文档内容
秘籍 03 解三角形
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：正弦定理的边角互化
易错点二：判断三角形个数
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】最值与范围：角与对边
【题型二】最值与范围：角与邻边
【题型三】范围与最值：有角无边型
【题型四】 三大线：角平分线应用
【题型五】 三大线：中线应用
【题型六】 三大线：高的应用
【题型七】 图形：内切圆与外接圆
【题型八】 图形：“补角”三角形
【题型九】 图形：四边形与多边形
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题、解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 正余弦定理求边，求角。作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，
无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新
题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。
今年从九省联考的试卷可以看出，新结构试卷中把原有的解三角形大题弱化了，新结构试卷解三角形
的位置会在选填中考察，出现在大题的机率也是有的，即使出现难度也是不大的，所以基础题型和小题中
对于正余弦定理的运用就需要掌握的透彻。
易错点一：正弦定理的边角互化
1. 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
易错提醒：
1. 在用正弦定理进行边角互化时需要注意2R的存在，等式两边2R的数量一致才可相消。
2.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，
A>B a>b sin A>sin B.
例（2024·辽宁辽阳·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则
⇔ ⇔
的最小值为 .
变式1：（2024·四川凉山·二模）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 ．
易错点二：判断三角形个数
1.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关 系
a＝bsin A bsin Ab
式
解 的
一解 两解 一解 一解
个数
例 （2022·江苏南通·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，则下列条件能确定三角
形有两解的是（ ）A．
B．
C．
D．
变式1：（2022高三·全国·专题练习）在 中， ， ，若角 有唯一解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型一】最值与范围：角与对边
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边 的齐次式或关于角的正弦
的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三
角函数形式，利用此角的范围求得结论．
【例1】（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知 的内角 的对边分别是 .若
，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【例2】（2024·海南省直辖县级单位·一模）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 、 、 的对边分别是 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 边上一点， ， ，求 的面积．【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 的面积
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 ．
【变式2】（2024·云南贵州·二模） 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的值；
(2)若 的面积为 ，求 .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
．
(1)求角 ；
(2)设 是 的高，求 的最大值．
【题型二】 最值与范围：角与邻边
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化
为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。
涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时
可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边
的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大
【例1】（2024·安徽阜阳·一模）在 中，角 的对边分别是 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 ，求 的面积．
【例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）在锐角 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.【变式1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为 ，则能使同时满足
条件 的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·河北·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角C的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
【变式 3】（2024·广东佛山·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ，
．
(1)求角 的大小；
(2)如图， 为 外一点， ， ，求 的最大值．
【题型三】 范围与最值：有角无边型
【例1】（2024·北京石景山·一模）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围．
【例 2】（2024·吉林延边·一模）已知 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
．
(1)求B；
(2)若点D在AC上，且 ，求 ．【变式1】（2024·广东湛江·一模）已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 外接圆的直径为 ，求 的取值范围．
【变式2】（2023·陕西·模拟预测） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
【变式3】（2012·广西南宁·一模）已知在 中，角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)设向量 ，求当 取最大值时， 的值．
【题型四】 三大线：角平分线应用
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
【例1】（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中， 的角平分线交 BC于P点，
.
(1)若 ，求△ABC的面积;(2)若 ，求BP的长.
【例2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在 中， 分别为边 所对的角，且满足
.
(1)求 的大小；
(2) 的角平分线 交 边于点 ，当 时，求 .
【例3】（2024·四川·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 的角平分线交 于 ，求 的长.
【变式1】（2024·四川遂宁·二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C；
(2)若CD是 的角平分线， ， 的面积为 ，求c的值．
【变式2】（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数 ．
(1)若方程 在 上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；
(2)在 中，若 ，内角A的角平分线 ， ，求AC的长度．
【变式3】（2024·四川广安·二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 是 的角平分线， ， 的面积为 ，求 的值.
【题型五】 三大线：中线应用
中线的处理方法1.向量法：
2. 双余弦定理法（补角法）：
如图设 ，
在 中，由余弦定理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，②
因为 ，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的两三角形面积相等
【例1】（2023·浙江·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 且
，
(1)求 ；
(2)求 边上中线长的取值范围．
【例2】（2023·河北沧州·三模）在 中，角A， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
，且 的面积为 .若 ， 边上的两条中线 ， 相交于点 ，如图所示.(1)求 的余弦值；
(2)求 的值.
【例3】（2023·吉林长春·一模）在 中， 为 边上中线， ， ， ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 ．
【变式1】（2023·新疆阿勒泰·三模）在 中， ， 为 边上的中线且 ，则
的取值范围是 ．
【变式2】（23-24高三上·河北唐山·期末）在 中，角 的对边分别为 ，
(1)求 ；
(2)设 边的中线 ，且 ，求 的面积 ．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 的中线 ，求 的最大值．
【题型六】 三大线：高的应用
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：【例1】（2024·四川·模拟预测）在 中， ， ，且 ，则 边上的高 .
【例2】（2024·全国·一模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．
．
(1)求角A；
(2)若 ， ，求AD．
【例3】（23-24高三下·山东济南·开学考试）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，且 边上的高为 ，求 的周长.
【变式1】（2021·湖南株洲·三模）已知 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且 ，求 面积的最小值．
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 边上的高.
【变式3】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
a，b，c为边长的正三角形的面积依次为 ， ， ，且 ．
(1)求角A；
(2)若 ，D为线段BC延长线上一点，且 ， ，求 的BC边上的高．
【题型七】 图形：内切圆与外接圆外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角
形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径
内切圆：等面积构造法求半径
【例1】（2024·吉林·二模）已知 的三个内角 的对边分别为 的外接圆半径为 ，
且 .
(1)求 ;
(2)求 的内切圆半径 的取值范围
【例2】（2023·安徽合肥·模拟预测）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意
三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶
点”.如图，在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，且 .以
△
为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 .
(1)求角 ；(2)若 的面积为 ，求 的周长.
【例3】（2023·江苏镇江·三模）在凸四边形 中， .
(1)若 .求 的长；
(2)若四边形 有外接圆，求 的最大值.
【变式 1】（2024 高三·江苏·专题练习）已知点 M 为直角 外接圆 O 上的任意一点，
，则 的最大值为 ．
【变式2】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知四边形 的外接圆面积为 ，且
为钝角，
(1)求 和 ；
(2)若 ，求四边形 的面积．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 平分
，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的外接圆和内切圆的面积之比．
【题型八】 图形：“补角”三角形
【例1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在 中， ，D是斜边 上的一点，
， .
(1)若 ，求 和 ；
(2)若 ，证明： .【例2】（2024·福建·模拟预测）在 中，D为BC的中点，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
【变式1】（2024·甘肃陇南·一模）在 中，内角A，B，C的对边分别为 .已知
(1)求b；
(2)D为边 上一点， ，求 的长度和 的大小.
【变式2】（2023·全国·模拟预测）在① ；② 这两个条
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
(1)求C；
(2)点D在边AB上，且 ， ，求 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【题型九】 图形：四边形与多边形
【例1】（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形 中，
的面积为 ．
(1)求 ；
(2)证明： ．
【例2】（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，在平行四边形 中，有：
.(1)求 的大小；
(2)若 ，求平行四边形 的面积.
【变式1】（2022·全国·模拟预测）如图，四边形 为梯形， ， ，
， ．
(1)求 的值；
(2)求 的长．
【变式2】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆 的半径为2，直线 与圆 相切于点
，圆 上的点 从点 处逆时针转动到最高点 处，记 .
(1)当 时，求 的面积；
(2)试确定 的值，使得 的面积等于 的面积的2倍.
【变式3】（2024·四川凉山·二模）如图，在平行四边形 中，E，F分别是AD，CD的中点，且
， ， ，则平行四边形 的面积为 ．
