文档内容
重难点突破02 解三角形图形类问题
目录
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选
择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可
以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更
加直观化.
题型一：妙用两次正弦定理
例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中 ， ， ，设
.
（1）若 面积是 面积的4倍，求 ；
（2）若 ，求 .
【解析】（1）设 ，则 ， ， ，由题意 ，
则 ，所以 .
（2）由正弦定理， 中， ，即 ①
中， ，即 ②①÷②得： ，化简得
，所以 .
例2．（2023·湖北黄冈·高一统考期末）如图，四边形 中 ， ， ，设
．
（1）若 面积是 面积的 倍，求 ;
（2）若 ，求 .
【解析】（1）设 ，
则 ， ， ，
由题意 ，
则 ，
所以 .
（2）由正弦定理，在 中， ，
即 ①
在 中， ，
即 ②
②÷①得： ，
，化简得 ，
所以 .例3．（2023·全国·高三专题练习）在① ，② ，③ 这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD中， ， ，且______.
(1)证明： ；
(2)若 ，求四边形ABCD的面积.
【解析】（1）方案一：选条件①.
在 中，由正弦定理得， ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 ，
，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
方案二：选条件②.
在 中，由正弦定理得， ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，
，
，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 .
方案三：选条件③.
因为 ， ，且 ， ，
所以
在 中，由正弦定理得， ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 ，
，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
（2）选择①②③，答案均相同，
由（1）可设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得，
，
在 中，由余弦定理得，
，
因为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 ，所以四边形ABCD的面积 .
变式1．（2023·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形ABCD中，
.
(1)当 时，求 的面积.
(2)当 时，求 .
【解析】（1）当 时，在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，则 ，
又 ，
所以 的面积是 .
（2）在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
则 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
变式2．（2023·广东广州·高一统考期末）如图，在平面四边形 中， ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1）因为 ，
由余弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 的面积
（2）在 中，由正弦定理得 ，即 ①，
在 中，由正弦定理得 ，即 ②，
①②联立可得 ，
因为 ，所以
变式3．（2023·广东·统考模拟预测）在平面四边形 中， ， .（1）若 ， ，求 的长；
（2）若 ，求 的值.
【解析】（1）在 中，因为 ，所以 ，
在 中， ，
在 中，由余弦定理得
，
所以 .
（2）设 ，在 中， ，
因为 ，所以 ，
于是 ，
因为 ，
所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
于是 ，
即 ，
所以 ，因为 ，所以 .
变式4．（2023·江苏徐州·高一统考期末）在① ，② ，③
的面积
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知______.
(1)求角 ；
(2)若点 在边 上，且 ， ，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【解析】（1）若选择①：因为 ，结合余弦定理 ，
得 ，即 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ；
若选择②：因为 ，
结合正弦定理可得 ，
即 ，
，
即 ，
又 ， ，故 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，得 ；
若选择③：条件即 ，又 ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，则 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）设 ，则 .
因为 ， ，故 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
在 中，同理可得， ，
因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，即 .
变式5．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、
，已知 .
(1)求 ；(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .
【解析】（1）因为 ，
由余弦定理可得 ，
化简可得 ，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以， .
（2）因为 ，则 为锐角，所以， ，
因为 ，所以， ，
所以， ，
设 ，则 ，
在 和 中，由正弦定理得 ， ，
因为 ，上面两个等式相除可得 ，
得 ，即 ，
所以， .
变式6．（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
且 .
(1)求角 ；
(2)若 是 内一点， ， ， ， ，求 ．
【解析】（1）因为 ，所以由正弦定理得 ；
， ， ，则 ；
（2）
， ， ；
在 中，由正弦定理得： ；
在 中，由正弦定理得： ；
，
即 ，
题型二：两角使用余弦定理
例4．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形 中， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1） 中，设 ，则 ，解得
， ；（2）设 ，则
设 ， ，
中，
中，
， ，可得 ，化简得
，即
又 ， ，即
，解得
例5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在梯形ABCD中， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求梯形ABCD的面积．
【解析】（1）连接BD．
因为 ，所以 ．
在 中，由正弦定理得 ，①
在 中，由正弦定理得 ，②
由 ， ，结合①②可得 ．（2）由（1）知 ， ，
，又 ，所以 ，则 ．
连接BD，
在 中，由余弦定理得
；
在 中，由余弦定理得
，
所以 ，解得 或 ．
当 时，连接AC，在 中，由余弦定理，得
，
所以 ，而此时 ，故 不满足题意，经检验 满足题意，
此时梯形ABCD的高 ，
当 时，梯形ABCD的面积 ；
所以梯形ABCD的面积为 ．
例6．（2023·河北·校联考一模）在 中， ， ，点D为 的中点，连接 并延长
到点E，使 .
(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求线段 的长.
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，即 ，
解得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理知， .（2）在 中，由余弦定理知， ，
所以 ，化简得 ，解得 ，
因为 是 的中点，所以 ，
在 中，由余弦定理知， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理知，
，
连接 ，在 中，由余弦定理知，
，
所以 .
变式7．（2023·全国·模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.
(1)求角 ；
(2)若点 在 上， ， ，求 的值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）如图，因为 ， ，设 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）如图，在梯形 中， ，
.
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度.
【解析】（1）证明：在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，所以 .又 ，所以 ，即 .
（2）由（1）知 .
在 中，由余弦定理得
，故 .
所以 .
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，整理可得 ，解得 或 .
又因为 为梯形，所以 .
题型三：张角定理与等面积法
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中， 分别为内角 的对边，且
.
(1)求角 的大小；
(2)设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 ， ，求 的面积.
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及 得： ，..
由余弦定理得 ，
又 ，所以
（2） 是 的角平分线， ，
由 可得
因为 ， ，即有 ， ，
故
例8．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且 ， ，求△ABC的面积．
【解析】（1）因为所以根据正弦定理得：
即
由余弦定理得：
故
又
所以 ．
（2）因为AD是△ABC的角平分线，由 ，
得： ，
所以
故 ．
例9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）在 中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且
．
（1）求 ；
（2）若D为 上点， 平分角A，且 ， ，求 ．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理，可得 ，
又因为 ，可得 ．
（2）因为D为 上点， 平分角 ，则 ，
又由 ，
可得 ，
又因为 ，可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
变式9．（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在 中， ， ，且点 在线段
上．(1)若 ，求 的长；
(2)若 ， ，求 的面积．
【解析】（1）由 ，可得 ，
所以 或 （舍去），
所以 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理可得： ，所以 ．
（2）由 ，得 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ， ，
可得 或 （舍去），
所以 ，
所以 ．
变式10．（2023·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在 中， ， ，点
在线段 上.（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
在 中， ，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，
，
又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
，∴ ，
在 中，
由余弦定理得 .
∴ ，
∴ .
变式11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 ，其图像上相邻
的最高点和最低点间的距离为 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)记 的内角 的对边分别为 ， ， ， ．若角 的平分线 交 于 ，
求 的长．
【解析】（1）因为 ，
设函数 的周期为 ，由题意 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）由 得： ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
因为 的平分线 交 于 ，
所以 ，即 ，可得 ，
由余弦定理得：， ，而 ，
得 ，因此 .
变式12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为
，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，角 的平分线交 于点 ， ，求 的面积．【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ，整理得 ，
又由余弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
（2）如图所示，因为 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ．
由余弦定理得 ，
联立方程组 ，可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ．
题型四：角平分线问题
例10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测）在 中，已知 ，
的平分线与边 交于点 ， 的平分线与边 交于点 ， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则 ，则 .
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积 .
（2）因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以
，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，所以 .
例11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知 ， ，
(1)求 的值及 的面积；
(2) 的平分线与BC交于D， ，求a的值．
【解析】（1）根据题意，结合正弦定理边角互化得 ，
即 ，因为B， ，
所以 ， ，
所以 ，因为在锐角 中， ，所以 ．
所以 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 的面积 .（2）因为 的平分线与BC交于D， ，所以 ，
即 ，所以 ，由于 ，
所以 ， 所以 ，所以 ．
例12．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且
.
(1)求角C的大小；
(2)若 的平分线交AB于点D，且 ， ，求 的面积.
【解析】（1）由已知可得 ，
,
整理得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 .
（2）由题意得， ,即 ，所以 .
法一：
在 中， ，
所以 .在 中， ，
所以 ，
即 ，
将 代入整理得 ，解得 或 .
若 ，则 ， ， , ，
所以在 中，得 ,
同理可得 ,即 和 都为钝角，不符合题意，排除.所以 ， ，
.
法二：
因为 ，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
变式13．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在 中，角A，B，C所对的边分别
为a，b，c， ，角C的平分线交AB于点D，且 ， .
(1)求 的大小；
(2)求 .
【解析】（1）由正弦定理 得 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）已知角C的平分线交AB于点D，且 ， .
在 中，由正弦定理得 ,
在 中，由正弦定理得 ,
因为 ， ，所以 ，所以 .
设 ，由余弦定理得 ，
即 ，
解得 ，
因为 ，
所以 ,
解得 .
变式14．（2023·广东深圳·校考二模）记 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知
.
(1)证明： ；
(2)若角B的平分线交AC于点D，且 ， ，求 的面积.
【解析】（1）由正弦定理得：
所以 可化为 ,
因为 ,
，所以
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
（2）角B的平分线交AC于点D，且 ， ,
由角平分线定理可得 ， ,
,又 ，由余弦定理得： ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
所以 .
所以 .
变式15．（2023·海南·校联考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边
上， 是角A的平分线， ， ．
(1)求A；
(2)若 ，求 的长．
【解析】（1）在 中，由 及正弦定理得，
又 ，所以 ，
又 ，
所以 ．
（2）已知 是角A的平分线， , ，
则 ，所以 ，
所以 ，
如图，过M作 交 于点D，易知 为正三角形，
所以 ， ， ．
在 中，由余弦定理得，．
变式16．（2023·四川·校联考模拟预测）在① ；② 这两个条件中任选一个作为
已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知 中，角 的对边分别为 ，点D为 边的中点， ，且________．
(1)求a的值；
(2)若 的平分线交 于点E，求 的周长．
【解析】（1）若选①：由 可得 ,
又 ,
故 ,
而 ，故 ，
又 ，所以 ；
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ,
即 ，
在 中，由余弦定理得 ,
即 ，和 联立解得 ，
则 ；
若选②： ，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故 .
（2）由（1）可知，选①可得 ；选②可得 ，则 ，
故由 ，
可得 ，
解得 ，
故在 中， ，
即 ,
故 的周长为 .
题型五：中线问题
例13．（2023·浙江杭州·统考一模）已知 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足
， ．
(1)求角A；
(2)若 ， 边上中线 ，求 的面积．
【解析】（1） ，
所以由正弦定理得 ，
，
，即 ，
， ，
， ；
（2） ，
则 ， 即 ，
而 ， 边上中线 ，故 ，解得 ，
．
例14．（2023·四川内江·校考模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点， ， ，AD平
分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．
(1)求△ACD的面积；
(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．
【解析】（1）由已知及正弦定理可得： ，
化简得： ．
又因为：
，所以 ， 所以
，
所以△ACD的面积为 ．
（2）由（1）可知 ，因为AE是△ABC的边BC上的中线，
所以 ，
所以 ，
所以△ABC的边BC上的中线AE的长为 ．
例15．（2023·四川绵阳·统考二模）在 中，角 所对的边分别为 ， ，
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 边上中线 的长．
【解析】（1）由正弦定理得： ，
，， ， ，又 ，
，解得： .
（2） ， ，
由余弦定理得： ，
， ， ，即 边上中线 的
长为 .
变式17．（2023·广东广州·统考一模）在 中，内角 的对边分别为 ，
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由余弦定理及 得：
，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 .（2）由 ，
所以 ，
由（1） ，
所以 ，
因为 为 边上的中线，
所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 边上的中线 的长为： .
变式18．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中学校考模拟预测） 中，已知 .
边上的中线为 .
(1)求 ；
(2)从以下三个条件中选择两个，使 存在且唯一确定，并求 和 的长度.
条件①： ；条件② ；条件③ .
【解析】（1）因为 ，
则 ，
，
又 ，解得： ，故 .
（2）由（1）得 ，又余弦定理得： ，所以 ，
而条件①中 ，所以 ，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件② ，条件③ ，解得 ，
由余弦定理可得 ，所以 .
在 中，由正弦定理可得 ，解得 ，
又 ，所以 ，
因为 为 边上的中线，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，解得 .
故 .
变式19．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设 中角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，AD为BC边上的中线，已知 且 ， ．
(1)求b边的长度；
(2)求 的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且 的面积为 面积
的 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由已知条件可知：
在 中，由正弦定理
得在 中，由余弦定理
得
，又
（2）设
为BC边上中线
则
①
或
由①，得
（3）设 ， ， （ ）
，
根据三点共线公式，得
（ ， 为∠BAC）变式20．（2023·广东广州·统考三模）在① ；② 这两个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知 中， 分别为角 所对的边，__________.
(1)求角 的大小；
(2)已知 ，若 边上的两条中线 相交于点 ，求 的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）若选①， ，由正弦定理得 ，又 ，
则 ，又 ，即 ，又 ，则 ；
若选②，由正弦定理得 ，又 ，则 ，
即 ，则 ，又 ，则 ；
（2）以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过 点垂直于 的直线为 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
易得 ，
由 可得 ，则 ，则 ，
则 .
题型六：高问题
例16．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知 的内角A， ， 的对边分别为 ， ，
， ， .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 边上的高为 ，求 的周长.
【解析】（1）由已知可得 ，
由正弦定理 可得， ，
所以有 .
又 ，所以 ， .
又 ，所以 .
，
，.
又 ， ，函数 在 上单调递减，
则 .
（2）由题意得 的面积 .
又 ，则 .
由余弦定理 ，
得 ，
所以， .
所以， 的周长为 .
例17．（2023·重庆·统考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ， 边上的高线长 ，求 ．
【解析】（1）由已知得
；
（2） ，
，
，，
，
，
，
，
，又 ，
，
，
，
，
.
例18．（2023·四川自贡·统考三模） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ．
(1)求A；
(2)若BC上的高 ，求 ．
【解析】（1）由题意得： ，
则由余弦定理得 ，
因为 ,所以 ．
（2）由 ，则 ，所以 ，
则由正弦定理得 ，则 ，又 ，
即 ，则 ．
变式21．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 ，且BC边上的高为 ，求a．
【解析】（1）因为 ，
所以由余弦定理得 ，
由正弦定理得 ，
由于 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ．
（2）由 得 ，
又 ，所以 ， ，
由余弦定理知 ，
解得 .
变式22．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知 中，点 在边 上，满足
，且 ， 的面积与 面积的比为 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求边 上的高 的值．
【解析】（1）∵ ，∴ 为 的平分线，
在 与 中，根据正弦定理可得：
两式相比可得：
又 的面积与 面积的比为 ，
∴ ，
即 ，且 ，
由 得 ，
∴ 且 为锐角，∴ ．
故答案为：
（2）由（1）知 为锐角，且 ，
因此 ，
又 ，所以在 中由余弦定理得 ，
解得： ，
∵ ∴ ．
故答案为：
题型七：重心性质及其应用
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求 的最小值；(2)若M为 的重心， ，求 ．
【解析】（1）因为 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
（2）
记边 的中点为 ，边 的中点为 ，边 的中点为 ，因为点 为 的重心，
所以 ，
在 中， ， 为边 的中点，所以 ，所以 ，设
，则 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
消去x，y得 ，又 ，所以 ，
从而解得 ，即 ，
在 中， ，
所以 ，在 中， ，
所以 ，
所以 .
例20．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知
为 的重心．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，
所以， ，
所以，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
因为 ，整理得 ，解得 ，
所以
（2）由（1）知 ，记边 的中点为
因为 为 的重心， ，
所以， 边上的中线长 为 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以，当 为锐角时， ，则由 得 ，解得 或 ，
不满足题意，舍去；
当 为钝角时， ，则由 得 ，解得 或 ，
所以，当 ， 的面积为
当 ， 的面积为 .
例21．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求角 的大小
(2)若 ，点 是 的重心，且 ，求 内切圆的半径．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，解得
（2）因为点 是 的重心，所以 ，
所以 ，
即 ，解得 或 舍 ．
由余弦定理得 ，解得 ．
设 内切圆的圆心 ，半径为 ，则即 ，
即 ，
解得 ，即 内切圆的半径为 ．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）设a，b，c分别为 的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的
中线，c＝1， ， ．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为 的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
【解析】（1）依据题意，由 可得
，则 ， ，
， ，解得 ，
，解得AD为
（2）G为 的重心， ， ，
， ， ，
， ，
变式24．（2023·四川内江·高三威远中学校校考期中） 的内角A，B，C所对的边分别为
．
(1)求A的大小；
(2)M为 内一点， 的延长线交 于点D，___________，求 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题．
①M为 的重心， ；②M为 的内心， ；
③M为 的外心， ．
【解析】（1）∵ ，∴ ，即
由正弦定理得， ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴
（2）设 外接圆半径为 ，则根据正弦定理得， ，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段 的中点且 ，
又 ，∴ ，
即 ， 又由余弦定理得 ，即 ，解得 ，∴
；
若选②：∵M为 的内心，∴ ，由 得
，∵ ，∴ ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，∴ ，
即 ，∵ ，∴ ， ∴ ．
若选③：M为 的外心，则 为外接圆半径， ，与所给条件矛盾，故不能选③.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在① ；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且其面积为 ，点G为 重心，点M为线段 的中点，点N在线段
上，且 ，线段 与线段 相交于点P，求 的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．【解析】（1）若选① ，
由正弦定理可得
即 ，又 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ；
若选② ，即 ，
即 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ；
（2）依题意 ， ，
所以 ，
因为 、 、 三点共线，故设 ，
同理 、 、 三点共线，故设 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
则 ，因为 ，所以 ，
又 为锐角三角形，
当 为锐角，则 ，即 ，
即 ，即 ，即 ，所以 ，
当 为锐角，则 ，即 ，
即 ，即 ，即 ，即 ，所以 ，
综上可得 ，
又 ，则
因为 ，所以 ，而 在 上单调递减，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，则 .
题型八：外心及外接圆问题
例22．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且a，b，c是公差为2的等差数列.
(1)若 ，求 的面积.
(2)是否存在正整数b，使得 的外心在 的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理
由.
【解析】（1） ， 由正弦定理得 ，
a，b，c是公差为2的等差数列， ， ，
， ， ， ，
，
，且 ， ，
故 的面积为 .（2）假设存在正整数b，使得 的外心在 的外部，则 为钝角三角形，
依题意可知 ，则C为钝角，则 ，
所以 ，解得 ，
， ，
，
存在正整数b，使得 的外心在 的外部，此时整数b的取值集合为 .
例23．（2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝6．
(1)求bcosC＋ccosB的值；
(2)若O是 ABC的外心，且 ，求 ABC外接圆的半径．
【解析】（1）
.
（2）设 ABC外接圆的半径是R．
因此
例24．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c； ， .
（1）求 的值；
（2）若 的外心在其外部， ，求 外接圆的面积.
【解析】（1）依题意 ，由余弦定理得 ，
， ，
，
所以 或 .
当 时， .当 时， .
（2）若 的外心在其外部，则 不符合题意.
当 时， ， 为钝角，符合题意.
，
设三角形 外接圆的半径为 ，由正弦定理得 ，
所以外接圆的面积为 .
变式26．（2023·高三统考阶段练习）在 中，角 ， ， 对应的三边分别为 ， ， ，
， ， ， 为 的外心，连接 ， ， ．
（1）求 的面积；
（2）过 作 边的垂线交于 点，连接 ，试求 的值．
【解析】（1）
在 中， ，则 ，
，
( 是 到 的距离）
（2）
又
题型九：两边夹问题
例25．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，若，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，即 ，
所以 ，
可得 ，
所以 ，
由正弦函数与余弦函数的性质，可得 且 ，
因为 且 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
又由正弦定理可得 .
故选：C.
例26．（2023·河北唐山·高三校考阶段练习）在 中， 、 、 分别是 、 、 所对边的边
长.若 ，则 的值是（ ）.
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
即
所以 ，所以 ，所以 ，故选B.
例27．（2023·全国·高三专题练习）在 中，已知边 所对的角分别为 ，若
，则 _________________
【答案】
【解析】由正弦定理得 ，由余弦定理得
,即因为
所以
变式27．（2023·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在 中，已知边 所对的角分别为 ，若
，则 _____．
【答案】-1
【解析】由 得
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ,即 因为
所以
变式28．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）在 中，已知边 、 、 所对的角分别为 、
、 ，若 ， ，则 的面积 ______.
【答案】
【解析】正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，
因为 ，
故 ，
故可得 ，当且仅当 ，即 时取得.
也即当 时取得等号，
所以 ，即 .
所以 的面积为 .
故答案为： .
变式29．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则角 __．【答案】
【解析】 ， ，
即 ，
， ，
，等价于 且 ，
为 的内角，所以 且 ，即 ．
则 是等腰直角三角形， ．
故答案为： ．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S是△ABC的
面积，若 ﹣ ，则角A的值为_______．
【答案】
【解析】在 中，由三角形的面积 且 ，
所以 ，
又由余弦定理 ，
所以 ，
即 ，
由于 ，所以 ，则 ，
根据三角函数的值域，可知只有 ，所以 ，即 ，
故答案为 .
题型十：内心及内切圆问题
例28．（2023·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
，I为△ABC的内心，延长线段AI交BC于点D，此时
(1)求 ；
(2)若∠ADB= ，求 .
【解析】(1)I为△ABC的内心，则 ，
根据正弦定理： ， ，，故 ，故 .
(2)设 ，则 ， ，
，故 ，
化简得到 ， ，故 ， ， ， ，
故
例29．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ,
.
(1)求 ；
(2)若 ，M为 的内心，求 的面积.
【解析】（1） ，由正弦定理得 ，
∴ ，得 ，.
∴ ，
∵A为三角形内角， ，
∴ .
（2）由（1）可得 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
，由正弦定理 ，
解得 ， ，
则有 .
设 内切圆半径为r，则 ， ，
∴ .例30．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边
分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 的内切圆半径为 ， ，求 ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又 ，即 .
（2）由余弦定理得 ，①
设 的内切圆半径为 ，
由等面积公式得 ．
即 ．
整理得 ，②
联立①②，解得 ， ，
所以 ．
变式31．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ， 的内切圆半径为 ，求 的周长.
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，①
因为 ，所以 ，
代入①式整理得 ，
又因为 、 ， ，则 ，所以 ，又因为 ，解得 .
（2）由（1）知， ，因为 内切圆半径为 ，
所以 ，即 ，
所以， ②，
由余弦定理 得 ，所以 ③，
联立②③，得 ，解得 ，
所以 的周长为 .
变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知在 中，其角 、 、 所对边分别为 、 、 ，且满足
．
(1)若 ，求 的外接圆半径；
(2)若 ，且 ，求 的内切圆半径
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以外接圆半径 ．
所以 .
（2）因为 ，由题可知 ，所以 ，
又因为 ， 可得 ，
因为 ．
由 的面积 ，得 ．变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
，内切圆半径 ，则 ________.
【答案】
【解析】由
所以 ①
，
即 ②
由①②得， ,
.
故答案为：
