文档内容
热点 6-1 空间几何体的交线与截面问题
空间几何体的交线与截面问题既是高考数学的热点，也是难点，往往在高考的选填压轴题中出现，难度较
大。此类题目综合考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力，处理这类问题的基本思路是借助空间点线面
的位置关系和相应的定理，将空间问题平面化。
【题型1 作出空间几何体的截面】
满分技巧
1、作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线；（2）凡是相交的直线都要画出它们
的交点；（3）凡是相交的平面都要画出它们的交线；
2、作交线的方法有如下两种：（1）利用基本事实3作直线；（2）利用线面平行及面面平行的性质定理
去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线。
【例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体 的棱长为8， ， ， 分别是 ，
， 的中点．
（1）画出过点 ， ， 的平面与平面 的交线；
（2）设平面 ，求 的长．【变式1-1】（2024·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）如图，正方体 的棱长为
分别为棱 的中点.
（1）请在正方体的表面完整作出过点 的截面，并写出作图过程；（不用证明）
（2）求点 到平面 的距离.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱 的底面为正方形，
为 的中点．
（1）请在直四棱柱 中，画出经过 三点的截面 并写出作法（无需证明）．
（2）求截面 的面积．
【变式1-3】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）如图，已知在正三棱柱 中， ，三棱
柱外接球半径为 ，且点 分别为棱 ， 的中点．（1）过点 作三棱柱截面，求截面图形的周长；
（2）求平面 与平面 的所成角的余弦值．
【题型2 判断截面多边形的形状】
满分技巧
判断截面多边形形状时需要注意以下几点：
1、截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。
2、不会与同一个表面有两条交线。
3、与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）
4、截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系
【例2】（2024·广东深圳·高三统考期末）（多选）在正方体 中，用垂直于 的平面截
此正方体，则所得截面可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式2-1】（2023·江西宜春·高三宜丰中学校考阶段练习）在长方体 中， 、
， 、 分别为棱 、 的中点，点 在对角线 上，且 ，过点 、 、 作一个
截面，该截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式2-2】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）如图，在正方体 中， 分别
为棱 的中点，过 三点作该正方体的截面，则（ ）
A．该截面是四边形
B． 平面
C．平面 平面
D．该截面与棱 的交点是棱 的一个三等分点【变式2-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）（多选）已知直三棱柱 ， ，
， ， ， ，平面EFG与直三棱柱
相交形成的截面为 ，则（ ）
A．存在正实数 ， ， ，使得截面 为等边三角形
B．存在正实数 ， ， ，使得截面 为平行四边形
C．当 ， 时，截面 为五边形
D．当 ， ， 时，截面 为梯形
【题型3 求解截面多边形的周长】
满分技巧
求解截面多边形的周长有两个思路：（1）利用多面体展开图进行求解；（2）在各个表面确定交线，分
别利用解三角形进行求解。
【例3】（2024·四川成都·高三树德中学校考期末）如图，已知正方体 的棱长为 为
的中点，过点 作与直线 垂直的平面 ，则平面 截正方体 的截面的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，
用过点 ，E， 的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A． B．9 C． D．【变式3-2】（2023·全国·高三对口高考）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
， 为线段 上的一动点，则过 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为
．
【变式3-3】（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱 中， ，点 分
别是 ， 的中点，则过点 的平面截正四棱柱 所得截面多边形的周长为
（ ）
【变式3-4】（2024·河北廊坊·高三文安县第一中学校联考期末）如图所示，正四棱台 中，
上底面边长为3，下底面边长为6，体积为 ，点 在 上且满足 ，过点 的平面 与平
面 平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求解截面多边形的面积】
满分技巧
求解截面多边形的面积问题的步骤：（1）通过解三角形求得截面多边形各边的长度；（2）判断多边形
的形状是否规则，若为规则图形可直接使用面积公式求解；否则可通过切割法将多边形分为多个三角形
求解。
【例4】（2023·四川南充·统考一模）如图，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的
中点，则平面 截正方体所得的截面面积为（ ）A． B． C．9 D．18
【变式4-1】（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，四边形AABB是
1 1 1 1 1
矩形，D是棱CC 的中点，CC =AC=4， ，AB=3， ， 过点D作平面 平面 ，
1 1
则平面 截三棱柱ABC-ABC 所得截面面积为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知正三棱锥 底面边长为1，侧棱长为
2，过棱 的中点 作与该棱垂直的截面分别交 ， 于点 ， ，则截面 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·山西大同·高三大同一中校考阶段练习）已知正方体 的棱长为3，点
分别在棱 上，且满足 为底面 的中心，过 作截面，则所得截
面的面积为 .
【变式4-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知棱长为4的正四面体 ，用所有与点A，B，
C，D距离均相等的平面截该四面体，则所有截面的面积和为（ ）
A． B． C． D．【题型5 截面分割几何体的体积问题】
满分技巧
截面分割后的几何体易出现不规则的几何体，对此往往采用“切割法”或“补形法”进行体积的求解。
【例5】（2023·河北衡水·衡水中学校考一模）已知正三棱柱 ，过底边 的平面与上底面交
于线段 ，若截面 将三棱柱分成了体积相等的两部分，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知正方体 ，棱 的
中点分别为 ，平面 截正方体得两个几何体，体积分别记为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·浙江湖州·高三统考期末）在正四棱锥 中，底面 的边长为 为正
三角形，点 分别在 上，且 ，若过点 的截面交 于点 ，则四
棱锥 的体积是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·江苏扬州·高邮中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， ， 是棱
AB上一点，若平面 把三棱柱 分成体积比为 的两部分，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的几何体中， ， 平面 ，
， ， ， .（1）证明： 平面 ；
（2）过点 作一平行于平面 的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面 之
间的几何体的体积.
【题型6 截面最值的相关问题】
满分技巧
截面最值问题的计算，主要由以下三种方法：
1、极限法：通过假设动点运动至两端，计算最值（需注意判断是否单调）；
2、坐标法：通过建系设坐标，构造对应的函数进行求解；
3、化归法：通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中的最值计算。
【例6】（2024·四川·校联考模拟预测）设正方体 的棱长为1，与直线 垂直的平面 截
该正方体所得的截面多边形为 ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知直三棱柱 中，
，过点 的平面 分别交棱AB，AC于点D，E，若直线 与平面 所成角为 ，则
截面三角形 面积的最小值为 ．
【变式6-2】（2024·山东烟台·高三统考期末）如图，在直三棱柱 中， ，
，则该三棱柱外接球的表面积为 ；若点 为线段 的中点，点 为线段 上一动点，
则平面 截三棱柱 所得截面面积的最大值为 .【变式6-3】（2024·广西·模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
，点 为棱 上一点，过点 作三棱锥 的截面，使截面平行于直线 和 ，当该
截面面积取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2023·广西·高三统考阶段练习）在棱长为2的正方体 内，放入一个以 为
铀线的圆柱，且圆柱的底面所在平面截正方体所得的截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为 ．
【题型7 球的截面问题】
满分技巧
求解球的截面问题的要点：（1）确定球心与半径；（2）寻找作出并计算截面与球心的距离；（3）充分
利用“球心做弦的垂线，垂足是弦中点”这个性质；（4）强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。
【例7】（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）球的两个平行截面面积分别为 和 ，球心到这两个截
面的距离之差等于1，则球的直径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式7-1】（2024·陕西榆林·统考一模）已知 是球 的直径 上一点， ， 平面 ，
为垂足， 截球 所得截面的面积为 ， 为 上的一点，且 ，过点 作球 的截面，则所
得的截面面积最小的圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·河北邢台·高三统考期末）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 中， 平面 ， ， ，以 为球心， 为半径的
球面与侧面 的交线长为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）三棱锥 的四个顶点都在表面积为
的球O上，点A在平面 的射影是线段 的中点， ，则平面 被球O截得的截面面
积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2024·山东滨州·高三统考期末）已知直四棱柱 的所有棱长均为4，
，以A 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为 ．
【题型8 圆锥的截面问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）某圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形，过该圆锥的两
条母线作圆锥的截面，当截面面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【变式8-1】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为 ，设圆锥
顶点为P，平面 为经过圆锥顶点的平面，且与直线 所成角为 ，设平面 截球O和圆锥所得的截面
面积分别为 ， ，则 .
【变式8-2】（2024·广东中山·中山纪念中学校考二模）已知球 的体积为 ，高为1的圆锥内接于球
O，经过圆锥顶点的平面 截球 和圆锥所得的截面面积分别为 ，若 ，则【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）图，在圆锥 中，已知高 .底面圆的半径为2，
为母线 的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则
下面四个命题中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆的面积为
C．椭圆的长轴长为 D．双曲线两渐近线的夹角
【变式8-4】（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图，用一垂直于某条母线的平面截一顶角正弦值
为 的圆锥，截口曲线是椭圆，顶点A到平面的距离为3.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知P在椭圆上运动且不与长轴两端点重合，椭圆的两焦点为 ， ，证明：二面角 的
大小小于 .
（建议用时：60分钟）
1．（2024·全国·高三专题练习）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆
M，若圆M的面积为 ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）在正方体 中，E，F分别为棱 ， 的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为 ，最大值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川宜宾·高二四川省兴文第二中学校校考开学考试）如图，在三棱柱 中，过
的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为 的
两部分，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川·校联考一模）设正方体 的棱长为1，与直线 垂直的平面 截该正方体
所得的截面多边形为M．则下列结论正确的是（ ）．
A．M必为三角形 B．M可以是四边形
C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值
5．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 两两垂直，且
，以 为球心， 为半径作球，则球面与底面 的交线长度的和为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知正方体 的棱长为 ， 为
的中点， 为棱 上异于端点的动点，若平面 截该正方体所得的截面为五边形，则线段 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南南阳·高三统考期末）（多选）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（
）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
8．（2023·辽宁朝阳·高三校联考期中）（多选）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为a．现准备
将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）
A．过棱AC的截面中，截面面积的最小值为
B．若过棱AC的截面与棱BD（不含端点）交于点P，则 的最小值为
C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个
9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）正三棱台 中， ， ，点 ， 分别为
棱 ， 的中点，若过点 ， ， 作截面，则截面与上底面 的交线长为 ．
10．（2023·重庆·高三校联考阶段练习）如图，已知正方体 的棱长为4， ， ， 分
別是棱 ， ， 的中点，平面 截正方体 的截面面积为 .
11．（2023·广西河池·校联考模拟预测）已知四棱锥 中，底面 为直角梯形， 平面
， ， ， ， ， 为 中点，过 ， ， 的平面截四
棱锥 所得的截面为 ．（1）若 与棱 交于点 ，画出截面 ，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明 ．
（2）求多面体 的体积．
12．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图，直三棱柱 中，点D，E分别为棱
的中点， ．
（1）设过A，D，E三点的平面交 于F，求 的值；
（2）设H在线段 上，当 的长度最小时，求点H到平面 的距离．
