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专题03 正余弦定理及其应用
1、（2023年全国乙卷数学（文））在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，
据此可得 ，
则 .
故选：C.
2、（2023年全国甲卷数学（理））在 中， ， ，D为BC上一点，AD为
的平分线，则 _________．
【答案】
【详解】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在 中，已知 ， ， ，则
（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【解析】设 ，
结合余弦定理： 可得： ，
即： ，解得： （ 舍去），
故 .
故选：D.
4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为， ， ，则 ________．
【答案】
【解析】文由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .
5、（2023年全国甲卷数学（文））在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则 ， ，
.
（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
6、（2023年全国甲卷数学（文））记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；(2)若 ，求 面积．
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得： ．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
7、（2023年新高考天津卷）在 中，角 所对的边分別是 ．已知 ．
(1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 ．
【详解】（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
故 ．
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知在 中， ．
(1)求 ；(2)设 ，求 边上的高．
【详解】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
， ，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，
为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
10、【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
【解析】(1)由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而
π
00，而00，所以
