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专题 10 解三角形
1．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计
算圆弧长度的“会圆术”，如图，A´B是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，
D在A´B上，CD⊥AB．“会圆术”给出A´B的弧长的近似值s的计算公式：
CD2
s=AB+ ．当OA=2,∠AOB=60°时，s=（ ）
OA
11−3√3 11−4√3 9−3√3 9−4√3
A． B． C． D．
2 2 2 2
2．【2021年甲卷文科】在 中，已知 ， ， ，则
（ ）
A．1 B． C． D．3
3．【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第
一题是测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面
且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目
距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高C． 表距 D． 表距
4．【2020年新课标3卷理科】在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=
（ ）
A． B． C． D．
5．【2019年新课标1卷文科】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA
－bsinB=4csinC，cosA=－ ，则 =
A．6 B．5 C．4 D．3
6．【2018年新课标2卷理科】在 中， ,BC=1,AC=5，则AB=
A． B． C． D．
7．【2018年新课标3卷理科】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若
的面积为 ，则
A． B． C． D．
8．【2022年全国甲卷】已知△ABC中，点D在边BC上，
AC
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当 取得最小值时，BD=________．
AB
9．【2021年乙卷文科】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，
， ，则 ________．
10．【2020年新课标1卷理科】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，
，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.11．【2019年新课标2卷理科】 的内角 的对边分别为 .若
，则 的面积为__________.
12．【2019年新课标2卷文科】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
bsinA+acosB=0，则B=___________.
13．【2018年新课标1卷文科】△ 的内角 的对边分别为 ，已知
， ，则△ 的面积为________．
14．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
15．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)证明：2a2=b2+c2；
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(2)若a=5,cosA= ，求△ABC的周长．
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16．【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cosA sin2B
= ．
1+sin A 1+cos2B2π
(1)若C= ，求B；
3
a2+b2
(2)求 的最小值．
c2
17．【2022年新高考2卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，
√3 1
b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S ,S ,S ，已知S −S +S = ,sinB= ．
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)求△ABC的面积；
√2
(2)若sin AsinC= ，求b．
3
18．【2021年新高考1卷】记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知
，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
19．【2021年新高考2卷】在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，
， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明
理由．
20．【2020年新课标1卷文科】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
21．【2020年新课标2卷理科】 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
22．【2020年新课标2卷文科】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
23．【2020年新高考1卷（山东卷）】在① ，② ，③ 这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不
存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
24．【2019年新课标1卷理科】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
25．【2019年新课标3卷理科】 的内角 的对边分别为 ，已知
．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
26．【2018年新课标1卷理科】在平面四边形 中， ， ，
， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
