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专题 4-2 正余弦定理中的高频小题归类
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专题4-2正余弦定理中的高频小题归类................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：利用正弦定理边角互化............................................................................................................1
题型二：利用余弦定理边角互化............................................................................................................5
题型三：利用正余弦定理解三角形......................................................................................................10
题型四：判断三角形解的个数..............................................................................................................16
题型五：利用正余弦定理判断三角形形状..........................................................................................22
题型六：三角形周长，面积问题..........................................................................................................26
题型七：正余弦定理实际应用..............................................................................................................32
................................................................38
一、单选题..............................................................................................................................................38
二、多选题..............................................................................................................................................44
三、填空题..............................................................................................................................................46
题型一：利用正弦定理边角互化
【典例分析】
例题1．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在 中，角 、 、 所对的边分
别为 、 、 .已知 ，且 为锐角，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·甘肃定西·高二开学考试）在锐角 中，若 ，则 的取值范
围是______ .
【答案】
【提分秘籍】利用正弦定理边角互化主要思路：
； ； ;
化成角后，再进行相应的运算。
【变式演练】
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））在 中，D为 边上一点，
，若 ，则 ____________．
2．（2022·上海市金山中学高一期末）记 的内角 的对边分别为 ，已知
的面积为S，且 ，则 ______．
3．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c， ， ，若点M满足 ，且
∠MAB=∠MBA，则 AMC的面积为_____________.
题型二：利用余弦定理边角互化
【典例分析】
例题1．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）设 分别为 内角
的对边，若 ，且 ，则角 ________.
例题2．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习） 中
， ，则 最大值______．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，若 ，且 ，则 的值为___________.
【提分秘籍】
在 中，内角 ，所对的边分别是 ,则：；
余弦定理的推论
；
；
【变式演练】
1．（2022·广东江门·高三阶段练习）在 中，内角 ， ， 的对边长分别为 ，
， ，且 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2022·山西·晋城市第一中学校高三阶段练习） 中，
，则 （ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
3．（2022·福建·高二期中）若△ 的边长 成等差数列，且边a，c的等差中项为
1，则 的取值范围是________．
4．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））在 中，a，b，c分别是角A，B，C所对
的边，若 ；则当角A最大时， 的面积为______.
题型三：利用正余弦定理解三角形
【典例分析】
例题1．（2022·山西·高三阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为， ， ．点 为 的中点， ，且 的面积为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2022·湖北·高二期中）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
， ， 是 的平分线， ， ，则 的最小值是
（ ）
A．6 B． C． D．10
例题3．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在 中， ， ，
， 是 边上的一点，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
解三角形问题，综合应用正弦定理，余弦定理，有时候需要将边化为角，利用三角函数来
解三角形问题；求最值问题时也涉及到基本不等式.
【变式演练】
1．（2022·上海市金山中学高一期末）记 内角 的对边分别为 ，点 是
的重心，若 则 的取值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海·复旦附中高一期末）已知 中，角A、B、C的对边分别为 、 、
，若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．83．（2022·四川省南充高级中学高二期中）在 中， 分别是角 的对
边， ，则角 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在 中，角 、 、 所对的边分别为
、 、 .已知 ，且 为锐角，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在 中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知 ，若角A的内角平分线 的长为3，则
的最小值为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．36
题型四：判断三角形解的个数
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江·宾县第二中学高三阶段练习）在 中，内角 所对的
边分别为 ，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）在下列关于 的四个条件中选择一
个，能够使角 被唯一确定的是：（ ）
①② ；
③ ；
④ .
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）在 中，角 所对的边分别为
．已知 ， ，请您给出一个 值，使得 有两解，则您给的 值为______．
例题4．（2022·重庆市育才中学高一阶段练习）在 中，角 所对的对边分
别为 ，若满足 的三角形有两解，则 的取值范围为__________.
【提分秘籍】
为锐角 为钝角或者直角
图
形
关
系
式
解 一解 两解 一解 一解
的
个
数
上表中若 为锐角, 当 时无解; 若 为钝角或直角,当 时无解.
【变式演练】
1．（2022·江西萍乡·高一期末）在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·青海玉树·高一期末）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，
， ，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解
3．（2022·全国·高一课时练习）在 中， ，若该三角形有两解，则
x的取值范围是__________．
4．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对
边，若 ，且 有唯一解，则 的取值范围是___________.
题型五：利用正余弦定理判断三角形形状
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高一课时练习）在 中，角 的对边分别为 ，
，则 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知 分别为 三个内角 的对
边，且 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
例题3．（2022·四川成都·高一期末）已知 内角 ､ ､ 所对的边分别为 ､ ､
面积为 ，若 ， ，则 的形状是（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
【提分秘籍】
① ， 为钝角三角形；
②
③
④
【变式演练】
1．（2022·河北张家口·高三期中）在 中，若 ，则 的形
状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．（2022·河北·石家庄市第十五中学高二阶段练习）已知 的三个内角 所对应的
边分别为 ，且满足 ，且 ，且
的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．顶角为 的等腰三角形
3．（2022·福建省福州高级中学高一期末）在 中，角A，B，C对应边分别为a，b，
c，已知三个向量 ， ， 共线，则 形状为
（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2022·陕西·白水县白水中学高二阶段练习）在 中，内角 的对边分别为
，且 ，则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形题型六：三角形周长，面积问题
【典例分析】
例题1．（2022·河北张家口·高三期中）钝角 的内角 ， ， 的对边分别是
，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D． 或
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 的平分线交 于点D，
， ，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知 的内角 对应的边分别
是 ， 内角 的角平分线交边 于 点， 且 ．若
， 则 面积的最小值是（ ）
A．16 B． C．64 D．
【提分秘籍】
1、三角形面积的计算公式：
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆
半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式 ，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入面积公式，再结合辅助角公
式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
4、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，再结合
辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·全国·高二开学考试）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ，且 的外接圆面积为 ，则 的面积为（ ）
A．24 B．25 C．27 D．28
2．（2022·江西赣州·高三期中（文））在 ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，
， ， ABC的面积为 ，
△
则 的周长为（ ）
△
A．6 B．8 C． D．
3．（2022·浙江·高三开学考试）若 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知 为 边上的一点，且满足
， ， 的面积是 面积的两倍，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
题型七：正余弦定理实际应用
【典例分析】
例题1．（2022·四川达州·高二期末（理））某班同学利用课外实践课，测量北京延庆
会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度 .在过 点的水平面上确定两观测点
，在 处测得 的仰角为30°， 在 的北偏东60°方向上， 在 的正东方向30米处，在 处测得 在北偏西60°方向上，则 （ ）
A．10米 B．12米 C．16米 D．18米
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））我国无人机技术处于世界领先水平，并广
泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面 处垂直上升的无人
机 ，对地面 两受灾点的视角为 ，且 ．已知地面上三处受灾点
共线，且 ， ，则无人机 到地面受灾点 处的遥
测距离PD的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）雷峰塔又名黄妃塔､西关砖塔，位于浙江省杭州市西
湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍
利､祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原
雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座
彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距 的 ､ 两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为 米的测角仪 ､ （如图所示）.在测角仪 处测得两个数
据：塔顶 仰角 及塔顶 与观测仪 点的视角 在测角仪 处
测得塔顶 与观测仪 点的视角 ，李华根据以上数据能估计雷锋塔 的高
度约为（ ）（参考数据： ， ）
A．70.5 B．71 C．71.5 D．72
2．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））甲、乙两名学生决定利用解三角形的相
关知识估算一下友谊大厦的高度，甲同学在点A处测得友谊大厦顶端C的仰角是63.435°，
随后，他沿着某一方向直行 m后到达点B，测得友谊大厦顶端C的仰角为45°，乙同
学站在友谊大厦底端的点D，测量发现甲同学在移动的过程中，∠ADB恰好为60°，若
甲、乙两名同学始终在同一水平面上，则友谊大厦的高度大约是（ ）（参考数据：
）
A．270m B．280m C．290m D．300m
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）如图甲，圣 索菲
亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为
了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高约为40 ，
如图乙，在它们之间的地面上的点 （ 三点共线）处测得楼顶 ､教堂顶 的仰角
分别是 和 ，在楼顶 处测得塔顶 的仰角为 ，则估算索菲亚教堂的高度 约为
（ ）A．50 B．55 C．60 D．70
4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意
图，为测量大跳台最高点 距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得 的仰角为 ，
， ， （单位： ），（点 在同一水平地面上），
则大跳台最高高度 （ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））在 中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，若 ， ，且 外接圆的周长为 ，则 的周长为
（ ）A．20 B． C．27 D．
2．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高三阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为
，则三角形的面积为 ，其中 .这个公式被称为
海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定
义：我们把平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭
圆.根据材料一或材料二解答：已知 中， ，则 面积的最大
值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．2
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若
， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆·高三阶段练习）已知 是 内的一点，且
，则 的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．（2022·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（理））云台阁，位于镇江西津渡景区，全
全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，
在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12 ，在它们的地面上的点M（B，M，D
三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C
的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（ ）
（ ， ，精确到1 ）A．42 B．45 C．51 D．57
6．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）在钝角 中，角 对应的边分别
为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·天津南开·高一期末）已知 中， ，则 （ ）
A． 或 B． C． D． 或
8．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）在 中，角A，B，C所对的边
分别是a，b，c，若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知 的内角 所对应的边分别是
，它的外接圆半径为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C． 的外接圆半径 为1D． 面积的最大值为
10．（2022·河北·高三阶段练习）在 中，内角 所对应的边分别是 ，
，点 在线段 上，且 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． 面积的最大值是9 D． 面积的最小值是6
三、填空题
11．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））在 中，角A，B，C的对边分别
为a，b，c，若 ，则 ___________.
12．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一期末）记 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若O为 的重心， ， ，则 ________.
13．（2022·上海市大同中学高一期末）在 中， ，点 满足 ，且对
任意 ， 恒成立，则 的值为______．
14．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二阶段练习（理））在 中，a，b，c分别为内角
A，B，C的对边， .若 ，则
面积的最大值为______
