专题03正余弦定理及其应用（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮专题训练（新高考地区专用）

专题03 正余弦定理及其应用 1、【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的 “会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在 上， ．“会圆 术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：如图，连接 ， 因为 是 的中点，所以 ， 又 ，所以 三点共线， 即 ， 又 ，所以 ， 则 ，故 ， 所以 . 故选：B. 2、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在 中，已知 ， ， ，则 （ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】设 ， 结合余弦定理： 可得： ， 即： ，解得： （ 舍去）， 故 . 故选：D. 3、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，则 ________． 【答案】 【解析】文由题意， ， 所以 ，所以 ，解得 （负值舍去）. 故答案为： . 4、（2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，面积为 ， ， ，则 ________． 【答案】 【解析】 由题意， ， 所以 ， 所以 ，解得 （负值舍去）. 故答案为： . 5、【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的 高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为 “表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛 的高 （ ） A． 表高 B． 表高 C． 表距 D． 表距【答案】A 【解析】如图所示： 由平面相似可知， ，而 ，所以 ，而 ， 即 ＝ ． 故选：A. 6、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则 tanB=（ ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】设 故选：C 7、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则 cosB=（ ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】 在 中， ， ， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故 . 故选：A. 8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，已知 ． （1）求A； （2）若 ，证明：△ABC是直角三角形． 【解析】（1）因为 ，所以 ， 即 ， 解得 ，又 ， 所以 ；（2）因为 ，所以 ， 即 ①， 又 ②， 将②代入①得， ， 即 ，而 ，解得 ， 所以 ， 故 ， 即 是直角三角形． 9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求 周长的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由正弦定理可得： ， ， ， . （2）由余弦定理得： ， 即 . （当且仅当 时取等号），， 解得： （当且仅当 时取等号）， 周长 ， 周长的最大值为 . 10、【2022年全国甲卷】已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最 小值时， ________． 【解析】设 ， 则在 中， ， 在 中， ， 所以 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当 取最小值时， . 故答案为： .11、【2021年乙卷文科】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，则 ________． 【答案】 【解析】由题意， ， 所以 ， 所以 ，解得 （负值舍去）. 故答案为： . 12、【2020年新课标1卷理科】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ， AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【答案】 【解析】 ， ， ， 由勾股定理得 ， 同理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 . 故答案为： . 13、【2022年全国乙卷】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．(1)若 ，求C； (2)证明： 【解析】(1)由 ， 可得， ，而 ， 所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所以， ，而 ， ，所以 ． (2)由 可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 14、【2022年全国乙卷】记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)证明： ； (2)若 ，求 的周长． 【解析】(1) 证明：因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ， 所以 ； (2)：因为 ， 由（1）得 ， 由余弦定理可得 ， 则 ， 所以 ， 故 ， 所以 ， 所以 的周长为 . 15、【2022年新高考1卷】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)若 ，求B； (2)求 的最小值． 【解析】(1)因为 ，即 ， 而 ，所以 ； (2)由（1）知， ，所以 ， 而 ， 所以 ，即有 ． 所以 ． 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ． 16、【2022年新高考2卷】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三 个正三角形的面积依次为 ，已知 ． (1)求 的面积； (2)若 ，求b． 【解析】 (1)由题意得 ，则 ，即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ， 则 ， ，则 ； (2)由正弦定理得： ，则 ，则 ， . 题组一、 运用正、余弦定理解决边角及面积问题 1-1、【2022·广东省梅江市梅州中学10月月考】 在 中， ，BC=1，AC=5，则AB= A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 所以 ，选A. 1-2、（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的 正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得 杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ） A．20m B．10m C． m D． m 【答案】B 【解析】如图示，AB表示旗杆，由题意可知： ， 所以设 ，则 ， 在 中， , 即 ，解得 ，（ 舍去）， 故选：B. 1-3、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由正弦定理知， ，所以 ， 故选：D 1-4、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 若 ，则 的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 在△ ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2+c2＝a2+bc．则： ， 由于：0＜A＜π，故：A ．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0， 故：b＝c，所以：△ABC为等边三角形．故选C． 1-5、（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝ － ，CD＝ ． （1）求∠ACB的大小； （2）求四边形ABCD的面积． 【解析】（1）由题意，设 ，则 ， ， 在 中，由正弦定理有 ，即 ，解得 . 所以 ， 因为 ，所以 . （2） 由（1），可知 ，由正弦定理有 ，即 ，解得 ，在 中，由余弦定理有 ， 即 ，解得 ， 四边形ABCD的面积 . 1-6、（2022·江苏如皋·高三期末）已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD=10，2AC=3AD= AB， cos∠CAD= . （1）求AD的长； （2）求sinB. 【解析】（1）依题意，在 中，由余弦定理得： ， 即 ，解得 ， 所以AD的长是 . （2）在 中，由(1)知， ，由余弦定理得： ，则有 ，在 中，由正弦定理得： ， 所以 . 1-7、（2022·江苏无锡·高三期末） 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ， ， ________. 请在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在上面 的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） （1）求角 ； （2）求 面积. 【解析】（1） 若选①，则由 ， 若选②，则 ， . （2） 在 中， ， 由正弦定理 而题组二、 运用余弦定理研究范围问题 2-1、（2022·湖北襄阳·高三期末）在 中， ， ，则角 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ，则 ，由余弦定理可得 ， 当且仅当 时，等号成立，因为 ，则 . 故选：A. 2-2、【2022·广东省深圳市外国语学校第一次月考10月】 在 中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则角B的最大值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 得 ，整理得 ， 又 ，当且仅当 时取等号， 因为 ，所以B的最大值为 ，故选：C. 2-3、（2022·江苏宿迁·高三期末）在① ；② ；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在 中，内角 的对边分别为 ，且__________. （1）求角 ； （2）若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1） 选择①：条件即 ，由正弦定理可知， ， 在 中， ，所以 ， 所以 ，且 ，即 ，所以 ； 选择②：条件即 ，即 ， 在 中， ，所以 ，则 ， 所以 ，所以 . 选择③：条件即 ， 所以 ， 在 中， ，所以 . （2）由（1）知， ，所以 ， 由正弦定理可知， ， 由 是锐角三角形得， 所以 .所以 ，所以 ，故 的取值范围为 . 2-4、（2022·广东潮州·高三期末）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， （1）求角B的大小； （2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求 面积的最大值． 【解析】（1） 因为 ， 所以由正弦定理得 , 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 （2）因为点D在边AC上，且AD=2DC， 所以 ， 所以 , 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以 面积为 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 面积的最大值为 2-5、（2022·广东·铁一中学高三期末）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若______. （1）求角 ； （2）若 ，求 周长的最小值，并求出此时 的面积. 【解析】（1）选①，由正弦定理得 ， ∵ ，∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ . 选②，∵ ， ， 由正弦定理可得 ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ . 选③，∵ ， 由已知结合正弦定理可得 ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ . （2）∵ ，即 ， ∴ ，解得 ，当且仅当 时取等号， ∴ ， 周长的最小值为6，此时 的面积 . 2-6、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在 中，角 的对边分别是 ， 的面 积为 . （1）若 ， ， ，求边 ； （2）若 是锐角三角形且角 ，求 的取值范围. 【解析】（1） ∵ ，∴ ，又 ，则 或 当 时， ； 当 时， ∴ 或 （2）由正弦定理得， ， ∵ 是锐角三角形， ∴ ， ， ；∴ ， ， ； ∴ ∴ ，∴ ∴ 的取值范围为 . 2-7、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量夹角的余弦角为 （1）求角B的大小； （2）求 的取值范围. 【解析】（1） 即 解得 （舍） （2）由（1）可知 ， 即 题组三、正余弦定理与其它知识点的结合 3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在 中， ， 为 的重心，若 ， 则 外接圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ，可得 ，则有 又在 中， ， 为 的重心，则 为等边三角形. 则解之得 ，则 外接圆的半径为 故选：C 3-2、（2022·山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系 中，已知 ABC顶点 和 ， △ 顶点B在椭圆 上，则 的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【解析】由题设知： 是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上， 所以 ， 而 ， ，故 .故选：C 3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在 中，内角 ， ， 所对的边分别 为 ， ， ，若 ， ， 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ） A． ， ， 依次成等差数列 B． ， ， 依次成等差数列 C． ， ， 依次成等差数列 D． ， ， 依次成等差数列 【答案】ABD 【解析】 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ， 依次成等差数列，则： ， 利用 ， 整理得： ， 利用正弦和余弦定理得： ， 整理得： ， 即： 依次成等差数列. 此时对等差数列 的每一项取相同的运算得到数列 ， ， 或 ， ， 或 ， ， ， 这些数列一般都不可能是等差数列，除非 ，但题目没有说 是等边三角形， 故选：ABD. 3-4、（2022·湖南郴州·高三期末）在 中，若边 对应的角分别为 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 的长度． 【解析】解：因为 ，由正弦定理可得 在 ， ，∴∴ ，即 又 ，∴ ∴ ，∴ （2） 解：∵ 且 ， ∴ ， ∴ ∴ 3-5、（2022·山东济南·高三期末）在 .中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， . （1）求角 ； （2）若点 在边 上，且 ，求 面积的最大值. 【解析】 解：因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，因为 ，所以 . （2） 解：因为 ，所以 ； 所以 ，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 ，所以 面积的最大值为 . 3 cosC  1、（2021·山东泰安市·高三三模）在 ABC中，AC 3，BC 2， 4，则tan A（ ）  5 7 5 7 A． 6 B． 6 C． 3 D． 3 【答案】D 【解析】 3 AB2  AC2 BC2 2BCACcosC 32 22 232 4 由余弦定理得： 4 ， 3 7 cosAcosC  tanA 所以 AB2 ，因为AB BC，所以AC，所以 4， 3 故选：D． 2、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】 在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，则“ ”是“ 是以 、 为底角的等腰三角形”的（ ） . A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简等式 ，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】 ， ，即 ， 整理得 ， 或 ，则 是以 、 为底角的等腰三角形或以 为直角的直角三角形. 因此，“ ”是“ 是以 、 为底角的等腰三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 3、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题) 在 中，下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 定为等腰三角形或直角三角形 C. 在等边 中，边长为2，则 D. 若三角形的三边的比是 ，则此三角形的最大角为钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论； C，根据向量的数量积及夹角可得结论；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角． 【详解】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得 ，故A选项正确； 对于B选项，由于 ， 由于 ， 是三角形的内角，所以 或 ，即 或 ， 因此 可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确； 对于C选项，在等边 中，边长为2， 则 ,故C选项不正确； 对于D选项， 的三边之比为 ，设三边长依次为 ， ， ，其中 ；则最大角是 ，由余弦定理知， ， ， ．故D选项正确． 故选：ABD． 4、（2022·广东东莞·高三期末） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 . （1）求 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 的周长. 【解析】解：因为 ，由正弦定理得 ， 即 ， 由 ，得 ，因为 ，所以 . （2） 解：由 ， ，得 ，解得 ， 由 ，即 ，即 . 由 ，得 ， 故 ，所以 的周长为 . 5、（2022·广东罗湖·高三期末）设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若边 上的高为 ，求 ． 【解析】解：由余弦定理，得 ， 所以， ， 所以， ， 又因为 ，所以， ，则 ，，因此， . （2） 解：因为 的面积 ，则 ， 由余弦定理，得 ， 所以， ， 所以， . 6、（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形 中， ． （1）求 ； （2）求 的面积． 【解析】（1） 因为 为直角三角形， ， 所以 ． 在 中， ， 由余弦定理，得 ，所以 ． （2） 由（1）知 ， ， ，所以 ，所以 为直角三角形，且 ， 所以 ， 故 ． 7、（2022·广东汕尾·高三期末） 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角B （2）当b=3时，求 的面积的最大值． 【解析】（1）由正弦定理得： ，整理得 ， 所以 ， 因为 ，所以 （2）因为 ， 所以 （当且仅当 时等号成立）， 所以 面积的最大值 . 8、（2022·湖南常德·高三期末）设a，b，c分别是 的内角A，B，C的对边， ． （1）求角A的大小； （2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分． ①设角A的角平分线交BC边于点D，且 ，求 面积的最小值． ②设点D为BC边上的中点，且 ，求 面积的最大值． 【解析】（1） ∵ 且 ,∴ ，即 ， ∴ ，又 ， ∴ ； （2） 选①∵AD平分∠BAC， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 由基本不等式可得： ， ∴ ，当且仅当 时取“=”， ∴ ， 即 的面积的最小值为 ；②因为AD是BC边上的中线， 在 中由余弦定理得 ， 在 中由余弦定理得 ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ，由余弦定理得 ， ∴ ∴ ， 解得 ，当且仅当 时取“=”， 所以 ， 即 的面积的最大值为 . 9、（2022·河北深州市中学高三期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知向量 ， ，且 . （1）求 ； （2）若 ，且 ，求 的周长. 【解析】解：（1）根据题意 ，可得 ， 化简整理得 ， 即 .因为 ，所以 ，又 ， 则 . （2）由（1）知 ， 则 . 又因为 ，所以 ，故 ，因此 . 因为 ，所以 ， 故 的周长为 .