最大值
为__________ ．
【答案】 ##0.75
【分析】由题意，作图，根据三角函数的定义以及图形关系，可得答案.
【详解】由题意，设山顶为点 ，过点 作 垂直与 所在的水平面，如下图所示：
则 ， ， ，
在 中， ， ；
在 中， ，易知 为从 点看山顶的仰角，即从 点看山顶的仰角的正弦值为
；
在 中， ，
由图可知， ，当且仅当 时等号成立，故 的最大
值为 .
故答案为： ； .
三、解答题
3．（2022·安徽·高三阶段练习）记 的内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求证：(2)若 的面积 ，求 的最大值，并证明：当 取最大值时， 为直角三角形.
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；(2)利用三角形的面积公式结合基本不等式即可求
解.
【详解】（1）
证明：由 ，
得 ，
代入 ，得 ，
所以 ，
由余弦定理，得 ，
所以 ，
所以 .
（2）由(1)知 ，
所以 的面积 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 .
下面证明当 ，即 时， 为直角三角形.
把 代入 ，得 ，
两边平方，得 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 为直角三角形.
4．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）在 中， ，点D在BC边上， ，
为锐角．
(1)求BD；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据余弦定理进行求解即可；
（2）根据两角和的正弦、余弦公式、余弦定理，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式和余弦公式
进行求解即可.
【详解】（1）在 中，
由余弦定理可知：
所以 ，或 ，
当 时，因为 为锐角，所以 ，
由余弦定理可知： ，不符合题意；
当 时，因为 为锐角，所以 ，
由余弦定理可知： ，符合题意，
因此 ；（2）由（1）可知 ，
因为 为锐角，所以 ，
因为 ，所以 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
因此 ，
，
所以
.
5.（2022·上海松江·一模）在三角形 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，已知
；
(1)求角 的大小；
(2)若 ，三角形 的面积为 ，求三角形 的周长；【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得 ，代入 化简可得 .
（2）利用面积公式可得 ， ，再根据余弦定理求解 进而可得边长.
【详解】（1）在 中，由正弦定理 ，可得 ，又由 ，得
，即 ， ，可得 ．又因为 ，可
得 ．
（2）由题意， ，故 ，即 ，故 ，由余弦定理
，解得 .
故三角形 的周长为
6．（2022·四川·石室中学高三期中（文））已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)设 的内角 所对的边分别为 ，若 ，求 的值.
【答案】(1)最小正周期为(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到 ，求出最小正周期；
（2）在第一问的基础上，求出 ，由余弦定理得到 ，得到 ， ，故 ，求出
.
【详解】（1）因为 ，
所以函数 的最小正周期为 .
（2）因为 ，所以 .
又 ，所以 ，故 ，解得： .
因为 ，所以 .
由余弦定理，得 ，
即 ，则 ，
所以 ，
所以 ，则 ，.
所以 .
7．（2022·山东·汶上县第一中学高三阶段练习）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
， ， .
(1)求角A的值；
(2)求 的面积.【答案】(1)
(2) 或3
【分析】（1）根据条件代入化简，结合正弦定理即可求得结果；
（2）根据余弦定理求得边 ，然后结合三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
在 中，因为 ，所以A为锐角，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的面积为 或3.
8．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））已知 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)若 ，求 外接圆的面积；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得 ，利用余弦定理，求得 ，即可求得
，再由正弦定理与圆的面积公式即可求解；
（2）由（1）得 ，根据 为锐角三角形，求得 ，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等
变换的公式化简得到 ，进而求得面积的取值范围.
【详解】（1）由题知： ，
由正弦定理可化为 ，
即 ，
由余弦定理知 ，
又 ，故 .
设 外接圆的半径为R，则 ，
所以 ，
所以 外接圆的面积为 .
（2）由（1）知： ，所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
又由正弦定理 ，得 ，所以 .
又 ，则 ，
所以 ，
故 面积的取值范围是 .
9．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）在 中，
.
(1)求角 ；
(2)若 为 中点，求 的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可；
（2）在 中由余弦定理可得 的长与 ，再在 中由余弦定理可得 ，再在 中
由余弦定理可得 即可.
【详解】（1）由正弦定理， ，因为 ，故 ，
则 ，即 .又 ，
故 ，故 ，故
（2）由余弦定理 ，故 ， .在 中由余弦定理可得 .
在 中由余弦定理可得 ，
故 .在 中由余弦定理 ，
即 的余弦值为 .
10．（2022·福建·厦门市湖滨中学高三期中） 内角A，B，C的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合两角和公式化简整理；（2）根据题意求得 ，
利用余弦定理和倍角公式可得解．
【详解】（1）因为
由正弦定理 ，
所以，
即 ，
故 .
（2）因为 ，又 ，
所以 .
.
【冲刺提升】
1．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）记锐角 的角 所对的边分别为 ．已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 边上的高的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由正弦定理边角互化得 ，再根据正切的和角公式得 ，
进而得 ；
（2）设 边上高为 ，垂足为 ， ，进而得 ， ，再结合（1）得
，进而根据 得 ，再解不等式即可得答案.【详解】（1）解：因为 ，
所以，由正弦定理边角互化可得：
所以，
因为 ，
所以，
所以 ．
因为
所以 .
（2）解：设 边上高为 ，垂足为 ，
设 ，则 ，
所以 ， ，
由（1）得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
解不等式 得 或 ；
解不等式 得 ，
因为所以
2．（2022·江苏南通·高三阶段练习）在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.
(1)求角B；
(2)若 的面积为 ，求b的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，利用商数关系和两角和与差的三角函数求解；
（2）利用三角形的面积公式，结合余弦定理，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解： ，
∴ ，
，
即 ，
∵ 为锐角三角形，
∴ ，
则 .
（2） ，
∴ ，
，当且仅当 时取“=”，
∴ .
3．（2022·北京·海淀实验中学高三阶段练习）已知在 中， ， ．(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① 周长为 ；② ；③ 面积为 ；④
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）原式可化为 ，可得 或 ，通过分析即可解得 ；
（2）由（1）知， ， .根据正弦定理，可推得 .
若选① 周长为 ，则 ， ，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选② ，可推得 ， ，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选③ 面积为 ，根据面积公式可推得 ， ，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选④ ，由（1）可推得 ，与条件 矛盾，即不存在这样的三角形.
【详解】（1）由 可得， ，
即 ，所以 ，
所以 或 .
当 ，即 时，又 ，所以 ；
当 时，
又 ，则由余弦定理知， ，
这与 矛盾，舍去.
所以， .（2）
若选①，由（1）知， ， .
由正弦定理可得 ，
又 周长为 ，所以 ， ，则 存在且唯一确定.
设 中点为 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得， ，
所以， ；.
若选②，即 ，由（1）知， ， .
则 ，根据正弦定理 ，可得 ，
则 存在且唯一确定.
设 中点为 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得， ，
所以， ；.若选③，即 面积为 .由（1）知， ， ，则 .
，所以 ，则 ，所以 ，
根据正弦定理 ，可得 ，
则 存在且唯一确定.
设 中点为 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得， ，
所以， ；.
若选④ .
由（1）知， ， .
根据正弦定理 ，可得 ，
与 矛盾，所以，不存在这样的 .
4．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且
．
(1)求角C的大小；(2)若 ， ，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理将边角进行转化后，凑余弦定理可得角C的大小；（2）余弦定理表示出角C，和
联立方程可得 的值，然后整体代入面积公式可求△ABC的面积.
【详解】（1）由 及正弦定理，
所以 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ．
（2）由余弦定理 ，
得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
5．（2022·全国·模拟预测）在锐角 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 ，
.(1)求角 的大小；
(2)求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出边 ，再利用正弦定理求出 ，最后结合锐角三角形求解即可；
（2）先利用三角形的面积公式得到 ，再利用正弦定理得 ，最后结合角 的范围及函
数的值域问题求解即可.
【详解】（1）由 ,
根据余弦定理可得 ，化简得 ，
由正弦定理 ，可知 ，
因为 为锐角三角形，所以 .
（2）由 .
由正弦定理得 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
则 ， ，
故 ，即 面积的取值范围为 .
6．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)设点 是边 的中点，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用诱导公式化简给定等式，再利用正弦定理边化角即可求解作答.
（2）根据给定条件，利用向量数量积的运算律及性质，结合均值不等式求解作答.
【详解】（1）在 中，依题意有 ，由正弦定理得：
，
而 ，即 ，则有 ，即 ，而 ，
所以 .
（2）在 中，由（1）知， ，又 ，点 是边 的中点，则 ,
于是得
，显然 ，当且仅当 时取等号，
因此 ， ，即 ，所以 的取值范围是 .
7．（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
．
(1)求 的取值范围；
(2)若 是 边上的一点，且 ， ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出 ，再根据三角变换公式化简 ，利用余弦函数的性质可求其取值范围；
（2）根据题设可得 ，平方后利用基本不等式可求 ，故可求面积的最大值.
【详解】（1）因为 ，故 ，
整理得到： 即 ，
故 ，而 为三角形内角，故 ，
所以 ，故 ，而 为锐角三角形内角，故 .,
因为三角形为锐角三角形，故 ，故 ，
故 ，故 ，故 .
（2）由题设可得 ，故 ，
整理得到： ，
故 即 ，
整理得到： ，
当且仅当 时等号成立，故 .
故三角形面积的最大值为 .
8．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 .已知 是
和 的等差中项， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）根据等差中项的性质有 ，再代入余弦定理可得 ，进而可得 ；
（2）由同角三角函数的关系可得 ，再根据正弦定理求解即可；
（3）先根据余弦定理可得 ，再根据两角和的正弦公式，结合二倍角公式求解即可.
【详解】（1）因为 是 和 的等差中项，故 ，
由余弦定理可得 ，即 ，化简有 ，
因为 ，故 ，故 ，即 .
（2）因为 ，故 ，
由余弦定理可得 ，故 .
（3）由题意， ，又 ，故 .
又 ， ，
故
9．（2022·江苏·昆山震川高级中学高三阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，若
2ccosB＝2a＋b．
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积为4 ，则3a2＋c2的最小值．
【答案】(1)
(2)80
【分析】（1）由已知结合正弦定理，以及三角形内角和性质求解即可；
（2）由（1） ，再根据面积公式有 ，再应用余弦定理可得 ，结合目标式有，利用基本不等式即可求最小值；
【详解】（1）由 及正弦定理可得 ，
∴ ，即 ，又 ，
故 ，又 ，故 ．
（2）因为 的面积为 ，所以 ，即 ，故 ，
由余弦定理可得 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为80．
10．（2022·河南开封·一模（文））在 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知
， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由三角形内角和的关系将 代换，再由正弦定理将边化角，求得角A，B的关系，解
出 的值；
（2）由第一问求得的 的值，根据余弦定理公式展开列方程求解 即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
得 ，因为 ，
由正弦定理，可得 ，
又 ，所以 ，
又因为A，B均为三角形内角，
所以 ，即 ，
又因为 ，即 ，
即 ，
又 ，得 ；
（2）若 ，则 ，
由（1）知 ，
由余弦定理 可得
，即 ，
所以 或 ，
当 时， ，则 ，即 为等腰直角三角形，
又因为 ，此时不满足题意，所以 ．
11．（2022·全国·模拟预测）在① ，② ，③ 且 这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______.
(1)△求证： ABC是等腰三角形；
(2)若D为△边BC的中点，且 ，求 ABC周长的最大值.
【答案】(1)条件选择见解析，证明见解△析
(2)
【分析】（1）条件①利用正弦定理进行边角互换得到 ，然后利用三角形内角和和诱导公式进行化简得到 ，即可得到△ABC是等腰三角形；
条件②利用商的关系化简得到 ，然后利用正弦定理得到 ，即可得到△ABC是等腰三角形；
条件③利用正弦定理和二倍角公式得到 ，即可得到 ，△ABC是等腰三角形；
（2）利用余弦定理和 得到 ，然后利用基本不等式求周长的最大值即可.
【详解】（1）方案一：选条件①.
由 及正弦定理，得 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，所以 或 （不合题意，舍去），
故△ABC是等腰三角形.
方案二：选条件②.
由 ，得 ，
所以 ，由正弦定理，得 ，故 ，
所以△ABC为等腰三角形.
方案三：选条件③.
由 及正弦定理，得
所以 ，得 ，
又 ， ，所以 或 ，
又 ，故 ，
所以△ABC为等腰三角形.
（2）由（1）知，△ABC为等腰三角形，且 .
在△ABD中，由余弦定理，得 ，化简得 .
设△ABC的周长为l，则 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以△ABC周长的最大值 .
12．（2022·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， 的外
接圆半径为 ．
(1)求角A；
(2)求 周长的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）首先根据正弦定理，边化为角，再利用三角恒等变形，求角 ;
（2）首先利用正弦定理求 ，再结合余弦定理和基本不等式求 的最大值，即可求周长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 的外接圆半径为 ，所以 ，所以 ．
由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 周长的最大值为6．
