文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题 10 解三角形问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ________．
【答案】 ##
【分析】设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1， ），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
， ，
， ，
令 ，则 ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
[方法四]：判别式法
设 ，则在 中， ，
在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 .
2.（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三
角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系求得 ，
再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.【详解】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
3．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结
合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1．正弦定理或余弦定理独立命题；
2．正弦定理与余弦定理综合命题；
3．与三角函数的变换结合命题；
4．考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考
查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体
几何、解析几何等结合考查.．
（二）本专题考向展示考点突破 典例分析
考向一 正弦定理的应用
【核心知识】
正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
【典例分析】
典例1.（2022·西藏·日喀则市江孜高级中学高三期中）已知 中， ， ， 则B等于
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】已知两边一角，由正弦定理可求角B的正弦值，进而得到角B的大小.
【详解】解： ， ， ，
由正弦定理 ，得 ，
，
，
而 ，则 或 ，
故选：C.典例2.（2021·浙江省义乌中学高三阶段练习）在 中，已知 ，且 边上的高为 ，
则 ______； ______．
【答案】 4
【分析】作图，根据图像中的几何关系，求出BC，再运用正弦定理即可求解.
【详解】依题意作下图，图中 ，垂足为D，则有 ，
是等腰直角三角形， ，
，
由正弦定理得： ，解得 ；
故答案为：①4，② .
VABC
典例3.（2019·全国高考真题（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，
则B=___________.
3
【答案】 4 .
【解析】
sinBsin Asin AcosB 0 A(0,),B(0,) sin A0, sinBcosB 0
由正弦定理，得 ． ， 得 ，即
3
B .
tanB1， 4 故选D．【规律方法】
1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应
引起注意．
3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角 A为钝角或直角
图形
bsin A＜a
关系式 a＜bsin A a＝bsin A a≥b a＞b a≤b
＜b
解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解
考向二 余弦定理的应用
【核心知识】
a2 b2 c2 2abcosC b2 c2 a2 2accosA c2 a2 b2 2accosB
余弦定理： ， ， .
变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝
【典例分析】
典例4.（2021·浙江·高考真题）在 中， ，M是 的中点， ，则
___________， ___________.
【答案】
【分析】由题意结合余弦定理可得 ，进而可得 ，再由余弦定理可得 .
【详解】由题意作出图形，如图，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，解得 （负值舍去），
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ；
在 中，由余弦定理得 .
故答案为： ； .
典例5.（2020·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化为 ，
即可解出；
（2）根据余弦定理可得 ，将 代入可找到 关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
即 ①，
又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
典例6.（2021·全国·高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余弦定
理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .【总结提升】
利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
考向三 三角形中边角计算
【核心知识】
1. 三角恒等变换公式
2. 正弦定理
3. 余弦定理
【典例分析】
典例7.（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（理））在 中，已知 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求cosB和a的值．
【答案】(1) 或
(2) ，
【分析】（1）由 可求 ，再由 ，用正弦定理算出 ，可得 .
（2） ，结合已知条件可求值，再用余弦定理求a的值.
【详解】（1） ABC中，因为 ，所以 ．
△
由正弦定理得： ， 所以 ．
所以 或 ．
（2） ，则 ，所以 （ 舍去）．此时 ， ， ， ，
所以 ．即 ．
由余弦定理得： ，即 ，由 ，解得： .
典例8.（2021·全国·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边
上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得 的值.
【详解】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性
质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三
角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与
余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
典例9. （2022·全国·高考真题（文））记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；(2)证明：
【答案】(1) ；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根
据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
（1）
由 ， 可得， ，而 ，所以
，即有 ，而 ，显然 ，所以， ，
而 ， ，所以 ．
（2）
由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【规律方法】考向四 三角形面积、周长问题
【核心知识】
面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B
【典例分析】
典例11.（2022·浙江·高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）先由平方关系求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论 以及 可解出 ，即可由三角形面积公式 求
出面积．
（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
（2）
因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
典例12.（2022·全国·高考真题（理））记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
典例13.（2021·宁夏·永宁县第二中学（永宁县回民高级中学）模拟预测（文））在 中，内角 ， ，
的对边分别为 ， ， ，满足 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出结果；
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式应用求出结果．
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得：
，
所以 ，因为 ，所以 ，
由于 ，所以 ．
（2）由于 ，
所以 ，解得 ．
在 中，由余弦定理可得： ，整理得 ，所以 ，所以 ．
故三角形的周长为 ．
考向五 三角形范围和最值问题
【核心知识】
1. 辅助角公式
2. 均值不等式
【典例分析】
典例14. （2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知在 中，角 的对边分别为 ， ，
， 且 ．
(1)求 ；
(2)求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式与正弦的和差公式结合正弦定理的边角变换，得到 ，从
而得到 ，由此可得 ；
（2）利用余弦定理及基本不等式得到 ，从而得到 ，据此解答即可.
【详解】（1）由已知可得 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，即 ，则，
因为 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）由余弦定理可得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 面积的最大值为 ．
典例15.（2020·全国·高考真题（理）） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得 ；
（2）方法一：利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进
而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设 ，则 ，根据正弦定理可知 ，所以
，当且仅当 ，即 时，
等号成立．此时 周长的最大值为 ．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得 ，即 ．令
，得 ，易知当 时，
，
所以 周长的最大值为 ．
典例16. （2022·湖北·高三阶段练习）已知在 中，边 , , 所对的角分别为 ， ， ，
.
(1)证明： , , 成等比数列；
(2)求角 的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)结合内角和关系，通过三角恒等变换化简条件等式可得 ，再利用正弦定理化角为
边即可证明；(2)根据余弦定理和基本不等式可求 的最小值，由此可得角 的最大值.
【详解】（1）通分化简可得 ，
，即 ，
即 ，
整理得 ，由正弦定理可得 ，所以a､b､c成等比数列；
（2）由（1）可得 ，又 ，所以 ，当且仅当
即 为正三角形时等号成立，所以 的最大角为 .
【规律方法】
三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转
化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
考向六 数学文化与实际应用
【核心知识】
实际问题中的有关概念
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图
1)．
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．(4)坡度：
①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．
②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．
【典例分析】
典例17.（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有
A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C点测得
B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面 的高
度差 约为（ ）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 ，进而得到答案．【详解】
过 作 ，过 作 ，
故 ，
由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ．
所以 ．
因为 ，所以
在 中，由正弦定理得：
，
而 ，
所以
所以 ．
故选：B．
典例18.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种
方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ___________．【答案】 .
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为 ，所以 ．
故答案为： .
【总结提升】
求解高度问题的三个关注点
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是
关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一
个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
