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微专题03 解三角形
【秒杀总结】
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦
定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
【典型例题】
例1．（2023秋·山西太原·高三统考期末）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，且满足 ．
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围．
【解析】（1）由余弦定理得 ，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
由正弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴
（2）由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，又 ，∴ ，∴ ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
例2．（2023·浙江·统考一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的取值范围．
【解析】（1）由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以由余弦定理得 ，记 ，则 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ，
故 ，则 ，
所以 ，即 ．
例3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知 ，D为边AC上一点，
， .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若直线BD平分 ，求 与 内切圆半径之比的取值范围.
【解析】（1）如图1， ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
故 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，故 ，
不妨记 ， ，则 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以.
（2）如图2，不妨设 与 内切圆的半径分别为 与 ，
因为直线BD平分 ，
所以由角平分线性质定理得 ，记 ，则 ，
记 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
因为 （ 为顶点 到 的距离），
又 ，
，
所以 ，则 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 与 内切圆半径之比的取值范围为 .
.
例4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，
b，c，已知 ．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【解析】（1） ，由正弦定理得： ，
即 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，
所以 ；
（2）锐角 中， ， ，
由正弦定理得： ，
故 ，
则，
因为锐角 中， ，
则 ， ，
解得： ，
故 ， ，
则 ，
故 ，
所以三角形周长的取值范围是 .
例5．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为
a、b、c，已知 ．
(1)求证：B＝2A；
(2)求 的取值范围．
【解析】（1） ，
由正弦定理得： ，
由积化和差公式可得：
，
因为 ，
所以 ，
因为三角形ABC为锐角三角形，故 ，
所以 ，
故 ，即 ；
（2）由（1）知： ，
由正弦定理得：，
其中 ，
因为 ，
所以
，
由 得： ，
由 ，解得： ，
结合 可得： ， ，
故 在 上单调递增，
所以 ，
即 .
例6．（2023·全国·高三校联考阶段练习） 中， ， 是边 上的点，
，且 .
(1)若 ，求 面积的取值范围；
(2)若 ， ，平面内是否存在点 ，使得 ？若存在，求
；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由面积公式可得：
，
，
因为 ，故 ，由 可得 即 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，则 ，
则 ，整理得到： ，
故 的 边上的高的范围为 ，故其面积的取值范围为：
（2）
因为 ，故 ，故 ，
故 为直角三角形且
如图，设 ，则 ，故 ，
同理 ，
故 ，而 ，故 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
整理得到：
所以 ，
整理得到： ，解得 或 ，
但 为锐角，故 ，故故 存在且 .
例7．（2023·全国·高三专题练习）在① ；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解
答．
在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且其面积为 ，点G为 重心，点M为线段 的中点，
点N在线段 上，且 ，线段 与线段 相交于点P，求 的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．
【解析】（1）若选① ，
由正弦定理可得
即 ，又 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ；
若选② ，即 ，
即 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ；
（2）依题意 ， ，
所以 ，
因为 、 、 三点共线，故设 ，
同理 、 、 三点共线，故设 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 为锐角三角形，
当 为锐角，则 ，即 ，
即 ，即 ，即 ，所以 ，
当 为锐角，则 ，即 ，
即 ，即 ，即 ，即 ，所以 ，
综上可得 ，
又 ，则
因为 ，所以 ，而 在 上单调递减，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，则 .
【过关测试】
1．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
满足(1)求角C；
(2)CD是 的角平分线，若 ， 的面积为 ，求c的值.
【解析】（1）由正弦定理得 ，即 ，整理得
，
化简得 ，由余弦定理得 ，又 ，则 ；
（2）
由面积公式得 ，解得 ，又CD是 的角平分线，则
，
即 ，则 ，
所以 ，即
，
整理得 ，又 ，解得 ，则 ，
由（1）知 ，则 .
2．（2023·全国·高三专题练习） 中，已知 ， ， 为 上一点，
， .
(1)求 的长度；
(2)若点 为 外接圆上任意一点，求 的最大值.
【解析】（1）设 ， ，则 .
在 与 中，由余弦定理知：，即 ，
，即 .
，
，可得 .
，
，即 .解得 ， .
.
（2）由（1）知： 中， ， ， 为 外接圆的直径.
为 外接圆上任意一点，
当 在 点时， .
当 在 点时， .
当 在优弧 上时， ，
设 ，则 .
中，由正弦定理知 ， .
，
当 时， 的最大值为 .
当 在劣弧 上时， ，
设 ，则 .
中，由正弦定理知 ， .
.当 时， 的最大值为 .
综上， 的最大值为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，某城市有一条 从正西方通过市中心 后转向
东偏北60°方向 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 ，
并在 ， 上分别设置两个出口A， ， 在A的东偏北 的方向（A， 两点之间的
高速路可近似看成直线段），由于A， 之间相距较远，计划在A， 之间设置一个服务区
.
(1)若 在 的正北方向且 ，求A， 到市中心 的距离和最小时 的值；
(2)若 到市中心 的距离为 ，此时 设在 的平分线与 的交点位置，且满
足 ，则求A到市中心 的距离最大时 的值.
【解析】（1）由题意可知 ，
若 在 的正北方向，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
则，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以A， 到市中心 的距离和最小时 ；
（2）因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
因为 平分 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以当 时， 有最大值20，
此时在 中， ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以当A到市中心 的距离最大时 .
4．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知 的外心为 ，
为线段 上的两点，且 恰为 中点.
(1)证明：
(2)若 ， ，求 的最大值.
【解析】（1）证明：设 ，
由余弦定理知： ， ，
由 是 外心知 ，
而 ，
所以 ，
即 ，
而 ，因此 ，
同理可知 ，
因此 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
由余弦定理知： ， ，
代入 得 ，
设 ，则 ，
因此 ，
当且仅当 时取到等号，
因此 的最大值为 .5．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，
已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 外的一点，且 ， ，则当 为多少时，平面四边
形 的面积 最大，并求 的最大值．
【解析】(1) 在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ．
由正弦定理得： ，又 ，
，
， ，
， ， ．
(2) ， ， 是等边三角形，设 ， ，
， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
， ， 当 ，即 时，
平面四边形 的面积 取最大值 ．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中， ．
(1)若 ，求△ABC的面积；
(2)若 ， ， ，求∠ACB的值．
【解析】（1）在△ABC中， ，
因为 ，所以 ．
．（2）设 ，则 ， ， ．
在△ACD中，由 ，得 ．
在△ABC中，由 ，得 ．
联立上式，并由 得 ，
整理得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即∠ACB的值为 ．
7．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）在 中， ，点 ， 分别在 ，
边上．
(1)若 ， ，求 面积的最大值；
(2)设四边形 的外接圆半径为 ，若 ，且 的最大值为
，求 的值．
【解析】（1）由已知 ，
在 中，利用余弦定理知 ，
结合基本不等式有 ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为1，
所以 面积的最大值为
（2）四边形 存在外接圆，
又 ， ， ，
，所以四边形 为等腰梯形，
连接 ，设 ， ，
在 中，由正弦定理得， ，，
同理，在 中，由正弦定理得， ，
所以
， ，
，
当且仅当 ，即
， ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，即
8．（2023·上海·高三专题练习） 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足
．
(1)当A为何值时，函数 取到最大值，最大值是多少？
(2)若 等于边AC上的高h，求 的值．
【解析】（1）由 得： ，
因为 ，所以 ，，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值，
最大值为2；
（2）由（1）知： ，
由三角形面积公式得： ，
从而 ，由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
由和差化积得： ，
因为
，
所以 ，
故 ，解得： 或 ，
因为 ，
所以 .
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， ， ，
， 且 为锐角．(1)求 ；
(2)求 的面积．
【解析】（1）由已知 ， ∵ 是锐
角，∴ ．由余弦定理可得 ，则
．∵ ，∴BD是四边形 外接圆的直径，∴BD是 外
接圆的直径，利用正弦定理知
（2）由 ， ， ， ，则 , ,又
，则 ，因此 ，
故 的面积为 ．
10．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）如图，在梯形 中， ，
， ， ．
(1)若 ，求梯形 的面积；
(2)若 ，求 ．
【解析】(1)设 ，在 中，由余弦定理 得：
，即 ，而x>0，解得 ，所以 ，则 的面积 ，
梯形 中， ， 与 等高，且 ，
所以 的面积 ，
则梯形 的面积 ；
(2)在梯形 中，设 ，而 ，
则 ， ， ， ，
在 中，由正弦定理 得： ，
在 中，由正弦定理 得： ，
两式相除得： ，
整理得 ，
即
解得 或 ，
因为 ，则 ，即 ．
11．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)证明： 为定值．
【解析】（1）由 ,
∵ ,∴ ,即 ，
∵ ，所以 ,
所以 ,
又∵ ,∴ ，，
，
，解得 ；
（2）由已知条件得 ，
，
，
，
,
∵ , ∴ ,
由余弦定理得 ，
由正弦定理得 ，
整理得 ，
即 为定值．
12．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）如图， 是以 为斜边的等腰直角三角
形， 是等边三角形， ， .
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，所以 .
因为 是等边三角形，所以 .
， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .因为 平面 ，故 .
（2）在 中， ， ， ，由余弦定理可得，
，故 .
如图，以 ， 及过 点垂直于平面 的方向为 ， ， 轴的正方向建立空间直角
坐标系 ，
可得 ，所以 ， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，
令 ，可得 .
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，
令 ，可得 .
所以 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
13．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）在① ；②
；③ ．
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S．且满足______．
(1)求A的大小；
(2)设 的面积为6，点D为边BC的中点，求 的最小值．
【解析】（1）选①，由 ，
化简得： ，
所以 ，即 ，
在 中， ， ，
因为 ，所以 ；
选②， ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
选③， ，
由正弦定理和切化弦得 ，
在 中， ，
所以 ，
在 中， ，因为 ，
所以 ，得 ；
（2）由 ，得 ，
由 ，有 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）如图， 为 内的一点， 记为 ， 记为，且 ， 在 中的对边分别记为m，n， ， ，
.
(1)求 ；
(2)若 ， ， ，记 ，求线段 的长和 面积的最大值.
【解析】（1）已知 ，由正弦定理可得
，由 ，
所以 ，即 ，
所以 .
因为 ， ， ，
所以 ，则 ，所以 .
（2）在 中，由余弦定理得知：
，
即 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 .， .
因为， ，
所以，当 ，即 时， 面积有最大值 .
15．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）在 中，角A，B，C的对
边分别是a，b，c，已知 且 .
(1)若 ，求 ；
(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.
【解析】（1）由 可得：
，
即： .
即 ，又 ，∴ ，
由正弦定理得： .
（2）由题意，
，
∵ ，
∴ 时， 取得最大值 .
16．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知四边形 内接于圆 ， ， ，
， 平分 .
(1)求圆 的半径；
(2)求 的长.
【解析】（1）如图，在圆 中，连接 ，在 中，由余弦定理得：
，
所以 ，
设圆О半径为R，由正弦定理得：∴ ，所以半径 ；
（2）由余弦定理得 ，
由于 ，所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
所以
，
由正弦定理得 .
17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在 中，内角A，B，C的对
边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B的大小；
(2)若 ，
①求 的取值范围；
②求 的最大值．
【解析】（1）因为 ,又 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,因为 ,所以 , ，可得 .
（2）①根据余弦定理 得 ,得 ，
因为 ,所以 ，结合 ，
所以 (当且仅当 时取等号)，
②设 ,则 ,所以 ,
设 ,
则 在区间 上单调递增,
所以 的最大值为 ,所以 的最大值为 .
18．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：① ；②
；③ .在这三个条件中任选一个，补充在下面的
问题中，并解答.问题：在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，满足：
______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
【解析】（1）选择条件① ：
，
所以 ，于是 ，又 ，所以 .
选择条件② ：
因为 ，
解得 ，又 ，所以 .
选择条件③ ：则 ，
由正弦定理得： ，
即 ，
整理得： ，
由 得： ，又 ，所以 .
（2）由（1）知， ， 为锐角三角形，所以 ，
由正弦定理 ，得 ， ，
于是，
化简得， ，
因为 ,所以 ，所以 ，
，
故 的取值范围为 .
