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专题 10 解三角形
1．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计
算圆弧长度的“会圆术”，如图，A´B是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，
D在A´B上，CD⊥AB．“会圆术”给出A´B的弧长的近似值s的计算公式：
CD2
s=AB+ ．当OA=2,∠AOB=60°时，s=（ ）
OA
11−3√3 11−4√3 9−3√3 9−4√3
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，
即OD=OA=OB=2，
又∠AOB=60°，
所以AB=OA=OB=2，
则OC=√3，故CD=2−√3，
CD2 (2−√3) 2 11−4√3
所以s=AB+ =2+ = .
OA 2 2故选：B.
2．【2021年甲卷文科】在 中，已知 ， ， ，则
（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】
设 ，
结合余弦定理： 可得： ，
即： ，解得： （ 舍去），
故 .
故选：D.
【点睛】
利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
3．【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第
一题是测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面
且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目
距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知， ，而 ，所以
，而 ，
即 ＝ ．
故选：A.【点睛】
本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
4．【2020年新课标3卷理科】在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案.
【详解】
在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5．【2019年新课标1卷文科】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA
－bsinB=4csinC，cosA=－ ，则 =
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】【分析】
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得 ，由余弦定理推论可得
，故选A．
【点睛】
本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
6．【2018年新课标2卷理科】在 中， ,BC=1,AC=5，则AB=
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以 ，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件
灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
7．【2018年新课标3卷理科】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若
的面积为 ，则
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
【详解】
分析：利用面积公式 和余弦定理 进行计算可得．
详解：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．
8．【2022年全国甲卷】已知△ABC中，点D在边BC上，
AC
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当 取得最小值时，BD=________．
AB
【答案】√3−1##−1+√3
【解析】
【分析】
AC2
设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
AB2
【详解】
设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4−4m，
AC2 4m2+4−4m 4(m2+4+2m)−12(1+m) 12
= = =4−
所以AB2 m2+4+2m m2+4+2m 3
(m+1)+
m+1
12
≥4− =4−2√3
√ 3 ，
2 (m+1)⋅
m+13
当且仅当m+1= 即m=√3−1时，等号成立，
m+1
AC
所以当 取最小值时，m=√3−1.
AB
故答案为：√3−1.
9．【2021年乙卷文科】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，
， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可得 ，再结合余弦定理即可得解.
【详解】
由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .
10．【2020年新课标1卷理科】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，
，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【答案】
【解析】
【分析】
在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得
出 ，然后在 中利用余弦定理可求得 的值.
【详解】
， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .故答案为： .
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
11．【2019年新课标2卷理科】 的内角 的对边分别为 .若
，则 的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先应用余弦定理，建立关于 的方程，应用 的关系、三角形面积公式计算求解，
本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解
能力的考查．
【详解】
由余弦定理得 ，
所以 ，
即
解得 （舍去）
所以 ，
【点睛】
本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类
问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
12．【2019年新课标2卷文科】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
bsinA+acosB=0，则B=___________.【答案】 .
【解析】
【分析】
先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.
【详解】
由正弦定理，得 ． ， 得
，即 ， 故选D．
【点睛】
本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，
利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在 范围内，化
边为角，结合三角函数的恒等变化求角．
13．【2018年新课标1卷文科】△ 的内角 的对边分别为 ，已知
， ，则△ 的面积为________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
首先利用正弦定理将题中的式子化为 ，化简求得
，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到 ，可以断定 为锐角，
从而求得 ，进一步求得 ，利用三角形面积公式求得结果.
【详解】
因为 ，
结合正弦定理可得 ，可得 ，因为 ，
结合余弦定理 ，可得 ，
所以 为锐角，且 ，从而求得 ，
所以 的面积为 ，故答案是 .
【点睛】
本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：
（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式
的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 、 、 等特殊
角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
14．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
5π
【答案】(1) ；
8
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得
sinC(sin AcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsin A)，再根据正弦定理，余
弦定理化简即可证出．
(1)
由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而π
00，而00，所以 0，又
2ac
1
sinB= ，
3
则cosB=
√
1−
(1) 2
=
2√2
，ac=
1
=
3√2
，则S =
1
acsinB=
√2
；
3 3 cosB 4 △ABC 2 8
(2)
3√2
b a c b2 a c ac 4 9
由正弦定理得： = = ，则 = ⋅ = = = ，
sinB sin A sinC sin2B sin A sinC sin AsinC √2 4
3
b 3 3 1
则 = ，b= sinB= .
sinB 2 2 2
18．【2021年新高考1卷】记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知
，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得
的值.
【详解】
（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①
在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．
由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
【整体点评】
(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理
的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简
单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关
系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的
运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质
使得问题更加直观化.
19．【2021年新高考2卷】在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，
， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明
理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利
用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】
（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
20．【2020年新课标1卷文科】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）已知角 和 边，结合 关系，由余弦定理建立 的方程，求解得出 ，利用面积
公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有
关 角的三角函数值，结合 的范围，即可求解.
【详解】
（1）由余弦定理可得 ，
的面积 ；（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及 得 ．故 ．
由 ，得 ．
又由余弦定理得 ，所以
，解得 ．
所以 ．
【整体点评】
本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，
属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到
三边的关系，进而求角.
21．【2020年新课标2卷理科】 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得 ；（2）方法一：利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得
的最大值，进而得到结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设 ，则 ，根据正弦定理可知 ，
所以 ，当且仅当
，即 时，等号成立．此时 周长的最大值为 ．
[方法三]：余弦与三角换元结合在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得 ，即
．令 ，得
，易知当 时， ，
所以 周长的最大值为 ．
【整体点评】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形
周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不
等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角
形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
22．【2020年新课标2卷文科】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化为，即可解出；
（2）根据余弦定理可得 ，将 代入可找到 关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
即 ①，
又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角
形的形状，属于基础题．
23．【2020年新高考1卷（山东卷）】在① ，② ，③ 这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不
存在，说明理由．问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例
关系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】
［方法一］【最优解】：余弦定理
由 可得： ，不妨设 ，
则： ，即 .
若选择条件①：
据此可得： ， ，此时 .
若选择条件②：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
若选择条件③：
可得 ， ，与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
［方法二］：正弦定理
由 ，得 ．
由 ，得 ，即 ，得 ．由于 ，得 ．所以 ．
若选择条件①：
由 ，得 ，得 ．
解得 ．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ．
若选择条件②：
由 ，得 ，解得 ，则 ．
由 ，得 ，得 ．
所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ．
若选择条件③：
由于 与 矛盾，所以，问题中的三角形不存在．
【整体点评】
方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本
题的通性通法,也是最优解；
方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角 ，可求出角 ，从而可得
，再根据选择条件即可解出．
24．【2019年新课标1卷理科】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
【答案】（1） ；（2） .【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： ，从而可整理出 ，根
据 可求得结果；（2）利用正弦定理可得 ，利用
、两角和差正弦公式可得关于 和 的方程，结合同角三角函数
关系解方程可求得结果.
【详解】
（1）
即：
由正弦定理可得：
（2） ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得：
解得： 或
因为 所以 ，故 .
（2）法二： ，由正弦定理得：又 ，
整理可得： ，即
由 ，所以
.
【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角
函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的
形式或角之间的关系.
25．【2019年新课标3卷理科】 的内角 的对边分别为 ，已知
．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角
解得 .(2)根据三角形面积公式 ，又根据正弦定理和 得到 关于 的函数，由于 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于 来计算 的定义域，
最后求解 的值域.
【详解】
(1)根据题意 ，由正弦定理得 ，因为 ，
故 ，消去 得 ．
， 因为故 或者 ，而根据题意 ，
故 不成立，所以 ，又因为 ，代入得 ，所以
.
(2)因为 是锐角三角形，由（1）知 ， 得到 ，
故 ，解得 .
又应用正弦定理 ， ，
由三角形面积公式有：
.
又因 ,故 ，故 .
故 的取值范围是
【点睛】
这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦
定理求解），最后考查 是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好
的考题.
26．【2018年新课标1卷理科】在平面四边形 中， ， ，
， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理可以得到 ，根据题设条件，求得 ，结
合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得 ；
（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得 ，之后在
中，用余弦定理得到 所满足的关系，从而求得结果.
【详解】
（1）在 中，由正弦定理得 .由题设知， ，所以 .
由题设知， ，所以 ；
（2）由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、
诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负
号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.
