文档内容
第 04 讲 解三角形
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：正弦定理的应用....................................................................................................................2
题型二：余弦定理的应用....................................................................................................................2
题型三：判断三角形的形状................................................................................................................2
题型四：正、余弦定理的综合运用....................................................................................................3
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用........................................................................3
题型六：解三角形的实际应用............................................................................................................4
题型七：倍角关系................................................................................................................................5
题型八：三角形解的个数....................................................................................................................6
题型九：三角形中的面积与周长问题................................................................................................7
02 重难创新练......................................................................................................................................8
03 真题实战练....................................................................................................................................11题型一：正弦定理的应用
1．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则 .
2．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ， ，则
.
3．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则角 .
题型二：余弦定理的应用
4．在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，若 的面积为
，则角 = .
5．在 中， ，则角 = .
6．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 中角B的大小是（ ）
A． B． C． D．
题型三：判断三角形的形状
7．（2024·高三·广东广州·开学考试）在 中， ，则 的形状为 三角形．
8．在 中，有 ，试判断 的形状 （从“直角三角形”，“锐角
三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
9．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则 的形状为
.
10．对于 ，有如下四个命题:
①若 ，则 为等腰三角形，
②若 ，则 是直角三角形③若 ，则 是钝角三角形
④若 ，则 是等边三角形.
其中正确的命题序号是
11．已知 的三个内角 所对的边分别为 ，满足 ，且
，则 的形状为
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．顶角为 的等腰三角形
题型四：正、余弦定理的综合运用
12．（2024·北京西城·三模）在 中，若 ， ， ，则 ， .
13．（2024·贵州六盘水·三模）在 中， ， ， ，则 外接圆的半径为（
）
A． B． C． D．
14．设 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，则
（ ）△
A． B． C． D．
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用
15．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的定义域和值域；
(2)已知锐角 的三个内角分别为A，B，C，若 ，求 的最大值.
16．（2024·湖南长沙·一模）已知函数 .（1）若 ，求 的值.
（2）在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求 的取值范围.
17．在 中，角 的对边分别为 .已知向量 ，向量 ，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值.
题型六：解三角形的实际应用
18．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的 两座炮台， 在 的正东方.某次演习时，
向西偏北 方向发射炮弹， 则向东偏北 方向发射炮弹，其中 为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公
里外的同一目标，接着 改向向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点 ，则 炮台与弹着点
的距离为（ ）
A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里
19．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测
量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔
的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得
，在点A处测得点C，D的仰角分别为 ， ，在点B处测得点D的仰角为 ，则塔高
CD为 m．
20．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳
阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度 ，他首先在 处，测得楼顶 的仰角为 ，然后沿 方向行走22.5米至 处，又测得楼顶 的仰角为 ，则
楼高 为 米．
21．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡
度 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第
一排和最后一排的距离为 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国
旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 （米/秒）
22．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段 、 是救
生栈道的一部分，其中 ， ， 在 的北偏东 方向， 在 的正北方向， 在
的北偏西 方向，且 ．若救生艇在 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道 ，则最短
距离为 m．(结果精确到1 m)
题型七：倍角关系
23．（多选题）（2024·河北·三模）已知 内角A、B、C的对边分别是a、b、c， ，则（ ）
A． B． 的最小值为3
C．若 为锐角三角形，则 D．若 ， ，则24．在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的最小值为 .
25．设 的内角 所对边的长分别是 ，且 为 边上的中点，且 ，
则 ．
26．在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求a边的范围；
(3)求 的取值范围．
题型八：三角形解的个数
27．（2024·北京朝阳·一模）在 中， ， ， ．
（1）若 ，则 ；
（2）当 （写出一个可能的值）时，满足条件的 有两个．
28．（2024·上海闵行·模拟预测）已知 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，
，给出下列条件中：① ，② ，③ ，能使 有两解的为 .（请
写出所有正确答案的序号）
29．已知 分别是 内角 所对的边，若 ， ，且 有唯一解，则 的取值范围
为 .
30．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形
成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁 和临秀亭 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖
相望的 、 两地之间的距离，某同学任意选定了与 、 不共线的 处，构成 ，以下是测量数据
的不同方案：
①测量 、 、 ；
②测量 、 、 ；
③测量 、 、 ；
④测量 、 、 ．其中一定能唯一确定 、 两地之间的距离的所有方案的序号是 ．
题型九：三角形中的面积与周长问题
31．（2024·山东·模拟预测） 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则
的面积为 .
32．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，
且 ．
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长．
33．（2024·北京西城·二模）已知函数 ．在 中， ，且 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．1．（2024·河南信阳·模拟预测）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
则 的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新疆喀什·三模）在 中， ， ， ， 是 边一点， 是
的角平分线，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
4．（2024·陕西·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，若 的面积为 ，周长为 ，则AC边上的高为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南衡阳·三模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， 为AC的中点，
，则 （ ）A．1 B． C． D．2
6．（2024·北京·三模）在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ， ，
则 的周长为（ ）
A．10 B．11 C． D．12
7．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
，若 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
8．（2024·浙江绍兴·三模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若
，则A等于（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·安徽安庆·模拟预测）在 中，面积 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．若 是锐角三角形，则
C．若 ，则
D．若角 的平分线长为 ，则
10．（多选题）（2024·广东佛山·一模）在 中， 所对的边为 ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
11．（多选题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 有两解
B．若 ， ，则 的面积最大值为
C．若 ， ， ，则 外接圆半径为
D．若 ，则 一定是等腰三角形
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，三角形面积为12，则 ．
13．（2024·新疆·三模）在 中， ， .则 .
14．（2024·四川成都·模拟预测）在 中，已知 ， ， ，则 ．
15．（2024·湖南长沙·三模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 是边 上的一点，且 平分 ，求 的长.
16．（2024·江西新余·二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 的面积
.
(1)求角B；
(2)若 的平分线交 于点D， ， ，求 的长.
17．（2024·天津南开·二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ，
.
(1)求证： ；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
18．（2024·天津河北·二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)若 ，求 的值和 的面积；(2)在（1）的条件下，求 的值；
(3)若 ，求 的值.
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在 中，记角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求角 ；
(2)已知点 在 边上，且 ， ， ，求 的面积．
1．（2024年上海高考数学真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， ,存在点A
满足 ，则 (精确到0.1度)2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 中，点D在边BC上，
．当 取得最小值时， ．
3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
4．（2024年北京高考数学真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．6．（2024年天津高考数学真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的值．
7．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积
为 ， 为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，
c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：14．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
15．（2022年新高考北京数学高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
16．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
