专题03 正余弦定理及其应用
1、（2023年全国乙卷数学（文））在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，
据此可得 ，
则 .
故选：C.
2、（2023年全国甲卷数学（理））在 中， ， ，D为BC上一点，AD为
的平分线，则 _________．
【答案】
【详解】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在 中，已知 ， ， ，则
（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【解析】设 ，
结合余弦定理： 可得： ，
即： ，解得： （ 舍去），
故 .
故选：D.
4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为， ， ，则 ________．
【答案】
【解析】文由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .
5、（2023年全国甲卷数学（文））在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则 ， ，
.
（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
6、（2023年全国甲卷数学（文））记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；(2)若 ，求 面积．
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得： ．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
7、（2023年新高考天津卷）在 中，角 所对的边分別是 ．已知 ．
(1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 ．
【详解】（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
故 ．
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知在 中， ．
(1)求 ；(2)设 ，求 边上的高．
【详解】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
， ，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，
为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
10、【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
【解析】(1)由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而
π
0<B< ，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，
2
5π
所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=
．
8
(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，
sinC(sin AcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsin A)，再由正弦定理可得，
accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，
1 1 1 1
(a2+c2−b2)− (b2+c2−a2)= (b2+c2−a2)− (a2+b2−c2)，化简得：
2 2 2 2
2a2=b2+c2，故原等式成立．
11、【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)证明：2a2=b2+c2；
25
(2)若a=5,cosA= ，求△ABC的周长．
31
【解析】(1)
证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，
所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，a2+c2−b2 b2+c2−a2 a2+b2−c2
所以ac⋅ −2bc⋅ =−ab⋅ ，
2ac 2bc 2ab
a2+c2−b2 a2+b2−c2
即 −(b2+c2−a2)=− ，
2 2
所以2a2=b2+c2；
25
(2)：因为a=5,cosA= ，
31
由（1）得b2+c2=50，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，
50
则50− bc=25，
31
31
所以bc= ，
2
故(b+c) 2=b2+c2+2bc=50+31=81，
所以b+c=9，
所以△ABC的周长为a+b+c=14.
cosA sin2B
12、【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 = ．
1+sinA 1+cos2B
2π
(1)若C= ，求B；
3
a2+b2
(2)求 的最小值．
c2
【解析】(1)
cosA sin2B 2sinBcosB sinB
= = =
因为 ，即
1+sin A 1+cos2B 2cos2B cosB
1
sinB=cosAcosB−sinAsinB=cos(A+B)=−cosC= ，
2
π π
而0<B< ，所以B=
；
2 6
π π
(2)由（1）知，sinB=−cosC>0，所以 <C<π,0<B< ，
2 2
π
而sinB=−cosC=sin ( C− ) ，
2π π
所以C= +B，即有A= −2B．
2 2
a2+b2 sin2A+sin2B cos22B+1−cos2B
所以 = =
c2 sin2C cos2B
(2cos2B−1) 2 +1−cos2B
2
= =4cos2B+ −5≥2√8−5=4√2−5．
cos2B cos2B
√2 a2+b2
当且仅当cos2B= 时取等号，所以 的最小值为4√2−5．
2 c2
题组一、 运用正、余弦定理解决边角及面积问题
1-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）在 中，内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，若 ，则B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到 ，结合 的范围即能得到答案
【详解】解：根据余弦定理可知 ，代入 ，可得
，即 ，
因为 ，所以 或 ，
故选：BD.
1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
(1)求 ;(2)若 ,求 外接圆的半径R．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)将 写为 代入化简可得 ,根据 ,即可得 ;
(2) 由正、余弦定理可将 化简为 ,进一步化简可得
,结合 ,再根据正弦定理即可得外接圆半径.
【详解】（1）解:因为 ,
所以
,
所以 ,因为 ,
所以 ,所以 ,又 ,
所以 ;
（2）因为 ,
所以在 中,由正、余弦定理得:
,
所以 ,故 ,
由正弦定理 得 ,所以 外接圆半径为
1-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，且
满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，设 的面积为S，满足 ，求b的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得 角大小；
（2）由三角形面积公式得 ，再由正弦定理可求得 ．
【详解】（1）由 ，得 ，
根据正弦定理，得 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，则 ．
（2）由 ，得 ．
又由正弦定理 得 ，
所以 ，解得
1-4、（2023·江苏南京·校考一模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA= .
（1）若a= ，c= ，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D， ，a=2，求 的面积.
【答案】（1）b=4；（2）
【分析】（1）由 求出 ，再根据余弦定理可求出 ；
（2）根据 得到 ，根据角平分线定理得到 ，根据余弦定理求出 ，根据三角形面
积公式求出 ，从而可得 .
【详解】（1）因为tanA= ，且 ，所以 ， 所以cosA= ，
由余弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
解得b=4或b=﹣1(舍)，
（2）因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
因为∠CAD=∠BAD，所以 ，即 ，
又因为a=2，由余弦定理得 ，
解得 ，
所以 ，
所以 .
题组二、 运用余弦定理研究范围问题2-1、（2023·江苏南通·统考一模）在 中， 的对边分别为 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的平分线 交 于点 ，求 长度的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由正弦定理得出 ，再由余弦定理求得结果；
（2）设 ，把 表示成两个三角形的面积和，表示出 ，再求其取值范围；
【详解】（1）已知 ，
由正弦定理可得 ，
，
，
，
， 即 ，
.
（2）由（1）知 ，由 ，则 .
设 ， ，
， ，
.2-2、（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且
.
(1)求B；
(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
(2)根据余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）方法一： ，
所以 ，
所以
.
方法二：在 中，由正弦定理得： ，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 .
（2）方法一: ，当且仅当 时取 ，
，
.
方法二:
在 中，由余弦定理得：
当且仅当 取“=”）
所以 ,
所以 的面积 .
.
2-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知在 中，边 , , 所对的角分别为 ， ， ，
.
(1)证明： , , 成等比数列；
(2)求角 的最大值.
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)结合内角和关系，通过三角恒等变换化简条件等式可得 ，再利用正弦定理化
角为边即可证明；(2)根据余弦定理和基本不等式可求 的最小值，由此可得角 的最大值.
【详解】（1）通分化简可得 ，
，即 ，
即 ，
整理得 ，由正弦定理可得 ，所以a､b､c成等比数列；（2）由（1）可得 ，又 ，所以 ，当且仅当
即 为正三角形时等号成立，所以 的最大角为 .
题组三、正余弦定理与其它知识点的结合
3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在 中， ， 为 的重心，若 ，
则 外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，则有
又在 中， ， 为 的重心，则 为等边三角形.
则
解之得 ，则 外接圆的半径为
故选：C
3-2、（2022·山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系 中，已知 ABC顶点 和 ，
△
顶点B在椭圆 上，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【解析】由题设知： 是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以 ，
而 ， ，故 .故选：C
3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． ， ， 依次成等差数列
B． ， ， 依次成等差数列
C． ， ， 依次成等差数列
D． ， ， 依次成等差数列
【答案】ABD
【解析】 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ， 依次成等差数列，
则： ，
利用 ，
整理得： ，
利用正弦和余弦定理得： ，
整理得： ，
即： 依次成等差数列.
此时对等差数列 的每一项取相同的运算得到数列 ， ， 或 ， ， 或 ， ， ，这些数列一般都不可能是等差数列，除非 ，但题目没有说 是等边三角形，
故选：ABD.
3-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A；
(2)若 ，D为BC边的中点， ，求a的值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由两角和的正弦公式化简求解，
（2）由平面向量数量积的运算律与余弦定理求解，
【详解】（1）由题意得 ，
所以 ，
所以 .因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）由 ，可得 .
因为 ， ， ，所以 ，解得 .
因为 ，所以 .
3-5、（2023·安徽黄山·统考三模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
.(1)求角 的大小和边 的取值范围；
(2)如图，若 是 的外心，求 的最大值.
【详解】（1）在 中，由 结合正弦定理可得：
，
因为 ，则 ，
化简得 ，即 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
由正弦定理 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）解法1：由正弦定理得 ，且 ，
因为
，
当点O不在 外部时（如图） ，
；
当点O在 外部时（如图）， ，
；
由（1）可知 ，
即当 时，则 的最大值为 .解法2：由题可知： ，
如图，分别取线段 的中点 ，
由于O是 的外心，则 ，
则
，
所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，
所以 ，
由（1）可知 ，
即当 时，则 的最大值为 .
1、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、
，则“ ”是“ 是以 、 为底角的等腰三角形”的（ ）
.
A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】B【解析】
【分析】利用余弦定理化简等式 ，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】 ， ，即 ，
整理得 ， 或 ，
则 是以 、 为底角的等腰三角形或以 为直角的直角三角形.
因此，“ ”是“ 是以 、 为底角的等腰三角形”的必要不充分条件.
故选：B.
2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题)
在 中，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 定为等腰三角形或直角三角形
C. 在等边 中，边长为2，则
D. 若三角形的三边的比是 ，则此三角形的最大角为钝角
【答案】ABD
【解析】
【分析】A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；
C，根据向量的数量积及夹角可得结论；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．
【详解】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得
，故A选项正确；
对于B选项，由于 ，
由于 ， 是三角形的内角，所以 或 ，即 或 ，因此 可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确；
对于C选项，在等边 中，边长为2，
则 ,故C选项不正确；
对于D选项， 的三边之比为 ，
设三边长依次为 ， ， ，其中 ；则最大角是 ，由余弦定理知，
， ， ．故D选项正确．
故选：ABD．
3、（2023·安徽淮北·统考一模）设 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
， ．
(1)求角 的大小
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理求出 ，即可得到 ，再由两角和的正弦公式求出 ，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）解：因为 ，
由正弦定理可得 ，即 ，则 ，
又 ，所以 ．
（2）解：因为 ， ， ，由 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ，则 ，
所以
，
所以
4、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求 ；
(2)设 ，当 的值最大时，求△ABC的面积．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化简等式，即可得出 .
（2）根据正弦定理将 转化为关于 的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的性质可求其最值，
从而求出 ，即可求出△ABC的面积
【详解】（1）由题意
在△ABC中， ， ，
由正弦定理得，
∴ ，整理得到 ，而 为三角形内角，故 ，故 ，而 ，
故 即 .
（2）由题意及（1）得
在△ABC中， ， ，故外接圆直径 ，
故
，
，
其中 ，且 ，
因为 ，故 ，而 ，
故 的最大值为1，此时 ，
故 ， ，
故 ，
且
故 ，
此时 .
5、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数 ，其中
，且函数 的两个相邻零点间的距离为 ，(1)求 的值及函数 的对称轴方程；
(2)在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1) ，对称轴方程为： ；(2) .
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求
解即可；
（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1） ，
，
因为函数 的两个相邻零点间的距离为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，所以对称轴为 ；
（2）由 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以由正弦定理可知： ，
所以三角形的周长为 ，
，
因为 ，所以 ，因此 ，所以 周长的取值范围为 .
6、（2023·山西临汾·统考一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角计算可得结果.
（2）由余弦定理解三角形及三角形面积公式计算可得结果.
【详解】（1）证明：由 及正弦定理得： ，
整理得 ，.
因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 （舍），
所以 .
（2）由 及余弦定理得: ，
整理得 ，
又因为 ，可解得 ，
则 ，所以△ 是直角三角形，
所以△ 的面积为 .
7、（2023·安徽宿州·统考一模）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.
（2）由（1）可知， ，则 ，根据正弦型三角函数的图象
和性质，求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理的变形得 ，
又 ，所以 .
（2）由 得 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，从而 ，
所以 ，从而 .
即 的取值范围为
8、（2022·湖南郴州·高三期末）在 中，若边 对应的角分别为 ，且 ．（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的长度．
【解析】解：因为 ，由正弦定理可得
在 ， ，∴
∴ ，即
又 ，∴
∴ ，∴
（2）
解：∵ 且 ，
∴ ，
∴
∴
9、（2022·山东济南·高三期末）在 .中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
.
（1）求角 ；
（2）若点 在边 上，且 ，求 面积的最大值.
【解析】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）解：因为 ，所以 ；
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 面积的最大值为 .
