文档内容
专题 12 解三角形
【考纲要求】
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
一、正弦定理和余弦定理
【思维导图】
【考点总结】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
＝＝＝2R
内容 b2＝c2＋a2－2cacos_B；
(R为△ABC外接圆半径)
c2＝a2＋b2－2abcos_C
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
cos A＝；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
变形形式 cos B＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
cos C＝
＝
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absin C.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
【常用结论】
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；
(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acosB．
二、解三角形的综合应用
【思维导图】
【考点总结】
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
常用结论
测量中的几种常见问题求AB 图形 需要测量的元素 解法
∠ACB＝α 解直角三角形AB＝atan
底部可达
求竖 BC＝a α
直高
∠ACB＝α
度 底部不可 解两个直角三角形AB＝
∠ADB＝β
达
CD＝a
∠ACB＝α
山两侧 AC＝b 用余弦定理AB＝
BC＝a
∠ACB＝α
用正弦定理
河两岸 ∠ABC＝β
求水 AB＝
CB＝a
平距
在△ADC中，
离
∠ADC＝α
AC＝
∠BDC＝β
在△BDC中，
河对岸 ∠BCD＝δ
BC＝
∠ACD＝γ
在△ABC中，应用余弦定
CD＝a
理求AB
【题型汇编】
题型一：正弦定理
题型二：余弦定理
题型三：三角形的面积公式
题型四：解三角形的实际应用
【题型讲解】
题型一：正弦定理
一、单选题
1．（2022·江西南昌·二模（理））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，
，则 （ ）
A．8 B．6 C．5 D．32．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知 ，内角 的对边分别是
，则 等于（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
3．（2022·江西·二模（文））设在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足
的 不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且 ，则A=（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·陕西西安·三模（文））在 中，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
6．（2022·安徽·芜湖一中一模（文））已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
△
，则角A的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·贵州黔东南·一模（理））设a，b，c分别为 内角A，B，C的对边．已知
，则 （ ）A． B． C． D．
8．（2022·湖南省临澧县第一中学一模）在 中，若 ， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）在△ 中，内角 所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D．若 ，且 ，则△ 为等边三角形
题型二：余弦定理
一、单选题
1．（2022·陕西商洛·二模（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，则 的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2022·四川雅安·三模（文））在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西咸阳·二模（文））在 中，已知 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．44．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A．16 B．9 C．－9 D．－16
5．（2022·北京昌平·二模）在 中， 只需添加一个条件，即可使 存在且唯一.条
△ △
件：① ； ② ；③ 中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
6．（2022·内蒙古包头·二模（文）） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，
， ，则 的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．
7．（2022·陕西榆林·三模（理）） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为
△ △
， ， ，则 （ ）
A．10 B．3 C． D．
8．（2022·全国·二模（理））△ABC中， ，若 ，则AB边上的高的最大值
为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、多选题
1．（2022·广东广州·三模）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下面四个结论正确的是
（ ）
A． ， ，则 的外接圆半径是4
B．若 ，则
C．若 ，则 一定是钝角三角形
D．若 ，则三、解答题
1．（2022·北京市第十二中学三模） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求角 的大小；
(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： ；条件④： .
题型三：三角形的面积公式
一、单选题
1．（2022·江西萍乡·三模（文））在 中， 分别为角 的对边，已知 ，
的面积为2，则边长 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西鹰潭·一模（理）） 中，已知 ，设D是 边
的中点，且 的面积为 ，则 等于( )
A．2 B．4 C．-4 D．-2
3．（2022·天津河西·三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，
，则
A． B． C． D．
4．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学一模（理））在 中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若
， 的面积为 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或35．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））在 中， ， ， 所对应边分别为 ， ， ，已知
，且 ，则 的面积为（ ）.
A．1 B． C． D．
6．（2022·宁夏银川·一模（理））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则
△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
1．（2022·北京·潞河中学三模）在 中， ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为
已知，求：
(1) 的值；
(2) 的面积.
条件①： ；条件②： .
题型四：解三角形的实际应用
一、单选题
1．（2022·青海西宁·一模（文））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的
两边长分别为32m和68m，它们的夹角是 .已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费
用为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
2．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永
徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量
滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为 ，在它们的地面上的点M（B，M，D
三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为 和 ，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为 ，
则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到 ）A． B． C． D．
3．（2022·江西师大附中三模（文））地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼､黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，
是中国古代四大名楼之一､“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”.“云销雨霁，彩彻区明.落
霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色.渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃
对腾王阁的生动描写.某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进72米到
达E点，此时看点C的仰角为45°，若 ，则楼高AB约为（ ）
A．58米 B．68米 C．78米 D．88米
4．（2022·四川泸州·二模（理））如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的
海拔高度为10000 ，速度为50 .某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，
则山顶的海拔高度大约为（ ， ）（ ）
A．7350 B．2650 C．3650 D．4650
二、多选题5．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 (A为塔顶，B为
塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得 .测绘兴趣
小组利用测角仪可测得的角有： ，则根据下列各组中的测量数
据可计算出塔 的高度的是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
6．（2022·重庆八中模拟预测）如图：某公园改建一个三角形池塘， ， （百米），
（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．
(1)若在 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，
且 ，求连廊 的长（单位为百米）；
(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供
游客观赏．如图②，当 为正三角形时，求 的面积的最小值 ．
