文档内容
全等变化模型四 三垂直模型
【模型展示】
【模型图解】
【模型条件】 【模型结论】
图1
∠B=∠C=∠AED,AB=EC BC=AB+DC
图2
∠ABC=∠C=∠AFD,AB=BC AB=CD+EC
图3
∠ABC=∠ABE=∠AHD,AB=BC, BC=AD+BE
图4
∠ABC=∠C=∠AED,AB=BC AB=DE+DC
图5
∠ABC=∠D=∠AED,AB=BC AE=ED+DC
图6 ∠ABC=∠E=∠BDC,AB = BC CD=DE+AE
【结论证明】请选取图1、图3、图5分别证明【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等的直角三角形绕平面上一点
旋转而得；
从图形的结构分析，除一组对应边相等外，只需两直角三角形
一组非对应角互余即可得全等。
【知识链接】同角的余角相等、边的数量关系（等量代换）
【模型总结】
①三垂直模型中有很多边的数量关系，如图解表中所示；
②三垂直模型对应边的夹角相等，一般为90°（图4除外）；
③三垂直模型易形成等腰直角三角形，解题时要灵活运用。
【模型巩固】
【例4-1】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝
1cm，求DE的长．
【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CD＝BE＝1（cm），CE＝AD＝2.5（cm），
∴DE＝＝2.5﹣1＝1.5（cm）．【例4-2】如图所示，直线MN一侧有一个等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB．直线MN过
顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为点E，F，∠CAB的角平分线AG交
BC于点O，交MN于点G，连接BG，恰好满足AG⊥BG．延长AC，BG交于点D．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求证：AC+CO＝AB．
【解答】证明：（1）∵AE⊥MN，BF⊥MN，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝∠FCB+∠ECA＝90°．
∴∠EAC＝∠FCB．
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴CE＝BF；
（2）∵∠ACB＝90°，AG⊥BG，
∴∠CAO＝∠CBD．
在△ACO和△BCD中，
，
∴△ACO≌△BCD（ASA），
∴CO＝CD．
∴AC+CO＝AC+CD＝AD．
∵AG平分∠CAB，AG⊥BG，
∴∠D＝∠ABD．
∴AD＝AB．
综上，AC+CO＝AB．
【例4-3】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．
（1）求证：AB+CD＝BC．如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．
（2）求证：点P是BC的中点.
【解答】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，
∴△BAP≌△CPD（AAS），
∴BP＝CD，AB＝PC，
∴BC＝BP+PC＝AB+CD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（BE+EP）=BP，
∴点P是BC的中点.
【例 4-4】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上，
AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求证：∠AEM＝∠DEM．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△BCF和△CAE中，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF＝CE，
（2）连接FM，CM，∵△BCF≌△CAE，∴AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，
∵点M是AB中点，
∴CM＝ AB＝BM＝AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
在△BFM和△CEM中，
，
∴△BFM≌△CEM（SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴∠MEF＝∠MFE＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠MED＝∠AEM＝45°．
【例4-5】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．
【解答】（1）证明：如图1，
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，AD＝CE．
∴DE＝DC+CE＝AD+BE，即DE＝AD+BE；
（2）△DOE等腰直角三角形，
理由如下：如图2，连接OC，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO＝360°，
∴∠EBO+∠ECO＝180°，且∠DCO+∠ECO＝180°，
∴∠DCO＝∠EBO，且DC＝BE，CO＝BO，
∴△DCO≌△EBO（SAS），
∴EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，
同理可证：△ADO≌△CEO，
∴∠AOD＝∠COE，
∵∠AOD+∠DOC＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°，且DO＝OE，
∴△DOE是等腰直角三角形．
【模型拓展】
【拓展4-1】如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为
腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图 3，已知点 F坐标为（﹣2，﹣2），当 G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作
Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点
H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；
②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB＝90°,∠OAB+∠OBA＝90°
则∠MAC＝∠OBA
在△MAC和△OBA中，
则△MAC≌△OBA（AAS）
则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；
（2）过D作DQ⊥OP于Q点，
如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°
∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，
则△AOP≌△PDQ（AAS）
∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；
（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，
如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
则FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，
在△FSH和△FTG中，则△FSH≌△FTG（AAS）
则GT＝HS，
又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），
∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，
∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，
则﹣2﹣m＝n+2，
则m+n＝﹣4．
【拓展4-2】如图：已知 、 ，且 、 满足 ．
（1）如图1，求 的面积；
（2）如图2，点 在线段 上（不与 、 重合）移动， ，且 ，猜想线段
、 、 之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若 为 轴上异于原点 和点 的一个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转
至 ，直线 交 轴 ，点 ，当 点在 轴上移动时，线段 和线段 中，请判断哪条
线段长为定值，并求出该定值．
【解答】（1）解： ， ， ，
， ，
、 ，
， ，的面积 ；
（2）证明：将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
，
， ，
，
，
在 与 中， ，
， ， ，故 ．
（3） 是定值，作 于 ，在 上截取 ，
，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
即： ，
，
，
，
．
