文档内容
第 04 讲 简单的三角恒等变换 (精讲+精
练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：三角函数式的化简
高频考点二：三角函数求值问题
角度 1：给角求值型
角度 2：给值求值型
角度 3：给值求角型
高频考点三：三角恒等变换的应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 04 讲 简单的三角恒等变换 （精练）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、半角公式
（1） .
（2） .
（3） .
2、万能公式（拓展视野）
（1）
（2）
（3） 其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二课时练习）若cos α＝ ，α∈(0，π)，则cos 的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】C
【详解】
由题 ,则 ，∴ ，
.
故选：C.
2．（2022·全国·高一专题练习） 化简的结果可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解： ，
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习） 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
故选：C.4．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高一阶段练习）已知 为锐角，且 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意知： ，由 为锐角，即 ，
∴ .
故选：D
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）若 则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，两边平方得 ，
，
又 ，
，
故选：A第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：三角函数式的化简
例题1．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：
___________．
【答案】
【详解】
解： ，
，
，
故答案为：
例题2．（2022·湖南·模拟预测） ___________．
【答案】4
【详解】
故答案为：4
题型归类练
1．（2022·湖北·沙市中学高一期中）化简： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
故选：A
2．（2022·海南海口·模拟预测）若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】
由题意得， ．
故选:A
高频考点二：三角函数求值问题
角度1：给角求值型
例题1．（2022·江苏·吴县中学高一期中）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为
，所以原式
故选：C
例题2．（2022·山西朔州·高一期末） ________.
【答案】
由题意得
．
故答案为 ．
例题3．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值：
(1)计算 的值；
(2)已知 、 均为锐角， ， ，求 的值．【答案】(1) (2)
(1)解：
．
(2)解： 、 都为锐角，则 ，
， ，
角度1题型归类练
1．（2022·四川·石室中学模拟预测（文）） 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
原式 .
故选：A
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列选下选项中，值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
对于A中 .对于B中原式 .
对于C中 .
对于D中 .
故选：AC.
3．（2022·全国·高三专题练习） ___________.
【答案】
.
故答案为： .
角度2：给值求值型
例题1．（2022·河南商丘·三模（文））已知 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．-3
【答案】C
【详解】
．
故选：C
例题2．（2022·北京八中高一期中）设 为锐角，若 ，则 的值为________，
的值为________.
【答案】 ##0.6 ##0.96【详解】
为锐角，则 ，
，
．
例题3．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 ，所以 ，解得
因为 ，所以 ，又 ，
解得 或 （舍去）；
(2)解：
角度2题型归类练
1．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以 。
即 ，所以
故选：B
2．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
3．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知 ，且 ，则 ________．
【答案】
【详解】
∵ ，
∴ ，
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .4．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知 ，则 的值为___________.
【答案】
【详解】
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
5．（2022·北京市第二十五中学高一期中）已知 ， ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1) (2) (3)
(1)解：因为 且 ，所以 ，
所以
(2)解：
(3)解：由（1）可得 ，
又 ，
所以
角度3：给值求角型例题1．（2022·陕西·西安中学高一期中）若 ，则角 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵ ，
，
由 ， ，得 ， ，
若 ，
则
，
与 矛盾，故舍去，
若 ，
则
，
又 ，
.
故选：A.
例题2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，且
，所以 ，则
故选：A．
例题3．（2022·江苏盐城·高一期中）已知
(1)求 的值；
(2)已知 ， ， ，求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)因为 ，
所以
所以
又因为 =
所以
(2)因为 ，所以
因为
所以
又因为 ，所以
所以
由 ，得所以
角度3题型归类练
1．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若 ， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 .
所以
.
因为 ， ，
所以 ，所以 .
故选：A
2．（2022·江苏·金陵中学高一期中）已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
因为 ， ，
所以 或 ；
若 ，则 ，
此时 （舍）；
若 ，则 ，
此时 （符合题意），
所以 ，
即 ；
因为 且 ，
所以 且 ，
解得 ， ，
则 ，
所以 .
故选：C.
3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知 ，且
，求 的值为_____．
【答案】 ##
【详解】
，则 ，注意到
，于是，不妨记
，于是 ，而 ，于
是 （负值舍去），又 ，则 （正值舍去），于是计算可得：
，而 ，于是
.
故答案为： .
4．（2022·江苏·高一期中）已知 ， ， ， ，则
________．
【答案】
【详解】
因为 ， ，则 ， ， ，
所以， ， ，
所以，
，
因此， .
故答案为： .
5．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若 ，且 ，则 的值为___________.
【答案】 或
由题意知，则 ，
即 ，
当 时， ，即 ，
由 ，得 ；
当 时， ，
所以 ，即 ，
由 ，得 ，所以 ，得 .
故答案为： 或
6．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， 且 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)
由已知， ，得
所以
(2)由 ， ，可知 ， ，
∴ .∵ ，∴ .
而 ，∴ .
∴ ，∴ .
高频考点三：三角恒等变换的应用
例题1．（2022·江苏省沙溪高级中学高一期中）已知
(1)求 的值；
(2)若锐角 满足 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)接由题意得：
故
(2) ，又
.
例题2．（2022·河南洛阳·高二期中（文））某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值等于
同一个常数：
① ；
② ；
③ ；
④ .
(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)推广的恒等式为 ，证明见解析.
(1)
(2)观察①，②，③，④，结合(1)，归纳可得
证明如下：
.例题3．（2022·江西·南昌十中高一期中）如图，圆心角为 的扇形 的半径为2，点C是弧AB上一
点，作这个扇形的内接矩形 ．
(1)求扇形 的周长；
(2)当点C在什么位置时，矩形 的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】(1) (2)
(1)由题，弧AB长为 ，故扇形 的周长为： ；
(2)设 ，则 ， ，
所以 ，
所以矩形 的面积
，
，所以当 时， 取得最大值 ，
即当C在弧AB中点时，矩形 的面积最大，最大值为 .
题型归类练
1．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 .
(1)求函数 的最小正周期及其对称中心；
(2)求函数 在 上的值域.
【答案】(1)周期 ，对称中心为 (2)
(1)函数 ，所以最小正周期 ；令 ，解得 ，
所以对称中心为 ；
(2)函数
，
因为 ，所以 ，
故 ，
故 .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，求
的值.
【答案】
【详解】
,
因为 ，所以 ，解得： ，
由 ，得 ，则
3．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知扇形 （如图所示），圆心角 ，半径 ，
在弧 上取一点P，作扇形 的内接矩形 ，记 ，矩形 的面积为y.
(1)写出y与x的函数关系式，并化简；(2)求矩形 面积的最大值，并求此时x的取值.
【答案】(1) ， (2)当 时，
(1)解：在直角 中， ， ，
在直角 中， ， 又 ，
所以 ，
所以
，
即 ， .
(2)解：因为 ，所以 ，所以当 ，即 时， .
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题（文）） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，.
故选：D.
3．（2021·全国·高考真题（文））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
4．（2021·全国·高考真题（文））函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【详解】
由题， ，所以 的最小正周期为
，最大值为 .
故选：C．
5．（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
将式子进行齐次化处理得：．
故选：C．
6．（2021·浙江·高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
第五部分：第 04 讲 简单的三角恒等变换（精练）
一、单选题
1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期中）若 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
解：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
2．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题，因为 ，
所以 ，
故选：B
3．（2022·广东汕头·二模）若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由已知可得
.
故选：A.
4．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
解：因为 ，所以；
故选：D
5．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）函数 ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
，则 ，因此， .
故选：C.
6．（2022·河南·模拟预测（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ， 故 .
故选：B.
7．（2022·广东茂名·模拟预测）已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B，
，
∴ ．
故选：B．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，即 ，所
以 ；
故选：C
二、填空题
9．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知 ，则 __________．
【答案】 ##
由 得： ，
即得 ，
故 ，
故答案为：
10．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）若 ，且 ， ，则______________.
【答案】
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
11．（2022·河北石家庄·一模）已知角 ， ，则 ______.
【答案】
， ，
，
，
，
， ，
，则 .
故答案为： .12．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习） __________．
【答案】32.
解：因为
所以
故答案为
三、解答题
13．（2022·四川凉山·高一期中（理））已知 、 均为锐角， ，
(1)求 的值
(2)求 的值．
【答案】(1) (2)
(1)解： 、 为锐角， ，解得 ，
.
(2)解：因为 ，.
、 为锐角且 ，
所以 ，，
所以
14．（2022·云南·昆明一中高一期末）已知α，β均为锐角， .在下面条件中任选一个作为
已知条件，求tanβ的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
① ；② .
【答案】
若选①：
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
，则 ，
所以 .
若选②：
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
则 ，
所以 .
15．（2022·湖北武汉·高一阶段练习）已知 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值．
【答案】(1) (2)(1)
因为 ，所以
(2)因为 ，
所以 ，
所以
